平面几何中的向量方法(1)

2.5平面向量应用举例2.5.1平面几何中的向量方法1向量的相关概念及其形式定义形式坐标形式数量积运算向量的模向量的夹角垂直的判定共线的判定相等的判定cosabab2121yyxxbaaaa22yxababacos222221212121yxyxyyxxcos0ba02121yyxx01221yxyx），（），，（非零向量2211yxbyxaab1212xxyy且a=λb21221abxy-xy0(b0)向量在几何中的应用(1)证明线段平行问题，包括相似问题，常用向量平行（共线）的条件a∥b.(2)证明垂直问题,常用向量垂直的条件a⊥b.⇔⇔1212ab0xxyy0.3利用夹角公式212212)y-(y+)x-(x(3)求夹角问题，(4)求线段的长度，可以用向量的线性运算，向量的模|a|=或|AB|=|AB|=.121222221122xxyyabcosabxyxy2aaa22axy4ABCD,ACABAD,DBABAD问题：平行四边形是表示向量加法与减法的几何模型。如图，你能发现对角线AC的长度与邻边AB、AD的长度之间的关系吗？对角线DB？对角线的长度与两条邻边长度之间有何关系？涉及到长度问题常常考虑向量的数量积AB²AC²AD²DB²5ABCDAB²=a²AD²=b²设AB=a，AD=b，则AC=a+b，DB=a-b，分析：AC²=AC+AC=(a+b)(a-b)·=aa+ab+ba+bb····=a²+2ab+b²·DB²=a²-2ab+b²·同理DB²=AC²+2(a²+b²)AB²+AD²=2()平行四边形两条对角线长的平方和等于两条邻边长的平方和的两倍.6利用向量法解决平面几何问题的基本思路（1）建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；（2）通过向量运算，研究集合之间的关系，如距离、夹角等问题；（3）把运算结果“翻译”成几何元素。7ABCDEFRT例2如图，ABCD中，点E、F分别是AD、DC边的中点，BE、BF分别与AC交于R、T两点，你能发现AR、RT、TC之间的关系吗？,,,ABaADbARr解设：ACab则EREB又与共线(),rnabnR设1()2ERmEBmab设ARAC与共线ARAEER81122()rbmab1122()()nabbmab102()()mnmanb即,ab由于向量不共线0102nmmn13nm解得：111333,,ARACTCACRTAC同理于是故AT=RT=TCARAEERABCDEFRT9在日常生活中，你是否有这样的经验：两个人共提一个旅行包，夹角越大越费力；在单杠上做引体向上运动，两臂的夹角越小越省力，你能从数学的角度解释这种现象吗？10在日常生活中，你是否有这样的经验：两个人共提一个旅行包，夹角越大越费力；在单杠上做引体向上运动，两臂的夹角越小越省力，你能从数学的角度解释这种现象吗？GFF1F2θ11.F当逐渐增大时，的大小怎样变化，为什么？12.F为何值时，最小，最小值是多少？13.FG为何值时，？11GFF1F2θ1||||2cos2GF即F1、F2之间的夹角越大越费力，夹角越小越省力∴当θ由0°～180°逐渐增大时，由0°～90°逐渐增大，而的值逐渐缩小，因此逐渐增大cos211.F当逐渐增大时，的大小怎样变化，为什么？解：设则由向量的平行四边形法则、力的平衡及直角三角形的知识可知12||||FF12GFF1F2θ当θ=0，最小，最小值是||2G1||F当θ时，231||||FG例3.在日常生活中，你是否有这样的经验：两个人共提一个旅行包，夹角越大越费力；在单杠上做引体向上运动，两臂的夹角越小越省力，你能从数学的角度解释这种现象吗？12.F为何值时，最小，最小值是多少？13.FG为何值时，？13v1v2v例4.如图，一条河的两岸平行，河的宽度d=500m,一艘船从A处出发到河对岸，已知船的速度，水流速度，问行驶航程最短时，所用时间是多少？(精确到0.1min)1||10/vkmh2||2/vkmhv1v2v1212210/,2/.vvvvkmhvkmhvvt如图，分已知，，，求析：14v1v2v例4.如图，一条河的两岸平行，河的宽度d=500m,一艘船从A处出发到河对岸，已知船的速度，水流速度，问行驶航程最短时，所用时间是多少？(精确到0.1min)1||10/vkmh2||2/vkmh20vv解：由已知条件得2212||||||96(/),vvvkmh0.5603.1(min).||96dtv所以思考：要使船行驶的时间最短，所用时间是多少？v1v2vABCD15例3证明直径所对的圆周角是直角ABCO已知：如图所示，已知⊙O，AB为直径，C为⊙O上任意一点。求证：∠ACB=90°证明：,AOaOCb设,ACabCBab则ACCBabab2222abab220rr即，∠ACB=90°0ACCB思考：能否用向量坐标形式证明？xy16已知直线l：mx＋2y＋6＝0，向量(1－m，1)与l平行则实数m的值为（）A.-1B.1C.2D.-1或2D利用向量证明：菱形的两条对角线互相垂直ABCD17练习1、一船从某河的一岸驶向对岸，船速为，水速为已知船可垂直到达对岸，则（）1v2v12121212.||||.||||.||||.||||AvvBvvCvvDvv2、已知作用在A点的三个力，A(1，1)则合力的终点坐标是（）A.(8,0)B.(9,1)C.(-1,9)D.(3,1)1(3,4)F2,(2,5)F3(3,1)F123FFFFBB183、一个物体受到两个相互垂直的力的作用，两边大小都为，则两个力的合力的大小为（）12,ff53N561030562....ANBNCNDN4、三个力同时作用于点O且处于平衡状态，已知的夹角为120°，又，则123FFF、、13FF与12|FF|=||=20N3||FC20N19