平面向量与平面几何

平面向量与平面几何小观许苏华有一个量源自于现实生活，在物理中称之为矢量，在数学中称之为向量，这种量不同于物理中的标量，也不同于数学中的数量，它是既有大小又有方向的量.在数学中的一个平面内研究的向量，称之为平面向量，在空间中研究的向量，便称之为空间向量.在此篇文章中，只谈平面向量，以后再专门谈空间向量.为什么要学习平面向量？首先它很有用，不仅在物理中有着广泛的应用，而且在数学本身中也有着广泛应用，比如正、余弦定理的推导，而平面向量在平面几何中的应用更显得突出.说的更具体一点，此篇文章，在教材的基础之上，进一步研究平面几何中的向量方法，这也是平面向量中较难的地方.一、平面向量与三点共线高中数学教材中有这样的一个定理：向量(0)aa与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数，使ba.上述定理，常称之为向量共线定理，它等价于这个定理：点A、B、C共线的充要条件是存在实数，使得ACAB．除了向量共线定理，在解题中经常使用到被称之为向量三点共线定理的结论：设O是平面内任意一点，点A、B、C共线的充要条件是存在实数x、y，使得OCxOAyOB，其中1xy．向量共线定理，很容易理解，也可以参考教材.关键是如何证明向量三点共线定理？凡是含有“充要条件”关键词的结论，相当于两个结论，都需要从两个方向去证明.证明：（充分性）若存在实数x、y，使得OCxOAyOB，其中1xy，则(1)OCxOAxOB，则()OCOBxOAOB，则BCxAB，因此A、B、C三点共线.（必要性）如果A、B、C三点共线，则存在实数，使得ACAB．在平面内任取一点O，则有()OCOAOBOA，即(1)OCOAOB，令1x，y，则存在实数x、y，使得OCxOAyOB，其中1xy．比如下面的例题与练习，充分体现了向量三点共线定理的魔力，学完练完再来回味.例1在ABC△中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB、AC于不同的两点M、N，若AB=mAM，AC=nAN，则nm的值为．解析：连结AO，因为点O是BC的中点，所以有AO1122ABAC1122mAMnAN.又因为M、O、N三点共线，所以12121nm，故2nm．例2如图所示，点是OAB△的重心，、分别是边、上的动点，且、、三点共线．设OPxOAOQyOB，，证明：是定值.证明：G是OAB△的重心211()()323OGOAOBOAOBOPxOAOQyOB，11OAOPOBOQxy，1111()()33OGOAOBOPOQxy1133OGOPOQxy又、、三点共线GPQOAOBPGQyx11PGQ11133xy11xy为定值3再练习两道经典题目吧！（答案在网上可以找到.）练习1（2006年湖南高考题）如图，//OMAB，点P在由射线OM，线段OB及AB的延长线围成的区域内（不含边界），且OPxOAyOB，则实数对(,)xy可能的取值是（）A．13(,)44B．22(,)33C．13(,)44D．17(,)55练习2如图所示，在OAB△中，14OCOA，12ODOB，AD和BC交于点M，设OAa，OBb，以a、b为基底表示OM．二、平面向量与三角形的形状三角形根据最大角的取值可分为钝角三角形、直角三角形、锐角三角形，根据三条边的长短情况可分为等边三角形、不等边的等腰三角形、三边各不相等的三角形.如何用平面向量表示多姿多彩的三角形形状呢？先看下面的例题：（一）直角三角形例3已知ABC△满足2ABABACBABCCACB，则ABC△是（）A.等边三角形B.锐角三角形C.直角三角形D.钝角三角形解析：在ABC△中，2ABABACBABCCACB2ABABACABBCCACBABACBCCACB2ABABCACBABCACB0CACBCACBABC△是直角三角形（二）等边三角形例4已知非零向量AB与AC满足0ABACBCABAC且12ABACABAC，则ABC△为（）A.等比三角形B.直角三角形C.等腰非等边三角形D.三边各不相等的三角形解析：因为0ABACBCABAC，即BAC的平分线与BC垂直，所以三角形是等腰三角形．又因为12ABACABAC，所以BAC=60°，所以ABC△是等边三角形．（三）钝角三角形例5在ABC△中，若0ABABBC，则ABC△的形状是（）A.钝角三角形B.锐角三角形C.直角三角形D.不确定解析：0ABABBC0ABACcos0ABACBACcos0BACBAC90°ABC△为钝角三角形（四）等腰三角形例6在ABC中，若0ABACABAC，则ABC△为（）A.等腰三角形B.锐角三角形C.直角三角形D.不能判断解析：由0ABACABAC，得220ABAC，则22ABAC，即ABAC，所以ABC△为等腰三角形.（五）锐角三角形例7在ABC中，若::1:2:3BCCACAABABBC，则ABC△为（）A.等腰三角形B.等边三角形C.直角三角形D.不等边的锐角三角形解析：令BCa，CAb，ABc，BCCAk，2CAABk，3ABBCk，其中0k，又cosBCCACBCAabC2221()2cab2222abck，同理2224bcak，2226acbk，解得24ak，23bk，25ck，可见a、b、c各不相等，且c最大，222cos2abcCab202(4)(3)kkk，最大角C是锐角，因此ABC△为锐角三角形.通过上述5道例题，可以发现根据向量关系式，可以判断三角形的形状.由向量关系式推出两个向量垂直，则为直角三角形；推出两个向量的夹角为钝角，则为钝角三角形；推出两个向量的模相等，则为等腰三角形；若推出三边都相等，或者两边相等且一个角为60°，则为等边三角形；推出最大边对应的最大角为锐角，则为锐角三角形.当你系统掌握相关知识点与思想方法，下面所给的两道经典练习，可以让你感受到已熟悉各种题型后的游刃有余.练习3已知(cos120,sin120)AB，(cos30,sin45)BC，则ABC△的形状是（）A.直角三角形B.等腰三角形C.锐角三角形D.钝角三角形练习4在ABC中，P是BC边中点，角A、B、C的对边分别是a、b、c，若0aPAbPBcAC，则ABC△的形状是（）A.等边三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.等腰三角形三、平面向量与三角形的“心”们三角形有很多心，比如重心、垂心、内心、外心、旁心等，这些“心”的问题让许多没有学多少几何的同学伤透了“心”！与平面向量的结合更让许多同学觉得扑朔迷离！笔者带你去揭开她们的神秘面纱，一睹她们的真容！（一）重心所谓重心，和物理中的重心是一致的，当三角形是一块规则且密度均匀的三角板时，可以用悬挂法确定其重心，即三角形三条中线的交点，因此得名.重心与平面向量相关的常用结论有下面三条，而这些结论往往改编成考试题出现：（1）0GAGBGCG是ABC△的重心.证法1：设112233(,),(,),(,),(,)GxyAxyBxyCxy，那么0GAGBGC0)()()(0)()()(321321yyyyyyxxxxxx33321321yyyyxxxxG是ABC△的重心.证法2：如图所示，GAGBGC20GAGD2AGGDAGD、、三点共线，且G分AD为2:1G是ABC△的重心.（2）P是ABC△所在平面内任一点，G是ABC△的重心1()3PGPAPBPC.证明：已知CGPCBGPBAGPAPG，即3()()PGAGBGCGPAPBPC，那么G是ABC△的重心0GAGBGC0AGBGCG3PGPAPBPC1()3PGPAPBPC.（3）已知O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足()OPOAABAC，(0),，则P的轨迹一定通过ABC△的重心.证明：设G是ABC△的重心()OPOAABAC且OPOAAP()APABAC又211()()323AGABACABAC3APAG，即A、G、P三点共线P的轨迹一定通过ABC△的重心（P的轨迹其实就是不含端点的射线AG）（二）垂心顾名思义，垂心难道和垂直存在着某种关系？的确是这样的，三角形三条高线的交点便是垂心.垂心与平面向量相关的常用结论有下面两条：（1）HAHBHBHCHCHAH为ABC△的垂心.证明：如图所示H是ABC△的垂心，BE垂直AC，AD垂直BC，D、E是垂足，那么()0HAHBHBHCHBHAHCHBCAHBAC同理HABC，HCABH为ABC△的垂心.（2）已知O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足coscosABACOPOAABBACC，(0)，，则动点P的轨迹一定通过ABC△的垂心．证明：coscosABACOPOAABBACC且OPOAAPcoscosABACAPABBACC又coscoscoscosABACABBCACBCAPBCBCABBACCABBACCcos()coscoscosABBCBACBCCABBACC0BCBCAPBCP的轨迹一定通过ABC△的垂心（设H是ABC△的垂心，P的轨迹其实就是不含端点的射线AH）（三）内心三角形内切圆的圆心，简称为内心.那又为何是三条角平分线的交点呢？既然是三角形内切圆的圆心，那么该圆心到三角形三边的距离相等，因此借助角平分线逆定理，得到该圆心在三角形的三条角平分线上，即内心也是三角形三条角平分线的交点.（1）设a、b、c为三角形的三条边长，那么0aIAbIBcIC的充要条件是I为ABC△的内心.先证若0aIAbIBcIC，则I为ABC△的内心.证明：易知IBIAAB，ICIAAC，ABAB与ACAC分别为AB和AC方向上的单位向量，且ABACbABcACACABABACACABABAC，那么0aIAbIBcIC()0abcIAbABcACbcABACAIabcABACAI平分BAC，同理可证BI平分ABC，CI平分ACBI是ABC△的内心再证若I为ABC△的内心，则0aIAbIBcIC.证明：记1e、2e、3e分别为IA、IB、IC上的单位向量，记BIC、CIA、AIB，记内切圆的半径为r.2IBCICAIACaIAbIBcICSIASIBSICr1sinsinsinIBICIAIAICIBIBIAICr123sinsinsinIBICIAeeer.令123sinsinsinfeee，则11231sinsinsinsinsincossincosfeeeeesinsinsinsin20，同理20fe，30fe，由于三个单位向量1e、2e、3e不共线，那么只能0f.因此0aIAbIBcIC.（2）I是ABC△的内心的充要条件是0ABACBABC