高中数学新教材必修第一册知识点总结

1高中数学新教材必修第一册知识点总结第一章集合与常用逻辑用语1.1集合的概念1.集合的描述：一般地，我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合，简称为集.2.集合的三个特性：（1）描述性：“集合”是一个原始的不加定义的概念，它同平面几何中的“点”、“线”、“面”等概念一样，都只是描述性地说明.（2）整体性：集合是一个整体，暗含“所有”、“全部”、“全体”的含义，因此一些对象一旦组成了集合，这个集合就是这些对象的总体.（3）广泛性：组成集合的对象可以是数、点、图形、多项式、方程，也可以是人或物等.3.集合中元素的三个特性：（1）确定性：对于给定的集合，它的元素必须是确定的.即按照明确的判断标准（不能是模棱两可的）判断给定的元素，或者在这个集合里，或者不在这个集合里，二者必居其一.（2）互异性：一个给定的集合中的元素是互不相同的.也就是说集合中的元素是不能重复出现的.（3）无序性：集合中的元素排列无先后顺序，任意调换集合中的元素位置，集合不变.4.集合的符号表示通常用大写的字母A，B，C，…表示集合，用小写的字母a，b，c表示集合中的元素.5.集合的相等当两个集合的元素是一样时，就说这两个集合相等.集合A与集合B相等记作AB.6.元素与集合之间的关系（1）属于：如果a是集合A中的元素，就说a属于集合A，记作aA，读作a属于A.（2）不属于:如果a不是集合A中的元素，就说a不属于集合A，记作aA，读作a不属于A.7.集合的分类（1）有限集：含有有限个元素的集合叫做有限集.如方程21x的实数根组成的集合.（2）无限集：含有无限个元素的集合叫做无限集.如不等式10x的解组成的集合.8.常用数集及其记法（1）正整数集：全体正整数组成的集合叫做正整数集，记作*N或N.（2）自然数集：全体非负整数组成的集合叫做自然数集，记作N.（3）整数集：全体整数组成的集合叫做整数集，记作Z.（4）有理数集：全体有理数组成的集合叫做有理数集，记作Q.（5）实数集：全体实数组成的集合叫做实数集，记作R.9.集合表示的方法（1）自然语言：用文字叙述的形式描述集合的方法.如所有正方形组成的集合，所有实数组成的集合.例如，三角形的集合.（2）列举法：把集合的元素一一列举出来表示集合的方法叫做列举法.其格式是把集合的元2素一一列举出来并用逗号隔开，然后用花括号括起来.例如，我们可以吧“地球上的四大洋”组成的集合表示为{太平洋，大西洋，印度洋，北冰洋}，把“方程(1)(2)0xx的所有实数根”组成的集合表示为{1,2}.（3）描述法：通过描述集合所含元素的共同特征表示集合的方法叫做描述法.一般格式为{()}xpx，其中x是集合中的元素代表，()px则表示集合中的元素所具有的共同特征.例如，不等式73x的解集可以表示为{73}{10}xRxxRx.1.2集合间的基本关系1.子集一般地，对于两个集合A,B,如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A为集合B的子集，记为ABÍ或（BAÊ）读作集合A包含于集合B（或集合B包含集合A）.集合A是集合B的子集可用Venn图表示如下：或关于子集有下面的两个性质：（1）反身性：AA；（2）传递性：如果AB，且BC，那么AC.2.真子集如果集合AB，但存在元素xB，且xA，我们称集合A是集合B的真子集，记为AB（或BA），读作集合A真包含于集合B（或集合B真包含集合A）.集合A是集合B的真子集可用Venn图表示如右.3.集合的相等如果集合AB，且BA，此时集合A与集合B的元素是一样的，我们就称集合A与集合B相等，记为AB.集合A与集合B相等可用Venn图表示如右.4.空集我们把不含任何元素的集合叫做空集，记为.我们规定空集是任何一BAA(B)BAA(B)3个集合的子集，空集是任何一个非空集合的真子集，即（1）A（A是任意一个集合）；（2）A（A）.1.3集合的运算1.并集自然语言：一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的并集，记作AB（读作“A并B”）.符号语言：{,}ABxxAxB或.图形语言：理解：xA或xB包括三种情况：xA且xB；xB且xA；xA且xB.并集的性质：（1）ABBA；（2）AAA；（3）AA；（4）()()ABCABC；（5）AAB，BAB；（6）ABBAB.2.交集自然语言：一般地，由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为A与B的交集，记作AB（读作“A交B”）.符号语言：{,}ABxxAxB且.图形语言：A(B)ABBA(5)A=BA(4)BB（3）A(2)A与B没有有公共元素BABA(1)A与B有公共元素，相互不包含4理解：当A与B没有公共元素时，不能说A与B没有交集，只能说A与B的交集是.交集的性质：（1）ABBA；（2）AAA；（3）A；（4）()()ABCABC；（5）ABA，ABB；（6）ABAAB.3.补集（1）全集的概念：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记作U.（2）补集的概念自然语言：对于一个集合A，由属于全集U且不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，记为UAð.符号语言：{,}UAxxUxA且ð图形语言：A(B)BABABA(5)A=B,AB=A=B(4)BA,AB=B(3)AB,AB=AAB（2）A与B没有公共元素,AB=（1）A与B有公共元素，且互不包含A5补集的性质（1）()UAAð；（2）()UAAUð；（3）()()()UUUABAB痧?；（4）()()()UUUABAB痧?.1.4充分条件与必要条件1.充分条件与必要条件一般地，“若p，则q”为真命题，是指由p通过推理可以得出q.这时，我们就说，由p可推出q，记作pq，并且说p是q的充分条件，q是p的必要条件.在生活中，q是p成立的必要条件也可以说成是:qp（q表示q不成立），其实，这与pq是等价的.但是，在数学中，我们宁愿采用第一种说法.如果“若p，则q”为假命题，那么由p推不出q，记作/pq.此时，我们就说p不是q的充分条件，q不是p的必要条件.2.充要条件如果“若p，则q”和它的逆命题“若q则p”均是真命题，即既有pq，又有qp就记作pq.此时，我们就说p是q的充分必要条件，简称为充要条件.显然，如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件.概括地说，如果pq，那么p与q互为充要条件.“p是q的充要条件”,也说成“p等价于q”或“q当且仅当p”等.1.5全称量词与存在量词1.全称量词与存在量词（1）全称量词短语“所有的”，“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“”表示.常见的全称量词还有“一切”，“每一个”，“任给”，“所有的”等.含有全称量词的命题，叫做全称量词命题.全称量词命题“对M中的任意一个x，有()px成立”可用符号简记为xM?，()px，读作“对任意x属于M，有()px成立”.（2）存在量词短语“存在一个”，“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“$”表示.常见的存在量词还有“有些”，“有一个”，“对某个”，“有的”等.含有存在量词的命题，叫做存在量词命题.6存在量词命题“存在M中的元素x，使()px成立”可用符号简记为xM，()px，读作“存在M中的元素x，使()px成立”.2.全称量词命题和存在量词命题的否定（1）全称量词命题的否定全称量词命题：xM?，()px，它的否定：xM，()px.全称量词命题的否定是存在量词命题.（2）存在量词命题的否定存在量词命题：xM，()px，它的否定：xM?，()px.存在量词命题的否定是全称量词命题.第二章一元二次函数、方程和不等式2.1等式性质与不等式性质1.比较原理0abab；0abab；0abab.2.等式的基本性质性质1如果ab，那么ba；性质2如果ab，bc，那么ac；性质3如果ab，那么acbc；性质4如果ab，那么acbc；性质5如果ab，0c，那么abcc.3.不等式的基本性质性质1如果ab，那么ba；如果ba，那么ab.即abba性质2如果ab，bc，那么ac.即ab，bcac.性质3如果ab，那么acbc.7由性质3可得，()()abcabbcbacb.这表明，不等式中任何一项可以改变符号后移到不等号的另一边.性质4如果ab，0c，那么acbc；如果ab，0c，那么acbc.性质5如果ab，cd，那么acbd.性质6如果0ab，0cd，那么acbd.性质7如果0ab，那么nnab（nN，2n）.2.2基本不等式1.重要不等式,abR，有222abab，当且仅当ab时，等号成立.2.基本不等式如果0a，0b，则2abab，当且仅当ab时，等号成立.2ab叫做正数a，b的算术平均数，ab叫做正数a，b的几何平均数.基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.3.与基本不等式相关的不等式（1）当,abR时，有22abab，当且仅当ab时，等号成立.（2）当0a，0b时，有211abab，当且仅当ab时，等号成立.（3）当,abR时，有22222abab，当且仅当ab时，等号成立.4.利用基本不等式求最值8已知0x，0y，那么（1）如果积xy等于定值P，那么当xy时，和xy有最小值2P；（2）如果和xy等于定值S，那么当xy时，积xy有最大值214S.2.3二次函数与一元二次方程、不等式1.一元二次不等式只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式.2.二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系(0)a000二次函数cbxaxy2（0a）的图象一元二次方程的根002acbxax有两相异实根)(,2121xxxx有两相等实根abxx221无实根的解集)0(02acbxax21xxxxx或abxx2R的解集)0(02acbxax21xxxx第三章函数的概念与性质3.1函数的概念及其表示1.函数的概念设A,B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的的数y和它对应，那么就称:fAB为从集合A到集合B的一个函数，记作()yfx,xA.x2x1Oyxx1=x2OyxOyx9其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域，与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{|(})fxxA叫做函数的值域，显然，值域是集合B的子集.2.区间：设a,b是两个实数，而且ab，我们规定：（1）满足不等式axb的实数x的集合叫做闭区间，表示为[,]ab；（2）满足不等式axb的实数x的集合叫做开区间，表示为(,)ab；（3）满足不等式axb或axb的实数x的集合叫做半开半闭区间，分别表示为：[,)ab,(,]ab.这里的实数a，b都叫做相应区间的端点.这些区间的几何表示如下表所示.定义名称符号数轴表示{}xaxb闭区间[,]ab{}xaxb开区间(,)ab{}xaxb半开半闭区间[,)ab{}xaxb半开半闭区间(,]ab（4）实数集R可以表示为(,),“”读作“无穷大”，“”读作“负无穷大”，“”读作“正无穷大”.满足xa，xa，xb，xb的实数x的集合，用区间分别表示为[,)a，(,)a(,]b，(,)b.这