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第三章3.33.3.2A级基础巩固一、选择题1．函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数f′(x)在(a，b)内的图象如图所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内有极小值点导学号03624830(A)A．1个B．2个C．3个D．4个[解析]极小值点应有先减后增的特点，即f′(x)0→f′(x)＝0→f′(x)0.由图象可知只有1个极小值点．2．已知函数y＝x3－3x＋c的图象与x轴恰有两个公共点，则c＝导学号03624831(A)A．－2或2B．－9或3C．－1或1D．－3或1[解析]∵y′＝3x2－3，∴当y′＝0时，x＝±1，则x，y′，y的变化情况如下表：x(－∞，－1)－1(－1,1)1(1，＋∞)y′＋－＋yc＋2c－2因此，当函数图象与x轴恰有两个公共点时，必有c＋2＝0或c－2＝0，∴c＝－2或c＝2.3．(2016·四川)已知a为函数f(x)＝x3－12x的极小值点，则a＝导学号03624832(D)A．－4B．－2C．4D．2[解析]f′(x)＝3x2－12，令f′(x)0得x－2或x2，令f′(x)0得－2x2，∴f(x)在(－∞，－2)，(2，＋∞)上单调递增，在(－2,2)上单调递减，∴当x＝2时，f(x)取极小值，即2是函数f(x)的极小值点，故a＝2.4．设函数f(x)＝xex，则导学号03624833(D)A．x＝1为f(x)的极大值点B．x＝1为f(x)的极小值点C．x＝－1为f(x)的极大值点D．x＝－1为f(x)的极小值点[解析]f′(x)＝ex＋xex＝ex(1＋x)，令f′(x)0，得x－1，令f′(x)0，得x－1，∴函数f(x)在(－∞，－1)上递减，在(－1，＋∞)上递增，∴当x＝－1时，f(x)取得极小值．5．设函数f(x)＝2x＋lnx，则导学号03624834(D)A．x＝12为f(x)的极大值点B．x＝12为f(x)的极小值点C．x＝2为f(x)的极大值点D．x＝2为f(x)的极小值点[解析]本节考查了利用导数工具来探索其极值点问题．f′(x)＝－2x2＋1x＝1x(1－2x)，由f′(x)＝0可得x＝2.当0x2时，f′(x)0，f(x)递减，当x2时，f′(x)0，∴f(x)单调递增．所以x＝2为极小值点．对于含有对数形式的函数在求导时，不要忽视定义域．6．若a0，b0，且函数f(x)＝4x3－ax2－2bx＋2在x＝1处有极值，则ab的最大值等于导学号03624835(D)A．2B．3C．6D．9[解析]f′(x)＝12x2－2ax－2b，由条件知f′(1)＝0，∴a＋b＝6，∴ab≤(a＋b2)2＝9，等号在a＝b＝3时成立，故选D．二、填空题7．函数f(x)＝－13x3＋12x2＋2x取得极小值时，x的值是__－1__.导学号03624836[解析]f′(x)＝－x2＋x＋2＝－(x－2)(x＋1)，令f′(x)0得－1x2，令f′(x)0，得x－1或x2，∴函数f(x)在(－∞，－1)，(2，＋∞)上递减，在(－1,2)上递增，∴当x＝－1时，函数f(x)取得极小值．8．(2015·陕西文)函数y＝xex在其极值点处的切线方程为y＝－1e.导学号03624837[解析]∵y＝xex，∴y′＝ex＋xex＝ex(x＋1)，当x＝－1时y有极小值，此时y|x＝－1＝－1e，而y′|x＝－1＝0，∴切线方程为y＝－1e.三、解答题9．设函数y＝x3＋ax2＋bx＋c的图象如图所示，且与y＝0在原点相切，若函数的极小值为－4.(1)求a、b、c的值；(2)求函数的递减区间.导学号03624838[解析](1)因为函数的图象经过点(0,0)，易得c＝0.又图象与x轴相切于点(0,0)，且y′＝3x2＋2ax＋b，故0＝3×02＋2a×0＋b，解得b＝0.所以y＝x3＋ax2，则y′＝3x2＋2ax.令y′＝0，解得x＝0或x＝－23a，即x＝0和x＝－23a是极值点．由图象知函数在x＝0处取极大值，故在x＝－23a时取极小值．当x＝－23a时，函数有极小值－4，所以(－23a)3＋a(－2a3)2＝－4，整理得a3＝－27，解得a＝－3.故a＝－3、b＝0、c＝0.(2)由(1)得y＝x3－3x2，则y′＝3x2－6x，令y′0，即y′＝3x2－6x0，解得0x2，所以，函数的递减区间是(0,2)．B级素养提升一、选择题1．函数y＝x3－3x2－9x(－2x2)有导学号03624839(C)A．极大值5，极小值－27B．极大值5，极小值－11C．极大值5，无极小值D．极小值－27，无极大值[解析]y′＝3x2－6x－9＝3(x－3)(x＋1)，∵－2x2，∴令y′0得－2x－1，令y′0得－1x2，∴函数在(－2，－1)上递增，在(－1,2)上递减，∴当x＝－1时，f(x)取极大值f(－1)＝－1－3＋9＝5，f(x)无极小值．2．(2016·广西南宁高二检测)已知函数y＝2x3＋ax2＋36x－24在x＝2处有极值，则该函数的一个递增区间是导学号03624840(B)A．(2,3)B．(3，＋∞)C．(2，＋∞)D．(－∞，3)[解析]y′＝6x2＋2ax＋36，由已知得24＋4a＋36＝0，∴a＝－15.∴y′＝6x2－30x＋36＝6(x2－5x＋6)＝6(x－2)(x－3)，令y′0，得x2或x3，故选B．3．已知函数f(x)＝x3－px2－qx的图象与x轴切于(1,0)点，则f(x)的极大值、极小值分别为导学号03624841(A)A．427，0B．0，427C．－427，0D．0，－427[解析]f′(x)＝3x2－2px－q，由f′(1)＝0，f(1)＝0得，3－2p－q＝01－p－q＝0，解得p＝2q＝－1，∴f(x)＝x3－2x2＋x.由f′(x)＝3x2－4x＋1＝0得x＝13或x＝1，易得当x＝13时f(x)取极大值427.当x＝1时f(x)取极小值0.4．已知函数f(x)＝x3＋mx2＋(m＋6)x＋1既存在极大值又存在极小值，则实数m的取值范围是导学号03624842(D)A．[－3,6]B．(－3,6)C．(－∞，－3]∪[6，＋∞)D．(－∞，－3)∪(6，＋∞)[解析]函数的导数为f′(x)＝3x2＋2mx＋(m＋6)，要使函数f(x)既存在极大值又存在极小值，则f′(x)＝0有两个不同的根，所以判别式Δ0，即Δ＝4m2－12(m＋6)0，所以m2－3m－180，解得m6或m－3.5．若函数f(x)＝13x3＋x2－23在区间(a，a＋5)上存在最小值，则实数a的取值范围是导学号03624843(C)A．[－5,0)B．(－5,0)C．[－3,0)D．(－3,0)[解析]由题意，f′(x)＝x2＋2x＝x(x＋2)，故f(x)在(－∞，－2)，(0，＋∞)上是增函数，在(－2,0)上是减函数，作出其图象如图所示，令13x3＋x2－23＝－23得，x＝0或x＝－3，则结合图象可知，－3≤a0，a＋50，解得a∈[－3,0)，故选C．二、填空题6．设x＝1与x＝2是函数f(x)＝alnx＋bx2＋x的两个极值点，则常数a＝－23.导学号03624844[解析]f′(x)＝ax＋2bx＋1，由题意得a＋2b＋1＝0a2＋4b＋1＝0，∴a＝－23.7．直线y＝a与函数f(x)＝x3－3x的图象有相异的三个公共点，则a的取值范围是__(－2,2)__.导学号03624845[解析]f′(x)＝3x2－3，由3x2－3＝0得x＝1或－1，当x－1，或x1时，f′(x)0，f(x)单调增；当－1x1时，f′(x)0，f(x)单调减．∴x＝－1时，f(x)取到极大值f(－1)＝2，x＝1时，f(x)取到极小值f(1)＝－2，∴欲使直线y＝a与函数f(x)的图象有相异的三个公共点，应有－2a2.三、解答题8．(2016·广西南宁高二检测)设x＝－2，x＝4是函数f(x)＝x3＋ax2＋bx的两个极值点.导学号03624846(1)求常数a、b的值；(2)判断x＝－2，x＝4是函数f(x)的极大值点还是极小值点，并说明理由．[解析](1)f′(x)＝3x2＋2ax＋b，由题意得12－4a＋b＝048＋8a＋b＝0，解得a＝－3b＝－24.(2)由(1)知f′(x)＝3x2－6x－24＝3(x2－2x－8)＝3(x－4)(x＋2)，令f′(x)0，得x－2或x4，令f′(x)0，得－2x4.∴f(x)在(－∞，－2)，(4，＋∞)上单调递增，在(－2,4)上单调递减，∴当x＝－2时，f(x)取极大值，当x＝4时，f(x)取极小值，故x＝－2是极大值点，x＝4是极小值点．C级能力提高1．(2016·河南郑州高二检测)已知函数f(x)＝2f′(1)lnx－x，则f(x)的极大值为__2ln_2－2__.导学号03624847[解析]函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，由于函数f(x)＝2f′(1)lnx－x.则f′(x)＝2f′(1)×1x－1(x0)，f′(1)＝2f′(x)－1，故f′(1)＝1，得到f′(x)＝2×1x－1＝2－xx，令f′(x)0，解得x2，令f′(x)0，解得x2，则函数在(0,2)上为增函数，在[2，＋∞)上为减函数，故f(x)的极大值为f(2)＝2ln2－2.2．已知函数f(x)＝x3－3ax－1(a≠0)．若函数f(x)在x＝－1处取得极值，直线y＝m与y＝f(x)的图象有三个不同的交点，求m的取值范围.导学号03624848[解析]∵f(x)在x＝－1处取得极值，∴f′(－1)＝3×(－1)2－3a＝0，∴a＝1.∴f(x)＝x3－3x－1，∴f′(x)＝3x2－3，由f′(x)＝0解得x1＝－1，x2＝1.当x－1时，f′(x)0；当－1x1时，f′(x)0；当x1时，f′(x)0.∴由f(x)的单调性可知，f(x)在x＝－1处取得极大值f(－1)＝1，在x＝1处取得极小值f(1)＝－3.∵直线y＝m与函数y＝f(x)的图象有三个不同的交点，又f(－3)＝－19－3，f(3)＝171，结合f(x)的单调性可知，m的取值范围是(－3,1)．