2016年第二学期温州十校联考高二期中数学试卷及答案

2015学年第二学期十校联合体高二期中联考数学试卷本试题卷分选择题和非选择题两部分．全卷共4页，满分120分,考试时间120分钟．请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上．一、选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．若z＋3－2i＝4＋i，则z等于()A．1＋iB．1＋3iC．－1－iD．－1－3i2．如图，在平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，已知AB→＝a，AD→＝b，AA1→＝c，则用向量a，b，c可表示向量BD1→等于()A．a＋b＋cB．a－b＋cC．a＋b－cD．－a＋b＋c3．设f(n)＝1＋12＋13＋…＋13n－1(n∈N*)，那么f(n＋1)－f(n)等于()A．132nB．11331nnC．113132nnD．11133132nnn4．设,,(0,),abc则111,,abcbca（）A．都小于2B．都大于2C．至少有一个不小于2D．至少有一个不大于25．设)(xf是函数)(xf的导函数，将)(xfy和)(xfy的图象画在同一个直角坐标系中，不可能．．．正确的是()6．已知正三棱柱ABC－A1B1C1的侧棱长与底面边长相等，则直线AB1与侧面ACC1A1所成角的正弦值等于()A.64B.104C.22D.327．设函数f(x)＝x3－4x－a，0＜a＜2．若f(x)的三个零点为x1，x2，x3，且x1＜x2＜x3，则()A．x1＜－2B．x2＞0C．x3＜1D．x3＞28．如图四边形ABCD，2DABDAB,2CDBC.现将ABD沿BD折起，当二面角CBDA的大小处于[p6,5p6]变化过程中，直线AB与CD所成角的余弦值取值范围是（）A．522[,]88B．252[,]88C．2[0,]8D．52[0,]8二．填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.9.已知向量(3,1,2)a，(6,2,x)b，若ab，则x________，若a∥b，则x________。10．已知i是虚数单位,若复数13zi，21zi，则12zz＝_________，12zz在复平面内所对应的点位于第___________象限。11．已知ba,是不相等的正数，baybax,2，则yx,的大小关系是______。12.已知函数()cos2fxxx,则()fx＝_________,曲线()yfx在点(,)22处的切线倾斜角是_________。13．已知函数2()xfxxe，则()fx的极大值为____________，若()fx在[t，t＋1]上不单调．．．，则t的取值范围是___________。14．设点O为四面体ABCD外接球的球心，若|AB|＝3，|AD|＝4，则AOBD＝_________。15．设定义域为(0,)的单调函数()fx，对任意的(0,)x，都有2[()log]6ffxx，若0x是方程()()4fxfx的一个解，且*0(,1)()xaaaN，则a___________。第8题图ABCD三、解答题：本大题共5小题，共52分。解答应写出文字说明、证明过程或演算过程。16．（本小题满分10分）（Ⅰ）已知x2－y2＋2xyi＝2i，求实数x、y的值；（Ⅱ）关于x的方程3x2－a2x－1＝(10－x－2x2)i有实根，求实数a的值．17．（本小题满分10分）已知函数1()lnxfxxx．（Ⅰ）求曲线yfx在点11,22f处的切线方程；（Ⅱ）求()fx在1,4e上的最大值和最小值．18．（本小题满分10分）当n≥2，n∈N*时，设f(n)=1－141－191－116…·1－1n2.（Ⅰ）求f(2)、f(3)、f(4)的值；（Ⅱ）猜想f(n)的表达式，并用数学归纳法证明。19．（本小题满分12分）如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝BC＝2AA1，∠ABC＝90°，D是BC的中点．（Ⅰ）求证：直线A1B∥平面ADC1；（Ⅱ）求二面角C1－AD－C的余弦值；（Ⅲ）试问线段A1B1上是否存在点E，使直线AE与DC1成60°角？若存在，确定E点位置；若不存在，请说明理由．20．（本小题满分10分）已知函数)1()(2axxexfx.（Ⅰ）当aR时，讨论f(x)的单调性；（Ⅱ）若实数a满足1a，且函数g(x)＝4x3＋3（b+4）x2+6(b＋2)x(b∈R)的极小值点与f(x)的极小值点相同，求证：g(x)的极小值小于等于0．2015学年第二学期十校联合体高二期中联考答案及评分标准一．选择题（每小题4分，共32分）题号12345678答案BDDCDADD二．填空题（多空题每题6分，单空题每题4分，共36分）9．10，－410．42i，Ⅰ11．xy12．cos22sin2xxx,013513.24e，3,21,014．7215．1三．解答题（共52分）16.（本小题满分10分）解（Ⅰ）∵x2－y2＋2xyi＝2i，∴x2－y2＝0，2xy＝2，-------------2分解得x＝1，y＝1，或x＝－1，y＝－1.--------------------------------------------------5分（Ⅱ）设方程的实数根为x＝m，则原方程可变为3m2－a2m－1＝(10－m－2m2)i，∴3m2－a2m－1＝0，10－m－2m2＝0，--------------------------------------------------7分解得a＝11或a＝－715.--------------------------------------------------10分17.（本小题满分10分）解：（Ⅰ）22111xfxxxx-------------------------------------------------------------2分122f，11ln22f------------------------------------------------------------3分所以切线方程为：11ln2222ln22yxyx----------------4分（Ⅱ）22111xfxxxx所以1,14x时，函数单调递增；1,xe时，函数单调递减--------------6分所以max10ff--------------------------------------------------------------------7分1ln434f1fee-------------------------------------------------9分因为1ln43e，所以min1ln434ff----------------------------------10分18.（本小题满分10分）（Ⅰ）3(2)4f------------------------------------------------1分4(3)6f------------------------------------------------2分5(4)8f-------------------------------------------------3分（Ⅱ）猜想1()2,2nfnnnNn-----------------------------------------------5分证明(1)当n＝2时，左边＝1－14＝34，右边＝2＋12×2＝34，∴n＝2时等式成立．------6分(2)假设当n＝k(n≥2，n∈N*)时等式成立，即1－141－191－116…1－1k2＝k＋12k，-----------------------------------------------------7分那么当n＝k＋1时，1－141－191－116…1－1k21－1k＋12＝k＋12k·1－1k＋12＝k＋12－12kk＋1＝k＋22k＋1＝k＋1＋12k＋1.∴当n＝k＋1时，等式也成立．-----------------------------------------------------------------------9分根据(1)和(2)知，对任意n≥2，n∈N*，等式都成立．---------------------------------------10分19.（本小题满分12分）（Ⅰ）证明：连接A1C，交AC1于点O，连接OD.新*课*标*第*一*网]由ABC－A1B1C1是直三棱柱，得四边形ACC1A1为矩形，O为A1C的中点．又D为BC的中点，所以OD为△A1BC的中位线，所以A1B∥OD.因为OD⊂平面ADC1，A1B⊄平面ADC1，所以A1B∥平面ADC1.-------------------------------------------------------------4分（Ⅱ）解:由ABC－A1B1C1是直三棱柱，且∠ABC＝90°，得BA，BC，BB1两两垂直．以BC，BA，BB1所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系B－xyz.设BA＝2，则B(0,0,0)，C(2,0,0)，A(0,2,0)，C1(2,0,1)，D(1,0,0)，所以AD→＝(1，－2,0)，AC→1＝(2，－2,1)．设平面ADC1的法向量为n＝(x，y，z)，则有n·AD→＝0，n·AC→1＝0.所以x－2y＝0，2x－2y＋z＝0.取y＝1，得n＝(2,1，－2)．易知平面ADC的一个法向量为v＝(0,0,1)．所以cos〈n，v〉＝n·v|n|·|v|＝－23.因为二面角C1－AD－C是锐二面角，所以二面角C1－AD－C的余弦值为23.----------------------------------------------------8分（Ⅲ）解:假设存在满足条件的点E.因为点E在线段A1B1上，A1(0,2,1)，B1(0,0,1)，故可设E(0，λ，1)，其中0≤λ≤2.所以AE→＝(0，λ－2,1)，DC→1＝(1,0,1)．因为AE与DC1成60°角，所以|cos〈AE→，DC→1〉|＝|AE→·DC→1||AE→|·|DC→1|＝12，即1(λ－2)2＋1·2＝12，解得λ＝1或λ＝3(舍去)．所以当点E为线段A1B1的中点时，AE与DC1成60°角．----------------------------------12分20．（本小题满分10分）（Ⅰ）]1)2([)(2/axaxexfx/()(1)1xfxexxa-----------------------------------------------------------2分由/()0fx，得1x，或1xa⑴当0a时，/2()(1)0xfxex，()fx在,上为增函数；-------------3分⑵当0a时，()fx在1,1a上为减函数；()fx在,1a、1,上为增函数；----------------------------------------------------------------------------------------------------4分⑶当0a时，()fx在1,1a上为减函