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第一章1.41.4.3A级基础巩固一、选择题1．命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是导学号03624281(B)A．任意一个有理数，它的平方是有理数B．任意一个无理数，它的平方不是有理数C．存在一个有理数，它的平方是有理数D．存在一个无理数，它的平方不是有理数[解析]量词“存在”否定后为“任意”，结论“它的平方是有理数”否定后为“它的平方不是有理数”，故选B．2．命题“有些实数的绝对值是正数”的否定是导学号03624282(C)A．∀x∈R，|x|0B．∃x0∈R，|x0|0C．∀x∈R，|x|≤0D．∃x0∈R，|x0|≤0[解析]由词语“有些”知原命题为特称命题，故其否定为全称命题，因为命题的否定只否定结论，所以选C．3．(2016·江西抚州高二检测)已知命题p：∀x∈R，x2＋2x＋20，则¬p是导学号03624283(C)A．∃x0∈R，x20＋2x0＋20B．∀x∈R，x2＋2x＋20C．∃x0∈R，x20＋2x0＋2≤0D．∀x∈R，x2＋2x＋2≤0[解析]∵全称命题的否定是特称命题，∴选项C正确．4．已知命题p：∃x∈(0，π2)，sinx＝12，则¬p为导学号03624284(B)A．∀x∈(0，π2)，sinx＝12B．∀x∈(0，π2)，sinx≠12C．∃x∈(0，π2)，sinx≠12D．∃x∈(0，π2)，sinx12[解析]¬p表示命题p的否定，即否定命题p的结论，由“∃x∈M，p(x)”的否定为“∀x∈M，¬p(x)”知选B．5.下列说法正确的是导学号03624285(A)A．“a1”是“f(x)＝logax(a0，a≠1)在(0，＋∞)上为增函数”的充要条件B．命题“∃x∈R使得x2＋2x＋30”的否定是“∀x∈R，x2＋2x＋30”C．“x＝－1”是“x2＋2x＋3＝0”的必要不充分条件D．命题p：“∀x∈R，sinx＋cosx≤2”，则¬p是真命题[解析]a1时，f(x)＝logax为增函数，f(x)＝logax(a0且a≠1)为增函数时，a1，∴A正确；“”的否定为“≥”，故B错误；x＝－1时，x2＋2x＋3≠0，x2＋2x＋3＝0时，x无解，故C错误；∵sinx＋cosx＝2sin(x＋π4)≤2恒成立，∴p为真命题，从而¬p为假命题，∴D错误．6．命题p：存在实数m，使方程x2＋mx＋1＝0有实数根，则“非p”形式的命题是导学号03624286(C)A．存在实数m，使得方程x2＋mx＋1＝0无实根B．不存在实数m，使得方程x2＋mx＋1＝0有实根C．对任意的实数m，方程x2＋mx＋1＝0无实根D．至多有一个实数m，使得方程x2＋mx＋1＝0有实根[解析]¬p：对任意实数m，方程x2＋mx＋1＝0无实根，故选C．二、填空题7．命题“存在x∈R，使得x2＋2x＋5＝0”的否定是任意x∈R，使得x2＋2x＋5≠0.导学号03624287[解析]特称命题的否定是全称命题，将“存在”改为“任意”，“＝”改为“≠”．8．命题“过平面外一点与已知平面平行的直线在同一平面内”的否定为__过平面外一点与已知平面平行的直线不都在同一平面内__.导学号03624288[解析]原命题为全称命题，写其否定是要将全称量词改为存在量词．三、解答题9．写出下列命题的否定并判断真假：导学号03624289(1)不论m取何实数，方程x2＋x－m＝0必有实数根；(2)所有末位数字是0或5的整数都能被5整除；(3)某些梯形的对角线互相平分；(4)被8整除的数能被4整除．[解析](1)这一命题可以表述为p：“对所有的实数m，方程x2＋x－m＝0都有实数根”，其否定是¬p：“存在实数m，使得x2＋x－m＝0没有实数根”，注意到当Δ＝1＋4m0，即m－14时，一元二次方程没有实根，因此¬p是真命题．(2)命题的否定是：存在末位数字是0或5的整数不能被5整除，是假命题．(3)命题的否定：任一个梯形的对角线都不互相平分，是真命题．(4)命题的否定：存在一个数能被8整除，但不能被4整除，是假命题．B级素养提升一、选择题1．(2015·浙江理)命题“∀n∈N*，f(n)∈N*且f(n)≤n”的否定形式是导学号03624290(D)A．∀n∈N*,f(n)∉N*且f(n)nB．∀n∈N*,f(n)∉N*或f(n)nC．∃n0∈N*,f(n0)∉N*且f(n0)n0D．∃n0∈N*,f(n0)∉N*或f(n0)n0[解析]命题“∀n∈N*，f(n)∈N*且f(n)≤n”其否定为：“∃n0∈N*，f(n0)∉N*或f(n0)n0”．2．命题“∀x∈R，exx2”的否定是导学号03624291(C)A．不存在x∈R，使exx2B．∃x∈R，使exx2C．∃x∈R，使ex≤x2D．∀x∈R，使ex≤x2[解析]原命题为全称命题，故其否定为存在性命题，“”的否定为“≤”，故选C．3．已知命题“∀a、b∈R，如果ab0，则a0”，则它的否命题是导学号03624292(B)A．∀a、b∈R，如果ab0，则a0B．∀a、b∈R，如果ab≤0，则a≤0C．∃a、b∈R，如果ab0，则a0D．∃a、b∈R，如果ab≤0，则a≤0[解析]条件ab0的否定为ab≤0；结论a0的否定为a≤0，故选B．4．(2016·江西抚州高二检测)已知命题“∃x∈R,2x2＋(a－1)x＋12≤0”是假命题，则实数a的取值范围是导学号03624293(B)A．(－∞，1)B．(－1,3)C．(3，＋∞)D．(－3,1)[解析]由题意知，∀x∈R,2x2＋(a－1)x＋120，恒成立，∴Δ＝(a－1)2－4＝a2－2a－30，∴－1a3.5．已知命题p：∀x∈R,2x2＋2x＋120；命题q：∃x∈R.sinx－cosx＝2.则下列判断正确的是导学号03624294(D)A．p是真命题B．q是假命题C．¬p是假命题D．¬q是假命题[解析]p中：∵Δ＝4－4＝0，∴p是假命题，q中，当x＝34π时，cosx＝22，cosx＝－22时，是真命题，故¬q是假命题．二、填空题6．已知命题p：∀x∈R，x2－x＋140，命题q：∃x0∈R，sinx0＋cosx0＝2，则p∨q，p∧q，¬p，¬q中是真命题的有__p∨q__¬p__.导学号03624295[解析]∵x2－x＋14＝(x－12)2≥0，故p是假命题，而存在x0＝π4，使sinx0＋cosx0＝2，故q是真命题，因此p∨q是真命题，¬p是真命题．7．已知命题p：m∈R，且m＋1≤0，命题q：∀x∈R，x2＋mx＋10恒成立，若p∧q为假命题且p∨q为真命题，则m的取值范围是__m≤－2或－1m2__.导学号03624296[解析]p：m≤－1，q：－2m2，∵p∧q为假命题且p∨q为真命题，∴p与q一真一假，当p假q真时，－1m2，当p真q假时，m≤－2，∴m的取值范围是m≤－2或－1m2.8．命题“∃x∈R，使x2＋ax＋10”为真命题，则实数a的取值范围是__a2或a－2__.导学号03624297[解析]由于∃x∈R，使x2＋ax＋10，又二次函数f(x)＝x2＋ax＋1开口向上，故Δ＝a2－40，所以a2或a－2.C级能力提高1．(2016·山东临沂高二检测)已知命题p：∀a∈(0，b](b∈R且b0)，函数f(x)＝3sin(xa＋π3)的周期不大于4π.导学号03624298(1)写出¬p；(2)当¬p是假命题时，求实数b的最大值．[解析](1)¬p：∃a0∈(0，b](b∈R，且b0)，函数f(x)＝3sin(xa0＋π3)的周期大于4π.(2)∵¬p是假命题，∴p是真命题，∴∀a∈(0，b]，2π1a≤4恒成立，∴a≤2，∴b≤2.故实数b的最大值是2.2．(2016·安徽安庆高二检测)已知命题p：∃x0∈[－1,2]，4x0m.导学号03624299(1)写出¬p；(2)当¬p是真命题时，求实数m的取值范围．[解析](1)¬p：∀x∈[－1,2]，4x≤m.(2)¬p是真命题，即当－1≤x≤2时，m≥(4x)max，∴m≥42＝16，∴实数m的取值范围是[16，＋∞)．