2017-2018学年高中数学人教A版选修1-2创新应用：课下能力提升（六） Word版含解析

课下能力提升(六)[学业水平达标练]题组1用反证法证明“否定性”命题1．应用反证法推出矛盾的推理过程中，可作为条件使用的是()①结论的否定；②已知条件；③公理、定理、定义等；④原结论．A．①②B．②③C．①②③D．①②④2．用反证法证明“一个三角形不能有两个直角”有三个步骤：①∠A＋∠B＋∠C＝90°＋90°＋∠C180°，这与三角形内角和为180°矛盾，故假设错误．②所以一个三角形不能有两个直角．③假设△ABC中有两个直角，不妨设∠A＝90°，∠B＝90°.上述步骤的正确顺序为________．3．等差数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1＋2，S3＝9＋32.(1)求数列{an}的通项an与前n项和Sn；(2)设bn＝Snn(n∈N*)，求证：数列{bn}中任意不同的三项都不可能成为等比数列．题组2用反证法证明“至多”、“至少”型命题4．用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60°”时，假设正确的是()A．假设三内角都不大于60°B．假设三内角都大于60°C．假设三内角至少有一个大于60°D．假设三内角至多有两个大于60°5．设实数a、b、c满足a＋b＋c＝1，则a、b、c中至少有一个数不小于________．6．若x0，y0，且x＋y2，求证：1＋xy与1＋yx中至少有一个小于2.题组3用反证法证明“唯一性”命题7．用反证法证明命题“关于x的方程ax＝b(a≠0)有且只有一个解”时，反设是关于x的方程ax＝b(a≠0)()A．无解B．有两解C．至少有两解D．无解或至少有两解8．“自然数a，b，c中恰有一个偶数”的否定正确的为()A．a，b，c都是奇数B．a，b，c都是偶数C．a，b，c中至少有两个偶数D．a，b，c中都是奇数或至少有两个偶数9．求证：两条相交直线有且只有一个交点．[能力提升综合练]1．用反证法证明命题“a，b∈N，如果ab可被5整除，那么a，b至少有1个能被5整除”，则假设的内容是()A．a，b都能被5整除B．a，b都不能被5整除C．a不能被5整除D．a，b有1个不能被5整除2．有以下结论：①已知p3＋q3＝2，求证p＋q≤2，用反证法证明时，可假设p＋q≥2；②已知a，b∈R，|a|＋|b|1，求证方程x2＋ax＋b＝0的两根的绝对值都小于1，用反证法证明时可假设方程有一根x1的绝对值大于或等于1，即假设|x1|≥1.下列说法中正确的是()A．①与②的假设都错误B．①与②的假设都正确C．①的假设正确；②的假设错误D．①的假设错误；②的假设正确3．设a、b、c都是正数，则三个数a＋1b，b＋1c，c＋1a()A．都大于2B．至少有一个大于2C．至少有一个不大于2D．至少有一个不小于24．已知数列{an}，{bn}的通项公式分别为an＝an＋2，bn＝bn＋1(a，b是常数)，且a＞b，那么两个数列中序号与数值均相同的项的个数有()A．0个B．1个C．2个D．无穷多个5．已知平面α∩平面β＝直线a，直线b⊂α，直线c⊂β，b∩a＝A，c∥a，求证：b与c是异面直线，若利用反证法证明，则应假设________．6．完成反证法证题的全过程．题目：设a1，a2，…，a7是1,2，…，7的一个排列，求证：乘积p＝(a1－1)(a2－2)…(a7－7)为偶数．证明：假设p为奇数，则________均为奇数．①因奇数个奇数之和为奇数，故有奇数＝________②＝________③＝0.这与0为偶数矛盾，说明p为偶数．7．设a，b是异面直线，在a上任取两点A1，A2，在b上任取两点B1，B2，试证：A1B1与A2B2也是异面直线．8．用反证法证明：对于直线l：y＝x＋k，不存在这样的非零实数k，使得l与双曲线C：3x2－y2＝1的交点A、B关于直线y＝－x对称．答案[学业水平达标练]题组1用反证法证明“否定性”命题1．解析：选C根据反证法的基本思想，应用反证法推出矛盾的推导过程中可把“结论的否定”、“已知条件”、“公理、定理、定义”等作为条件使用．2．答案：③①②3．解：(1)设公差为d，由已知得a1＝2＋1，3a1＋3d＝9＋32，解得d＝2，故an＝2n－1＋2，Sn＝n(n＋2)．(2)证明：由(1)得bn＝Snn＝n＋2.假设数列{bn}中存在三项bp，bq，br(p，q，r互不相等)成等比数列，则b2q＝bpbr，即(q＋2)2＝(p＋2)(r＋2)，所以(q2－pr)＋(2q－p－r)2＝0.又p，q，r∈N*，所以q2－pr＝0，2q－p－r＝0.所以p＋r22＝pr.(p－r)2＝0，所以p＝r，这与p≠r矛盾．所以数列{bn}中任意不同的三项都不可能成为等比数列．题组2用反证法证明“至多”、“至少”型命题4．解析：选B“至少有一个”即“全部中最少有一个”．5．设实数a、b、c满足a＋b＋c＝1，则a、b、c中至少有一个数不小于________．解析：假设a、b、c都小于13，则a＋b＋c＜1与a＋b＋c＝1矛盾．故a、b、c中至少有一个不小于13.答案：136．解：假设1＋xy与1＋yx都不小于2，即1＋xy≥2，1＋yx≥2.又∵x0，y0，∴1＋x≥2y,1＋y≥2x.两式相加得2＋x＋y≥2(x＋y)，即x＋y≤2.这与已知x＋y2矛盾．所以假设不成立，所以1＋xy与1＋yx中至少有一个小于2.题组3用反证法证明“唯一性”命题7．解析：选D“唯一”的否定上“至少两解或无解”．8．解析：选D自然数a，b，c的奇偶性共有四种情形：(1)3个都是奇数；(2)2个奇数，1个偶数；(3)1个奇数，2个偶数；(4)3个都是偶数．所以否定正确的是a，b，c中都是奇数或至少有两个偶数．9．证明：因为两直线为相交直线，故至少有一个交点，假设两条直线a，b不只有一个交点，则至少有两个交点A和B，这样同时经过点A，B的直线就有两条，这与“经过两点有且只有一条直线”相矛盾．综上所述，两条相交直线有且只有一个交点．[能力提升综合练]1．解析：选B用反证法只否定结论即可，而“至少有一个”的反面是“一个也没有”，故B正确．2．解析：选D用反证法证题时一定要将对立面找准．在①中应假设p＋q2.故①的假设是错误的，而②的假设是正确的．3．解析：选D因为a、b、c都是正数，则有a＋1b＋b＋1c＋c＋1a＝a＋1a＋b＋1b＋c＋1c≥6.故三个数中至少有一个不小于2.4．解析：选A假设存在序号和数值均相等的项，即存在n使得an＝bn，由题意a＞b，n∈N*，则恒有an＞bn，从而an＋2＞bn＋1恒成立，∴不存在n使得an＝bn.5．解析：∵空间中两直线的位置关系有3种：异面、平行、相交，∴应假设b与c平行或相交．答案：b与c平行或相交6．解析：证明过程应为：假设p为奇数，则有a1－1，a2－2，…，a7－7均为奇数，因为奇数个奇数之和为奇数，故有奇数＝(a1－1)＋(a2－2)＋…＋(a7－7)＝(a1＋a2＋…＋a7)－(1＋2＋…＋7)＝0.这与0为偶数矛盾，说明p为偶数．答案：a1－1，a2－2，…，a7－7(a1－1)＋(a2－2)＋…＋(a7－7)(a1＋a2＋…＋a7)－(1＋2＋…＋7)7．证明：假设A1B1与A2B2不是异面直线，则A1B1与A2B2可以确定一个平面α，点A1，A2，B1，B2都在平面α内，于是A1A2⊂α，B1B2⊂α，即a⊂α，b⊂α，这与已知a，b是异面直线矛盾，所以假设错误．所以A1B1与A2B2也是异面直线．8．证明：假设存在非零实数k，使得A、B关于直线y＝－x对称，设A(x1，y1)、B(x2，y2)，则线段AB的中点Mx1＋x22，y1＋y22在直线y＝－x上，由y＝x＋k，y2＝3x2－1得2x2－2kx－1－k2＝0.∴x1＋x2＝k，可得Mk2，3k2.这与M在直线y＝－x上矛盾．所以假设不成立，故不存在非零实数k，使得A、B关于直线y＝－x对称．