构建高效率学习的数学课堂

构建高效率学习的数学课堂浙江生仙居县教育局教研室吴增生高效率学习的涵义与特征高效率学习是指在科学的学习理论的指导下，依据学习规律和心理发展规律，应用科学的学习策略、方法和技巧，发挥学生学习的主观能动性，从而在单位时间内能更轻松愉快地获得更多更好的知识，促进个体潜能充分发展的学习活动.高效率学习有以下五个基本特征：1.学习过程高速度.能在很短时间内完成学习任务.2.学习方法科学.3.学习策略运用得当（认知策略和元认知策略）.4.学习结果高质量.能顺利完成学习任务，数学学习潜能得到充分发展，同时一般能力与情感态度也得到良好的发展.5.学习过程心情愉悦高效率学习数学课堂的基本要求图1学习活动方式符合认识规律提高注意的有效选择性激发与维持学习动机利用内隐认知资源选择合适的学习策略监控自己的学习过程高效率的数学学习从人本的角度审视高效率学习数学课堂数学课堂的教育性：通过数学课堂，使学生积累数学知识、形成数学技能、学会用数学的观念审视和理解客观世界，能让学生“在日常行为中流淌出数学的观念”.由此折射出数学课堂的认知发展价值.数学课堂的生活性：学生在数学课堂的时间内既是一种学习，也是一种生活，生活需要乐趣，需要积极的情感，需要幸福，幸福的最高境界是“做自己喜欢的事并且因做出成绩得到充分尊重与欣赏”.从中折射出数学课堂的情感价值.数学学习过程是认知与情感活动和谐交融的过程快乐中枢认知加工平台：工作记忆心算计算器数学学习的认知加工过程控制信息特征捆绑中央执行中央执行任务协调抑制无关信息策略转换长时记忆信息保持与提取对象知觉知识表征抽象、推理联系新知识结构任务输出语音回路视空存储情节缓存图2任务对象动机激发选择性注意任务感知工作记忆高效率学习数学课堂的基本结构充分开发数学课堂中的认知发展价值（一）1.突出对象，引发学生合理的注意选择.2.正本清源，突出数学本质.数学本质既包括知识的本质也包括数学活动的本质，突出知识的数学本质要求引导学生正确理解数学对象的结构特征和关系；突出学习活动的数学本质要求引导学生经历诸如观察、归纳、抽象、推理等数学活动的过程，加强数学活动中的合情推理（归纳推理、类比推理和逻辑推理），了解和欣赏数学文化.HGABF（B）F（A）图1：数学合情推理模型对象集合A，B，F（B）表示集合B中元素的数学特征，F（A）表示集合A中的元素数学特征，G表示B与A之间的关系，则有：充分开发数学课堂中的认知发展价值（二）3.顺势而为，帮助学生自然合理地生成知识.数学知识的生长过程中，新的对象结构模型形成过程是在原有经验模型结构基础上的拓扑过程，是对原有结构模型进行分拆与重组的过程：把原有模型集合分成若干个子集，再进行这些子集的有限交和任意并运算，就是新对象结构模型所在的集族.而新对象的结构模型个体及其特征的变化过程是自相似的.数学新对象生成过程示意图重组分拆原对象新对象数学知识生长过程：合情推理——数学对象结构、特征与关系的自相似程度与变异程度的推理充分开发数学课堂中的认知发展价值（三）合理确定知识生长点；选择与学习任务、学习内容、学情相匹配的知识生长方式.用问题和任务进行知识生长的合理引导：自然合理地提出问题、自然合理地解决问题、自然合理地解释问题和拓展问题研究.充分理解、激发学生的新观念，合理运用学生的新观念.确保学生的成功率.4.无声润物，不失时机地渗透和提炼数学思想方法.充分开发数学课堂的情感发展价值1.以势发力，激发数学课堂中学生积极深度参与的动力.（注意力、针对性、自信心、满意感）.2.用获得尊重与成功体验增强学生课堂学习的幸福感.3.行云流水，努力改善数学课堂的整体性、层次性与流畅性.4.神定形变，实现数学活动形式的多样性.5.高山流水，实现课堂学习场景化和师生认知与情感的共鸣6.开发具有审美价值的学习活动资源7.用扎实的教学基本功和高超的表达与组织艺术增强学生的审美感受.数学课堂的设计1.设计理念：为动态生成而合理预设2.设计程序：研究学习内容研究课程标准分析学生心理现实确定学习目标分解学习目标目标1目标2目标3设计学习活动片段片段1片段2片段3情境1——情境2——情境3——情境4…——课堂小结整合活动片段开发学习资源资源1资源2资源3资源4预设评价调节设计案例（一）锐角三角函数（浙教版）1.学习内容分析：直角三角形形状由一个锐角完全确定形状确定的直角三角形三边之比不变锐角与边比值对应关系—锐角三角函数任意角弧度制单位圆三角函数图象性质推广角数值化推广定义一般三角函数化曲为直到x轴应用：测量与计算初中变量关系视角下的不能用代数式表示的特殊函数关系研究高中数集之间映射关系视角下的实数与实数之间的对应关系研究2.教材知识呈现方式浙教版教材是在学习相似图形和函数概念的基础上安排这一学习内容的，教材首先提出的问题是：物体不同坡角的电梯上移动相同的路程，那么物体在铅垂方向和水平方向所移动的距离有什么关系？然后引导学生进行下面的“合作学习”：画一个30°的角和50°的角，过角的一边上的点分别画另一边的垂线，构成直角三角形（如图1，图2），通过回顾含30°角的直角三角形性质得到，不论B在斜边上怎样运动，比值BCAB，,ACBCABAC分别等于定值12，33,23；对于50°的锐角，通过测量的方法发现BCAB，,ACBCABAC也分别是定值，在此基础上，提出猜想：对于一般的锐角，BCAB，,ACBCABAC也是唯一确定的值，然后用相似三角形知识加以证明.从而得到这些线段的比值都是由锐角唯一确定，随着锐角的变化而变化，联系函数的概念，把这中锐角与线段比值之间的对应关系分别定义为正弦函数、余弦函数和正切函数，统称三角函数.接着，在直角三角形中定义这三种函数并引入记号，并安排已知直角三角形两边求三角函数的样例与巩固练习.C′30°BCNMB′A图1C′50°BCNMB′A图22.学习目标分析课程标准对锐角三角函数（章）学习目标的描述是：通过实例认识三角函数（sinA，cosA，tanA），知道30°，45°，60°的三角函数值；会用计算器由已知锐角求它的三角函数值，由已知三角函数值求它对应的锐角，会运用锐角三角函数解决与直角三角形有关的实际问题.本课学习目标分析：（1）知识技能：知道锐角三角函数的意义，知道三角函数是锐角与边之比的对应关系，能用符号准确表示正弦、余弦和正切函数，会根据直角三角形中的两边（或两边之比）求三角函数；（2）过程方法：经历三角函数概念的抽象过程，经历用数形结合的方法研究直角三角形中锐角与边长之比关系的过程，体验数学观察、归纳、猜想、检验等数学活动过程和合情推理在数学中的运用，感受运动变化和对应思想.（3）情感态度：通过从实例认识锐角三角函数和利用锐角三角函数解决实际问题，体会数学与生活的关系和三角函数的应用价值，通过三角函数概念的抽象过程，感受直角三角形锐角决定形状（三边之比）的函数描述，是直角三角形状不变的另一种数量描述方式.重点难点分析重点：理解锐角三角函数的概念，会根据直角三角形的两边（之比）求三角函数.难点：两次不同层次的抽象过程ABCa第一层次：a不变条件下用变量的观点考察边的比值第二层次：在a变化情况下用变量观点考察比值与角度之间的对应关系学习目标分解与学习任务组织按照课堂进程的时间来分解学习目标，安排学习任务（1）感受学习三角函数的必要性和应用价值；（2）发现锐角不变时，用变量观点考察两边之间关系，发现边的比值不变；（3）当锐角变化时，用变量观点考察边的比值与锐角大小的对应关系，发现是函数关系；（4）用适当的符号表示新函数；（5）会在直角三角形中根据两边（之比）求三角函数；（6）感受三角函数是对锐角确定直角三角形形状的边之比不变性的一种新的描述——函数描述.（7）初步感受三角函数的实际应用价值.说明：（2）、（3）中需要进行观察、比较、归纳、猜想、验证等思维过程，感受特殊化与一般化、数形结合的思想.设计学习活动片段（1）用实际问题情境引入本章学习主题和本课学习主题；实际问题数学化和数学问题特殊化（过渡到特殊角直角三角形边关系研究）（2）发现边的比值不变性并对非特殊角进行猜想；非特殊角的边的比值不变性测量检验归纳并猜想一般锐角下直角三角形边的比值的不变性，并用相似三角形知识进行逻辑检验（证明）（3）分析锐角与比值的对应关系并抽象出三角函数的概念，（4）介绍三角函数的符号表示及其意义；（5）解决实际问题，并进行求三角函数的巩固练习（包括例题）（6）认识三角函数的本质是锐角决定直角三角形形状的边角数量关系的函数刻画.（7）拓展活动：平面三角形的立体变式（8）回顾小结.活动资源的开发1.设计实际问题，让学生自然合理地感受到学习新内容的必要性，并能为学习主题提供认知启发；2.观察含30度角的直角三角形，从中发现边的比值不变性（用变量观点审视边之间数量关系—正比例函数）3.对20度角所在的直角三角形边的比值进行测量观察4.对一般锐角三角形边的比值进行猜想证明5.对锐角与比值对应关系进行审视（上面三个素材和几何画板动画）6.例题及其变式7.练习设计活动片段的整合场景一：小明一家驾着私家车到仙居景星岩旅游，在快到景区时，汽车沿着一条倾斜角为20°的斜坡行驶了1000m，你知道汽车的高度上升了多少米吗？ABC20°1.实际问题转化为数学问题：2.引入本章学习主题3.一般化：已知直角三角形中的锐角斜边求对边的问题.4.特殊化：把锐角改为30°，能解决吗？5.当汽车在30°的斜坡上行驶时，把AB和BC看作变量，高度增加BC与斜面路程AB是什么关系？—正比例关系，比例系数为，即（结合几何画板动态展示）BABC30°2121ABBC6.用测量实验的方法研究20°角，同样发现边的比值不变性，并提出一般锐角下的猜想7.用相似三角形知识证明猜想活动片段的整合场景二（整理所得）：三角函数概念几何画版动画展示：感受比值与锐角的对应关系——函数关系延伸研究：直角三角形中如果两边的比值确定，则三边之比是否确定？——确定，理由：勾股定理.由此经过代表性选择：邻边比斜边；对边比邻边介绍三角函数的概念与符号表示.三角函数实际上是对“直角三角形一个锐角大小决定形状，因而决定三边之比“的函数描述.活动片段的整合场景三：应用巩固（例题与练习）结合前面探索思考：sin20°=？解决小明的问题场景四（山道风光）：拓展（1）盘山公路：如果小明的车继续在倾斜角为20°的盘山公路上行驶10km，那么他们的高度又上升了多少m？（2）到达景区，停好车，还需要走一段台阶，如果台阶每级高度为20cm，宽度为30cm，你能算出这段台阶的倾斜角的正切函数值吗？场景五（山顶畅想）：来到山顶，极目远眺，真爽，小明想，不仅游览了风光，还学到了不少东西，你们在与小明共同神游中有什么收获呢？（分知识、方法、感受进行回顾小结）课堂学习活动的线索汽车爬坡中斜面距离与铅垂高度关系问题直角三角形中边（对边、斜边）与角关系问题比值是角度的函数三边之比与锐角关系直角三角形形状由一个锐角决定锐角三角函数概念形成观察、归纳、猜想、验证应用中心话题，山区旅游活动线索：斜坡研究数学课堂设计中应追求：密处不令透风，疏处可使牵牛数学化锐角三角函数另类设计ABC？从测量高度入手：（1）学生会想到利用阳光下的影子所构造的相似三角形解决问题DEAEACDEBCACBCAEDEACAEBCDE发现：由锐角A不变得到对边与邻边之比不随D（E）的变化而变化.（2）如果没有阳光怎么办？（引入研究主题）ADED1E1AEDE当锐角A变化时，比值随之改变比值由角A的大小唯一确定——比值是角A的函数泛化研究：发现直角三角形的三边之比由角A的大小唯一确定}锐角三角函数50°数学课堂的有效实施1.学习团体的有效组织与管理（1）建立融洽、高效的学习小组（2）建立学术规则（3）维持学习动机2.进行合理的引导（1）管理维持性引导；（2）启发性引导；（3）概括性引导；（4）建立帮助寻求机制；（5）进行学习方法和学习策略的引导（复述策略、精细加