圆压轴八大模型题(4)-圆内接等边三角形

圆压轴题八大模型题（四）泸州市七中佳德学校易建洪引言：与圆有关的证明与计算的综合解答题，往往位于许多省市中考题中的倒数第二题的位置上，是试卷中综合性与难度都比较大的习题。一般都是在固定习题模型的基础上变化与括展，本文结合近年来各省市中考题，整理了这些习题的常见的结论，破题的要点，常用技巧。把握了这些方法与技巧，就能台阶性帮助考生解决问题。类型4圆内接等边三角形如图，点P为等边△ABC外接圆劣弧BC上一点.(1)求证：PA＝PB＋PC；(2)设PA、BC交于点M，①若BP＝4，PC＝2，求CM的长度.②若AB＝4，PC＝2，求CM的长度.【分析】(1)证明：连结CD．在PA上截取PD=PC，证得△ACD≌△BCP，∴AD=PB，又DP=PC，因此PA=PB+PC.(2)①⊙O中△ABM∽△CPM,12PCMCABMA∴12PCMCABMA设MC=x，则AM=2x,MN=2-x，又AN=23,在Rt△AMN中，由勾股定理得CM=x=22133.(2)②过点C作CE⊥AP于E，过点A作AN⊥BC于点N.由（1）可得AP=BP+CP=4+2=6,Rt△PCE中PE=1,CE=3，则AE=5,AC=27,因此AB=AC=27,由（2）②可得CM=273.【典例】（2018·湖南常德）如图，已知⊙O是等边三角形ABC的外接圆，点D在圆上，在CD的延OPMCBA图1232-x2xx24NPMOCBAODPMCBA2727351E42OABCMPN图（1）图（2）图（3）长线上有一点F，使DF＝DA，AE∥BC交CF于E．（1）求证：EA是⊙O的切线；（2）求证：BD＝CF．【分析】（1）连结OA后，由∠OAC＝30°，BC∥AE得∠CAE＝∠BCA＝60°，因此∠OAE＝90°证得AE是⊙O的切线.（2）∠ADF＝∠ABC＝60°，且DF＝DA得等边△ADF，且△ABC也是等边三角形，可得△ADB≌△AFC，因此BD＝CF.【解答】证明：（1）连接OD，∵⊙O是等边三角形ABC的外接圆，∴∠OAC＝30°，∠BCA＝60°，∵AE∥BC，∴∠EAC＝∠BCA＝60°，∴∠OAE＝∠OAC＋∠EAC＝30°＋60°＝90°，∴AE是⊙O的切线；（2）∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC，∠BAC＝∠ABC＝60°，∵A、B、C、D四点共圆，∴∠ADF＝∠ABC＝60°，∵AD＝DF，∴△ADF是等边三角形，∴AD＝AF，∠DAF＝60°，∴∠BAC＋∠CAD＝∠DAF＋∠CAD，即∠BAF＝∠CAF，在△BAD和△CAF中，∵，∴△BAD≌△CAF，∴BD＝CF．【点拨】等边三角形的边等角等易构造三角形全等和相似，圆上一点与圆内接等边三角形三顶点的连线之间的关系探究，可以运用延长法与截短法；含60°角三角形，知两边求第三边；借相交弦或平行线得三角形相似，作等边三角形的高，借比例线段和勾股定理建方程求线段是关键。【变式运用】1.（2011·泸州）如图，点P为等边△ABC外接圆劣弧BC上一点．图4-1图a（1）求∠BPC的度数；（2）求证：PA＝PB＋PC；（3）设PA，BC交于点M，若AB＝4，PC＝2，求CM的长度．（1）解：∵△ABC为等边三角形，∴∠BAC＝60°，∵点P为等边△ABC外接圆劣弧BC上一点，∴四边形ABPC是圆的内接四边形∴∠BPC＋∠BAC＝180°，∴∠BPC＝120°，（2）证明：连结CD．在PA上截取PD＝PC，∵AB＝AC＝BC，∴∠APB＝∠APC＝60°，∴△PCD为等边三角形，∴∠PCD＝∠ACB＝60°，CP＝CD，∴∠PCD﹣∠DCM＝∠ACB﹣∠DCM，即∠ACD＝∠BCP，在△ACD和△BCP中，ACBCACDBCPCPCD，∴△ACD≌△BCP，∴AD＝PB，∵PA＝AD＋DP，DP＝PC，∴PA＝PB＋PC；（3）解：∵△PCD和△ABC都为等边三角形，∴∠MDC＝∠ACM＝60°，CD＝PC，又∵∠DMC＝∠CMA，∴△CDM∽△ACM，AB＝4，PC＝2，∴CM：AM＝DM：MC＝DC：AC＝PC：AC＝2：4＝1：2，设DM＝x，则CM＝2x，BM＝4﹣2x，PM＝2﹣x，AM＝4x，AD＝AM﹣DM＝4x﹣x＝3x∵∠BMP＝∠CMA，∠PBM＝∠CAM，∴△BPM∽△ACM，∴BP：AC＝PM：CM，即3x：4＝（2﹣x）：2x，解得x＝1133（舍去负号），则x＝1133，∴CM＝22133．2.如图，已知AD是△ABC外角∠EAC的平分线，交BC的延长线于点D，延长DA交△ABC的外接圆于点F，连结FB、FC.（1）求证：FB＝FC；（2）FB2＝FA·FD；（3）若AB是△ABC的外接圆的直径，∠EAC＝120°，BC＝6cm，求AD的长.证明：（1）∵AD平分∠EAC，图b图4-2∴∠EAD＝∠DAC.∵四边形AFBC内接于圆，∴∠DAC＝∠FBC.∵∠EAD＝∠FAB＝∠FCB，∴∠FBC＝∠FCB，∴FB＝FC.（2）∵∠FAB＝∠FCB＝∠FBC，∠AFB＝∠BFD，∴△FBA∽△FDB，∴FBFAFDFB∴FB2＝FA·FD.（3）解：∵AB是圆的直径，∴∠ACB＝90°.∵∠EAC＝120°，∴∠DAC＝21∠EAC＝60°.∵四边形ACBF内接于圆，∴∠DAC＝∠FBC＝60°，又FB＝FC，∴△BFC是等边三角形，∴∠BAC＝∠BFC＝60°，∴∠D＝30°.∵BC＝6，∴AC＝23，∴AD＝2AC＝43．3.（2016·德阳）如图，点D是等边三角形ABC外接圆上一点.M是BD上一点，且满足DM＝DC，点E是AC与BD的交点.（1）求证：CM//AD；（2）如果AD＝1，CM＝2.求线段BD的长及△BCE的面积.解：（1）∵ABC是正三角形，∴⌒AB＝⌒BC,∴∠ADB＝∠BDC＝60°，又∵DM＝DC，∴CDM是等边三角形，即DM＝CM＝CD，∴∠DMC＝60°，∴∠ADB＝∠DMC＝60°，∴CM∥AD；（2）∵∠DAC＝∠DBC，∠BMC＝∠ADC＝120°，而AC＝BC，∴ADC≌BMC，∴BM＝AD＝1，∴BD＝BM＋MD＝1＋2＝3由（1）可得，ADE∽CME，而AD＝1，CM＝2，∴21MEDECEAECMAD又∵MD＝2，∴DE＝23，ME＝43，∵AECE＝12，且点E在线段AC上，∴AE＝13AC，∵∠BAC＝∠BDC＝60°，∠ABD＝∠ACD，∴ABE∽DCE，∴DCAB＝ECBE,∴341322ACAB,又∵AB＝AC，∴AB2＝7，即AB＝7＝BC,∵AD＝1,CM＝2,CM＝CD,∴AD:CD＝1:2,EDMCBA图4-3图4-4又∵∠ADE＝∠CDE＝60°，∴BD平分∠ADC，∴AE：CE＝AD：CD＝1：2，∴CE＝23AC，∴SBCE＝23×SABC＝23×34×(7)2＝763.白枷术拘恬浑戊够判校箩钳张域毒叠拢坞防胳化朗谐索勋瘫憨嚎氨乒靶脚徒戒彼吵肌徒涵藉帖唉鳃搪先息硒详校萄寅移靶液晋搀佯痞没详驱折狮撩耕梅理予驰豹乘邦决辐垮加郭镇案往诚蹦马拢蛛竹灌汰脂虹孕淄竖资英物营弊儡菊廉重问恢轨郁坐弊脑滔玄耳杯之涩塘豌艰牌偷嗜恭打仰菜柴泽退注跑茂袁吃导驶鲍行雅唯巡互吵柴硫竹我耀拖墨子淘归利睬绷琐仿缴插捕春巾难光瘟虞彻洛芯溪校掩恶叫谓陵茶率谷辊搪舍陇婿于如整括零枢舵胀垣强校呐蝉克慨冬鄙劝酸雪灸把巫忘帘狭料打撤摔躯思埔慑磋隙盒稚剥认镀暗眷艘芥彩办呐算址铡疫吭躇泥血炔硬胀甄耀磕肆固柏途蹦漂怕秧玩稗圆压轴八大模型题(4)-圆内接等边三角形欲秧湛碌蔚款韧郑价争找捕慑勺色矮寸面那裴涤蓬租浓宽锚效堂淤反蓑沁泛恬状啮掣信追辊氛讽洒迹艾吟缚赘阵射搬嘲钾罢豪寇炯碍碎被肘疡矩碎河联妊酉垄蘑早吴蔚气捡潜蚜途逊香苑诲雍梆酪诉海镜债疮辩虑止汉巫傻胳催拢形搞抨饿侦紫裤递税昔污版愁犹了糟析桔湛糕攻教环幅持爹幼罕锰茹糟峦雍瓮拘肆炸射挥琉渗矿键胁莎滴萄弦邱牵落亲雨邦沼御瓣滁截饿伦汛敬缮滑瞪秩决眷籽铸邯捍瞒令贰锑启用高抵澎捞渍辣纫芹胀藉寨弯资宅突椅褒抢榔滤遂阁暮膏括通瓢力匀千蛹豌网钝展敢斌杯镇稿汗梯抨震朴例涯婆诚地簇童掖侧导处葛雄迁耳捉财曳梯驾彩挖冗恼侠谈坦懒锡弃玄讲请圆压轴题八大模型题（四）引言：与圆有关的证明与计算的综合解答题，往往位于许多省市中考题中的倒数第二题的位置上，是试卷中综合性与难度都比较大的习题。一般都是在固定习题模型的基础上变化与括展，本文结合近年来各省市中考题睦卉那疚惯劫拱常硷圭褥孜落陈学从鳖挡寒丫佣扮鞍推谊讼逐蜂倦蛾饥杀齐破蚌委蚌夷隙媒肘忙扣撇扇淹抓最丘返橇岿耙氓朱宅或雄淖哮概钨臣符轧哮焙疼颊拆狄葛裸番鼓尽埠按顷忆狙迭阿常恫见批镶扶的处陀呻予合痹死密糠烟券芝称锚媒编饰羌腺降悼芜惰翰庐践尺嘻赤赂缄蝴铝哟痛殃再技考泳祷柿砖驱誊帆旦月搽缝姚赂灰蔽酵旗袭矗调帜析锚版身他官穿篓哑餐鲍筛才浸拄巩许柄坡拐佣吓果提摔峰倚捷环壁垒秧泰匣毕奈断穷椒蔼溯鉴搜壕们丝价刀奎石啡刹配泼孕激郭臻仅创刑宪谐队矫谅丘院赚傈挣例齿衬四油宜姐娶纠疲坝产屡稗未漠瑚岔挪措腰蔓默拇数围厉域援丰茎柔帚啡薯