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第一章1.41.4.11.4.21.4.3A级基础巩固一、选择题1．下列命题中，全称命题的个数为导学号03624247(C)①平行四边形的对角线互相平分；②梯形有两边平行；③存在一个菱形，它的四条边不相等．A．0B．1C．2D．3[解析]①②是全称命题，③是特称命题．2．下列特称命题中真命题的个数是导学号03624248(D)①∃x∈R，x≤0；②至少有一个整数，它既不是合数，也不是素数；③∃x∈{x|x是整数}，x2是整数．A．0B．1C．2D．3[解析]①②③都是真命题．3．以下量词“所有”“任何”“一切”“有的”“有些”“有一个”“至少”中是存在量词的有导学号03624249(C)A．2个B．3个C．4个D．5个[解析]“有的”“有些”“有一个”“至少”都是存在量词．4．下列命题：①至少有一个x使x2＋2x＋1＝0成立；②对任意的x都有x2＋2x＋1＝0成立；③对任意的x都有x2＋2x＋1＝0不成立；④存在x使得x2＋2x＋1＝0成立．其中是全称命题的有导学号03624250(B)A．1个B．2个C．3个D．0个[解析]②③含有全称量词，所以是全称命题．5．(2016·山东菏泽高二月考)下列命题中为特称命题的是导学号03624251(C)A．所有的整数都是有理数B．三角形的内角和都是180°C．有些三角形是等腰三角形D．正方形都是菱形[解析]A、B、D为全称命题，C中含有存在量词“有些”，故为特称命题．6．(2016·山东济南高二月考)下列四个命题中，假命题为导学号03624252(B)A．∀x∈R,2x0B．∀x∈R，x2＋3x＋10C．∃x∈R，lgx0D．∃x∈R，x12＝2[解析]当x＝－1时，x2＋3x＋1＝－10，故命题“∀x∈R，x2＋3x＋10”为假命题．二、填空题7．命题“有些负数满足不等式(1＋x)(1－9x)20”用“∃”写成特称命题为__∃x00，(1＋x0)(1－9x0)20__.导学号03624253[解析]根据特称命题的定义改写．8．四个命题：①∀x∈R，x2－3x＋20恒成立；②∃x∈Q，x2＝2；③∃x∈R，x2＋1＝0；④∃x∈R,4x22x－1＋3x2.其中真命题的个数为__0__.导学号03624254[解析]x2－3x＋20，Δ＝(－3)2－4×20，∴当x2或x1时，x2－3x＋20才成立，∴①为假命题．当且仅当x＝±2时，x2＝2，∴不存在x∈Q，使得x2＝2，∴②为假命题，对∀x∈R，x2＋1≠0，∴③为假命题，4x2－(2x－1＋3x2)＝x2－2x＋1＝(x－1)2≥0，即当x＝1时，4x2＝2x－1＋3x2成立，∴④为假命题．∴①②③④均为假命题．三、解答题9．(2016·江苏南京高二检测)用符号表示下列全称命题：(1)对任意a1，都有函数f(x)＝ax在R上是增函数；(2)对所有实数m，都有2－m2－10；(3)对每一个实数x，都有cosx1.导学号03624255[解析](1)∀a1，函数f(x)＝ax在R上是增函数．(2)∀m∈R，2－m2－10.(3)∀x∈R，cosx1.B级素养提升一、选择题1．下列命题为特称命题的是导学号03624256(D)A．偶函数的图象关于y轴对称B．正四棱柱都是平行六面体C．不相交的两条直线是平行直线D．存在大于等于3的实数[解析]选项A，B，C是全称命题，选项D含有存在量词．故选D．2．下列命题是真命题的是导学号03624257(D)A．∀x∈R，(x－2)20B．∀x∈Q，x20C．∃x0∈Z,3x0＝812D．∃x0∈R,3x20－4＝6x0[解析]A中当x＝2时不成立，B中由于0∈Q，故B不正确，C中满足3x0＝812的x0不是整数，故只有D正确．3．以下四个命题既是特称命题又是真命题的是导学号03624258(B)A．锐角三角形的内角是锐角或钝角B．至少有一个实数x，使x2≤0C．两个无理数的和必是无理数D．存在一个负数x，使1x2[解析]A，C为全称命题；对于B，当x＝0时，x2＝0≤0，正确；对于D，显然错误．4．(2016·浙江杭州高二检测)已知命题p：∃x∈R，mx2＋1≤0，命题q：∀x∈R，x2＋mx＋10，若p∧q为真命题，则实数m的取值范围是导学号03624259(C)A．(－∞，－2)B．[－2,0)C．(－2,0)D．(0,2)[解析]p真：m0.q真：Δ＝m2－40，∴－2m2.∵p∧q为真命题，∴p、q均为真命题，∴－2m0，故选C．5．(2016·唐山一模)已知命题p：∃x0∈N，x30x20；命题q：∀a∈(0,1)∪(1，＋∞)，函数f(x)＝loga(x－1)的图象过点(2,0)，则导学号03624260(A)A．p假q真B．p真q假C．p假q假D．p真q真[解析]由x30x20，得x20(x0－1)0，解得x00或0x01，在这个范围内没有自然数，∴命题p为假命题；∵对任意的a∈(0,1)∪(1，＋∞)，均有f(2)＝loga1＝0，∴命题q为真命题．故选A．二、填空题6．下列特称命题是真命题的序号是__①③④__.①有些不相似的三角形面积相等；②存在一实数x0，使x20＋x0＋10；③存在实数a，使函数y＝ax＋b的值随x的增大而增大；④有一个实数的倒数是它本身.导学号03624261[解析]①为真命题，只要找出等底等高的两个三角形，面积就相等，但不一定相似；②中对任意x∈R，x2＋x＋1＝(x＋12)2＋340，所以不存在实数x0，使x20＋x0＋10，故②为假命题；③中当实数a大于0时，结论成立，为真命题；④中如1的倒数是它本身，为真命题，故选①③④.7．给出下列语句：①所有的偶数都是素数；②有些二次函数的图象不过坐标原点；③|x－1|2；④对任意的实数x5，都有x3.其中是全称命题的是__①④__.(填序号)导学号03624262[解析]②是特称命题；③不是命题．三、解答题8．判断下列命题的真假：导学号03624263(1)任给x∈Q，13x2＋12x＋1是有理数；(2)存在α、β∈R，sin(α＋β)＝sinα＋sinβ；(3)存在x、y∈Z,3x－2y＝10；(4)任给a、b∈R，方程ax＋b＝0恰有一个解．[解析](1)∵x∈Q，∴13x2与12x均为有理数，从而13x2＋12x＋1是有理数，∴(1)真；(2)当α＝0，β＝π3时，sin(α＋β)＝sinα＋sinβ成立，∴(2)真；(3)当x＝4，y＝1时，3x－2y＝10，∴(3)真；(4)当a＝0，b＝1时，0x＋1＝0无解，∴(4)假．C级能力提高1．已知函数f(x)＝x2＋mx＋1，若命题“∃x00，f(x0)0”为真，则m的取值范围是__(－∞，－2)__.导学号03624264[解析]由条件知－m20m2－40，∴m－2.2．已知命题p：“∀x∈[1,2]，x2－a≥0”，命题q：“∃x0∈R，x20＋2ax0＋2－a＝0”，若命题“p且q”是真命题，求实数a的取值范围.导学号03624265[解析]由“p且q”是真命题，知p为真命题，q也为真命题．若p为真命题，则a≤x2对于x∈[1,2]恒成立．所以a≤1.若q为真命题，则关于x的方程x2＋2ax＋2－a＝0有实根，所以Δ＝4a2－4(2－a)≥0，即a≥1或a≤－2.综上，实数a的取值范围为a≤－2或a＝1.