初中数学竞赛——平行四边形

初二数学联赛班八年级1思维的发掘能力的飞跃第1讲平行四边形知识总结归纳一.平行四边形的定义：（1）定义：两组对边分别平行的四边形叫平行四边形．（2）平行四边形的定义包含两层意义：①它是四边形；②它的两组对边分别平行，两者缺一不可．（3）定义既是基本判定也是基本性质：如果一个四边形两组对边分别平行，那么它是平行四边形；反之如果一个四边形是平行四边形，那么它的两组对边分别平行．二.平行四边形的性质：（1）角的性质：平行四边形的邻角互补，对角相等．（2）边的性质：平行四边形的对边平行且相等．（3）对角线的性质：平行四边形的对角线互相平分．（4）中心对称性：平行四边形是中心对称图形，对称中心是对角线的交点．三.平行四边形的判定：（1）定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形．（2）一组对边法：一组对边平行且相等．（3）对角线法：对角线互相平分．（4）两组对角法：两组对角分别相等．（5）两组对边法：两组对边分别相等．四.三角形的中位线：（1）定义：连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．（2）三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半．典型例题一.基本概念和性质【例1】具备下列条件的四边形中，不能确定是平行四边形的为（）．A．相邻的角互补B．两组对角分别相等C．一组对边平行，另一组对边相等D．对角线交点是两对角线中点初二数学联赛班八年级2思维的发掘能力的飞跃【例2】如下左图所示，四边形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，下列判断正确的是（）．A．若AO=OC，则ABCD是平行四边形B．若AC=BD，则ABCD是平行四边形C．若AO=BO，CO=DO，则ABCD是平行四边形D．若AO=OC，BO=OD，则ABCD是平行四边形【例3】如上右图所示，对四边形ABCD是平行四边形的下列判断，正确的打“√”，错误的打“×”．（1）因为AD∥BC，AB=CD，所以ABCD是平行四边形．（）（2）因为AB∥CD，AD=BC，所以ABCD是平行四边形．（）（3）因为AD∥BC，AD=BC，所以ABCD是平行四边形．（）（4）因为AB∥CD，AD∥BC，所以ABCD是平行四边形．（）（5）因为AB=CD，AD=BC，所以ABCD是平行四边形．（）（6）因为AD=CD，AB=AC，所以ABCD是平行四边形．（）【例4】如图所示，在ABCD□中，E是AD边上的中点，若ABEEBC，2AB，求ABCD□的边长．【例5】如图所示，在四边形ABCD中，AB=CD，BC=AD，E，F为对角线AC上的点，且AE=CF，求证：BE=DF．DCEBA初二数学联赛班八年级3思维的发掘能力的飞跃二.巩固提高【例6】如图，在ABCD□中，E、F是对角线AC上两点，且AFCE，求证：四边形BEDF是平行四边形．【例7】如图，在ABC△中，ABAC，12cmAB，F是AB边上的一点，过点F作FEBC∥交CA于点F，过点E作EDAB∥交BC于点D，求四边形BDEF的周长．【例8】如图，在ABCD□中，CE是DCB的平分线，F是AB的中点，6AB，4BC，::AEEFFB是多少？【例9】在ABCD□中，以AD、BC为边分别向外作正ADE△、正BFC△，连结DB、EF交于O点，求证：DOBO，EOFO．EDCBAFEDCBAFFECBADFCBDAEO初二数学联赛班八年级4思维的发掘能力的飞跃【例10】如图，AD、BE、CF是ABC△的三条中线，FGBE∥，EGAB∥，则ADCG是平行四边形．【例11】如图所示，已知四边形ABCD是平行四边形，在AB的延长线上截取BE=AB，BF=BD，连接CE，DF，相交于点M．求证：CD=CM．三.与平行四边形相关的杂题【例12】如图所示，在ABCD□中，EFAB∥，GHAD∥，EF与GH相交于点O，图中有多少个平行四边形？【例13】如图所示，P是四边形ABCD的DC边上的一个动点，当四边形满足什么条件时，PBA△的面积始终保持不变？EFDCBAGDACBOGFEHPDCBA初二数学联赛班八年级5思维的发掘能力的飞跃【例14】如图，在ABCD□中，AEBC于E，AFCD于点F，若6AE，8AF，ABCD□的周长为98，求ABCD□的面积．【例15】如图，ABC△中，5AB，6BC，7AC，若以A、B、C为顶点作平行四边形，求所作的平行四边形的周长．【例16】平行四边形的对角线分别是10和16，求它的边长的范围．四.三角形的中位线【例17】如图，E为ABCD□中DC边延长线一点，且CEDC，连AE，分别交BC、BD于点F、G，连AC交BD于O，连OF、BE．（1）求证：ACBE．（2）求证：2ABOF．EFGODCBAFEDCBACBA初二数学联赛班八年级6思维的发掘能力的飞跃【例18】如图所示，在平行四边形ABCD中，EF∥AB且交BC于点E，交AD于点F，连接AE，BF交于点M，连接CF，DE交于点N，求证：MNAD∥且12MNAD．【例19】如图，四边形ABCD四边上的中点分别是E、F、G、H．求证：四边形EFGH为平行四边形．【例20】如图，四边形ABCD中，E、F分别是AD、BC的中点，G、H分别是对角线BD、AC的中点．求证：EF和GH互相平分．【例21】如图，E、F为ABC△边AB、BC的中点，在AC上取G、H两点，使AGGHHC，EG与FH的延长线相交于D点．求证：四边形ABCD为平行四边形．HGFEDCBADCBAGHEFHGDCBAFE初二数学联赛班八年级7思维的发掘能力的飞跃【例22】如图所示，在四边形ABCD中，DC∥AB，以AD，AC为边作平行四边形ACED，延长DC交EB于F，求证：EFFB．思维飞跃【例23】如图，四边形ABCD中，ABCD∥，2ADCABC．求证：ABADCD．【例24】如图，在ABC△中，ABAC中，在AB上取点D，在AC的延长线上取点E，使CEBD．连DE，交BC于G点．求证：DE被BC平分．GDCBAEDCBA初二数学联赛班八年级8思维的发掘能力的飞跃【例25】如图，四边形ABCD的对角线AC、BD交于点P，过点P作直线，交AD于点E，交BC于点F．若PEPF，且APAECPCF，证明：四边形ABCD为平行四边形．【例26】如图，E、F分别是四边形ABCD的对角线AC、BD的中点．求证：1()2EFABCD＜．【例27】如图，在ABC△中，BD、CE是ABC△的角平分线，AFCE于F，AGBD于G，连接FG．求证：FGBC∥．FEPCBADFDCBAEGEDCBAF初二数学联赛班八年级9思维的发掘能力的飞跃作业1.已知四边形ABCD，有以下四个条件：（1）ABCD∥；（2）ABCD；（3）BCAD∥；（4）BCAD．从这四个条件中任选两个，能使四边形ABCD成为平行四边形是选法共有（）A．6种B．5种C．4种D．3种2.具备下列条件的四边形中，不能确定是平行四边形的为（）．A．相邻的角互补B．两组对角分别相等C．一组对边平行，另一组对边相等D．对角线交点是两对角线中点3.如图，在ABCD□中，E、F分别在BC、AD上，且AFCE．求证：四边形AECF是平行四边形．4.如图，在ABCD□中，130A，在AD上取DEDC，求ECB的度数．5.在ABCD□中，AE平分DAB交BC于E，将BC分为5和4两部分，求平行四边形的周长．DCEBAFDCBAE初二数学联赛班八年级10思维的发掘能力的飞跃6.如图，已知ABCD□中，过对角线的交点的O的直线交CB、AD的延长线于E和F，求证：BEDF．7.如图，E、F分别是四边形ABCD对角线BD、AC的中点，MN过E、F交AB于M，交CD于N，且ABCD．求证：BMNCNM．8.如图所示，在ABC△中，E为AB的中点，CD平分∠ACB，AD⊥CD于点D．试说明：（1）DE∥BC．（2）1()2DEBCAC．9.在四边形ABCD中，ABCD，P，Q分别是AD、BC的中点，M，N分别是对角线AC，BD中点，证明：PQ与MN互相垂直．OEDCBAFDCBAMNFEQPMNCBDA