2017-2018学年高中数学人教A版选修1-1练习：第3章 导数及其应用3.3.1 Word版含解

第三章3.33.3.1A级基础巩固一、选择题1．函数f(x)＝x3－3x2＋1的递减区间是导学号03624791(B)A．(－∞，0)B．(0,2)C．(－∞，2)D．(2，＋∞)[解析]f′(x)＝3x2－6x，令f′(x)＝3x2－6x0，解得0x2，所以函数f(x)＝x3－3x2＋1的递减区间是(0,2)．2．函数f(x)＝2x－sinx在(－∞，＋∞)上导学号03624792(A)A．是增函数B．是减函数C．在(0，＋∞)上增，在(－∞，0)上减D．在(0，＋∞)上减，在(－∞，0)上增[解析]f′(x)＝2－cosx0在(－∞，＋∞)上恒成立．3．(2016·江西抚州高二检测)函数y＝x3＋x2＋mx＋1是R上的单调函数，则实数m的取值范围是导学号03624793(C)A．(13，＋∞)B．(－∞，13)C．[13，＋∞)D．(－∞，13)[解析]y′＝3x2＋2x＋m，由题意知3x2＋2x＋m≥0在R上恒成立，∴Δ＝4－12m≤0，∴m≥13.4．设f′(x)是函数f(x)的导函数，y＝f′(x)的图象如图所示，则y＝f(x)的图象最有可能的是导学号03624794(C)[思路分析]由导函数f′(x)的图象位于x轴上方(下方)，确定f(x)的单调性，对比f(x)的图象，用排除法求解．[解析]由f′(x)的图象知，x∈(－∞，0)时，f′(x)0，f(x)为增函数，x∈(0,2)时，f′(x)0，f(x)为减函数，x∈(2，＋∞)时，f′(x)0，f(x)为增函数．只有C符合题意，故选C．5．(2016·贵州贵阳一中月考)函数y＝xlnx在(0,5)上的单调性是导学号03624795(C)A．单调递增B．单调递减C．在(0，1e)上单调递减，在(1e，5)上单调递增D．在(0，1e)上单调递增，在(1e，5)上单调递减[解析]函数的定义域为(0，＋∞)．∵y′＝lnx＋1，令y′0，得x1e.令y′0，得0x1e.∴函数y＝xlnx在(0，1e)上单调递减，在(1e，5)上单调递增．6．若函数f(x)＝kx－lnx在区间(1，＋∞)上单调递增，则k的取值范围是导学号03624796(D)A．(－∞，－2]B．(－∞，－1]C．[2，＋∞)D．[1，＋∞)[解析]由条件知f′(x)＝k－1x≥0在(1，＋∞)上恒成立，∴k≥1.把函数的单调性转化为恒成立问题是解决问题的关键．二、填空题7．函数y＝x3－x2－x的单调递增区间为(－∞，－13)，(1，＋∞).导学号03624797[解析]∵y′＝3x2－2x－1＝(3x＋1)(x－1)，∴由y′0得，x1或x－13.8．若函数f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d的单调减区间为(－1,3)，则b＝__－3__，c＝__－9__.导学号03624798[解析]f′(x)＝3x2＋2bx＋c，由条件知f′－1＝0f′3＝9，即3－2b＋c＝027＋6b＋c＝0，解得b＝－3，c＝－9.三、解答题9．(2016·北京昌平区高二检测)设函数f(x)＝13x3＋mx2＋1的导函数f′(x)，且f′(1)＝3.(1)求函数f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；(2)求函数f(x)的单调区间.导学号03624799[解析](1)f′(x)＝x2＋2mx，∴f′(x)＝1＋2m＝3，∴m＝1.∴f(x)＝13x3＋x2＋1，∴f(1)＝73.∴切线方程为y－73＝3(x－1)，即3x－3y＋4＝0.(2)f′(x)＝x2＋2x＝x(x＋2)，令f′(x)0，得x0或x－2，令f′(x)0，得－2x0，∴函数f(x)的单调递增区间为(－∞，－2)，(0，＋∞)，递减区间为(－2,0)．B级素养提升一、选择题1．函数y＝f(x)的图象如图所示，则y＝f′(x)的图象可能是导学号03624800(D)[解析]由f(x)的图象知，f(x)在(－∞，0)上单调递增，在(0，＋∞)上单调递减，∴在(0，＋∞)上f′(x)≤0，在(－∞，0)上f′(x)≥0，故选D．2．下列函数中，在区间(－1,1)上是减函数的是导学号03624801(C)A．y＝2－3x2B．y＝lnxC．y＝1x－2D．y＝sinx[解析]A中，y′＝－6x，当－1x0时，y′0，当0x1时，y′0，故函数y＝2－3x2在区间(－1,1)上不是减函数，B中，y＝lnx在x＝0处无意义；C中，y′＝－1x－220对x∈(－1,1)恒成立，∴函数y＝1x－2在区间(－1,1)上是减函数；D中，y′＝cosx0对x∈(－1，1)恒成立，∴函数y＝sinx在(－1,1)上是增函数．3．定义在R上的函数f(x)，若(x－1)·f′(x)0，则下列各项正确的是导学号03624802(C)A．f(0)＋f(2)2f(1)B．f(0)＋f(2)＝2f(1)C．f(0)＋f(2)2f(1)D．f(0)＋f(2)与2f(1)大小不定[解析]当x1时，f′(x)0，f(x)是减函数，∴f(1)f(2)．当x1时，f′(x)0，f(x)是增函数，∴f(0)f(1)．因此f(0)＋f(2)2f(1)．4．已知对任意实数x，有f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)，且当x0，有f′(x)0，g′(x)0，则当x0时，有导学号03624803(B)A．f′(x)0，g′(x)0B．f′(x)0，g′(x)0C．f′(x)0′，g′(x)0D．f′(x)0，g′(x)0[解析]由已知f(x)为奇函数，g(x)为偶函数．∵x0时，f′(x)0，g′(x)0，∴f(x)，g(x)在(0，＋∞)上递增．∴x0时，f(x)递增，g(x)递减．∴x0时f′(x)0，g′(x)0.5．(2016·湛江一模)若函数f(x)＝x＋bx(b∈R)的导函数在区间(1,2)上有零点，则f(x)在下列区间上单调递增的是导学号03624804(D)A．(－2,0)B．(0,1)C．(1，＋∞)D．(－∞，－2)[解析]由题意知，f′(x)＝1－bx2，∵函数f(x)＝x＋bx(b∈R)的导函数在区间(1,2)上有零点，∴当1－bx2＝0时，b＝x2，又x∈(1,2)，∴b∈(1,4)，令f′(x)0，解得x－b或xb，即f(x)的单调递增区间为(－∞，－b)，(b，＋∞)，∵b∈(1,4)，∴(－∞，－2)符合题意．故选D．二、填空题6．(2016·山东潍坊一中高二期末)函数f(x)＝x－2sinx在(0，π)上的单调递增区间为(π3，π).导学号03624805[解析]由f′(x)＝1－2cosx0得cosx12，又x∈(0，π)，所以π3xπ，故函数f(x)的单调递增区间为(π3，π)．7．已知函数f(x)＝ax＋1x＋2在(－2，＋∞)上单调递减，则a的取值范围是(－∞，12).导学号03624806[解析]f′(x)＝ax＋2－ax－1x＋22＝2a－1x＋22，由题意得x－2时，f′(x)≤0恒成立，∴2a－1≤0，∴a≤12.又当a＝12时，f(x)＝12x＋1x＋2＝12，此时，函数f(x)在(－2，＋∞)上不是减函数，∴a≠12.综上可知，a的取值范围为(－∞，12)．三、解答题8．设函数f(x)＝x3－3ax2＋3bx的图象与直线12x＋y－1＝0相切于点(1，－11).导学号03624807(1)求a、b的值；(2)讨论函数f(x)的单调性．[解析](1)f′(x)＝3x2－6ax＋3b.因为f(x)的图象与直线12x＋y－1＝0相切于点(1，－11)，所以f(1)＝－11，f′(1)＝－12，即1－3a＋3b＝－113－6a＋3b＝－12，解得a＝1，b＝－3.(2)由a＝1，b＝－3得f′(x)＝3x2－6ax＋3b＝3(x2－2x－3)＝3(x＋1)(x－3)．令f′(x)0，解得x－1或x3；又令f′(x)0，解得－1x3.故当x∈(－∞，－1)时，f(x)是增函数；当x∈(3，＋∞)时，f(x)也是增函数；当x∈(－1,3)时，f(x)是减函数．C级能力提高1．已知函数f(x)＝x3－ax2－3x在区间[1，＋∞)上是增函数，则实数a的取值范围是__(－∞，0]__.导学号03624808[解析]∵f(x)＝x3－ax2－3x，∴f′(x)＝3x2－2ax－3，又因为f(x)＝x3－ax2－3x在区间[1，＋∞)上是增函数，f′(x)＝3x2－2ax－3≥0在区间[1，＋∞)上恒成立，∴a3≤1f′1＝3×12－2a－3≥0，解得a≤0，故答案为(－∞，0]．2．(2016·广东汕头高二质检)函数f(x)＝2x3＋ax与g(x)＝bx2＋c的图象都过点P(2,0)，且在点P处有相同的切线.导学号03624809(1)求实数a、b、c的值；(2)设函数F(x)＝f(x)＋g(x)，求F(x)的单调区间．[解析](1)∵函数f(x)、g(x)的图象都过点P(2,0)，∴f(2)＝16＋2a＝0，解得a＝－8，g(2)＝4b＋c＝0.又f(x)、g(x)的图象在点P处有相同的切线，且f′(x)＝6x2－8,g′(x)＝2bx，∴f′(2)＝g′(2)，∴4b＝16，∴b＝4，c＝－16.∴a＝－8，b＝4，c＝－16.(2)由(1)知，f(x)＝2x3－8x，g(x)＝4x2－16，∴F(x)＝2x3＋4x2－8x－16，∴F′(x)＝6x2＋8x－8＝6(x＋2)(x－23)．令F′(x)＝6(x＋2)(x－23)0，得x－2或x23，∴函数F(x)的单调递增区间为(－∞，－2)和(23，＋∞)．令F′(x)＝6(x＋2)(x－23)0，得－2x23，∴函数F(x)的单调递减区间为(－2，23)．综上，F(x)的单调递增区间为(－∞，－2)和(23，＋∞)，单调递减区间为(－2，23)．