数学与地理

数学与地理楼许静（浙江省奉化中学315500）在地理学习中，有些让学生难以理解的知识点和数学知识息息相关，如果我们能用数学的思想和方法来呈现这些知识，这些难点就会迎刃而解。笔者曾就此进行了一些尝试，收到了不错的效果，愿与同行交流。一、太阳直射点问题由于地轴与黄道面所成的角为66°34′，导致地球表面接受太阳垂直照射的点（简称太阳直射点）随时间的变化而变化。从冬至到第二年夏至，太阳直射点自南纬23°26′向北移动，经过赤道（春分时），到达北纬23°26′；从夏至到冬至，太阳直射点自北纬23°26′向南移动，经过赤道（秋分时），到达南纬23°26′。太阳直射点在赤道南北的这种运动呈现一定的周期性，一个周期叫做1回归年。这一地理过程隐藏了一个让学生难以理解的问题：为什么地轴与太阳的黄道面所成的线面角不成90°就会导致太阳直射点的周期性变化？现把这一地理问题用数学的语言与图形加以阐述和解释：如图一，地球四个位置的四条地轴4321//////llll且与黄道平面M所成的角都是66°34′。球心Ｏ1与球心Ｏ3是在椭圆轨道的长轴上，点A和C即是太阳的直射点，∠AO1A′的度数即是该点A的地理纬度为90°－66°34′=23°26′，同理点C是在北纬23°26′，球Ｏ1与球Ｏ3位置所处日期分别是冬至与夏至，太阳的直射点分别在南纬23°26′和北纬23°26′。让学生难理解的是地球处于球Ｏ2与球Ｏ４的位置时为何太阳的直射点在赤道上？此时球Ｏ2的赤道面与球Ｏ４的赤道面是处在同一个面上，设为平面α，两平行直线21ll与确定平面β，平面α∩平面β＝直线Ｏ2Ｏ４，设平面β与两赤道圈的其中两个交点为Ｂ、Ｄ，从而42OODBDBDB直线、平面、点平面、点,点Ｂ、Ｄ即是太阳的直射点，得证此时1l2l3l4lO1O2O3O4··CB··DA’·A·C’O图一太阳的直射点在赤道上，日期分别是春分日与秋分日。由于太阳直射点的移动，使地球表面接受到的太阳辐射的能量因时因地而变化，导致四季的更替和五带的形成。学生理解了这部分内容，可为学生的后继学习地理知识打下了良好的基础。二、地方时的计算问题由于地球自西向东自转，在同纬度地区，相对位置偏东的地点，要比位置偏西的地点先看到日出，时刻就有了早迟之分，产生了地方时。地方时因经度而不同，使用很不方便，于是国际上采用了按统一标准划分的区时，这样就有了地方时和时区的计算问题，由于区时为所在时区中央经线的地方时，所以区时计算也可转换为地方时计算。经过伦敦格林尼治天文台的经线定义为0°经线，向东依次是东经10°，东经20°，…，向西则依次是西经10°，20°，…，这如同数学上的一条数轴，若向东的定义为正方向，那么对应的数是正实数，向西的定义为负方向，那么对应的数即是负实数，从而计算经度茶即是求数轴上两点间的距离问题。如图二所示：若要求任意A、B两地的经度差，以东经对应的实数为正实数，西经对应的实数为负实数为原则，则A、B两地的时差为：24360||24360BAxxAB例1.（2004年全国高考题）2002年11月20日9时（北京时间），中国第19次南极科学考察队乘“雪龙号”自上海出发，此时长城站所在地的区时为（）A.19日19时B.20日5时C.19日21时D.20日21时分析：由于图给出的是南半球，长城站在西经60°，所在地设为点A，则点A在数轴上对应的实数即是－60，北京所在时区中央经线为东经120°，所在地设为点B，则点B在数轴上对应的实数是120，而AB=|－60－120|=180，两地的时差为1224360180小时，即长城站所在的时间是北京时间2002年11月20日9时向前推12个小时即可，为19日21时，答案为C。例2（2004年全国高考题）一天，我国某城市于北京时间4时30分日出，18时30分日落。O－10－2010200°10°E20°E10°W20°W·A··B·图二xAxBABAx据此回答该城市的经度为（）A．E5.123B．E5.112C．E5.127D．E135分析：此题是上一个例题的逆运算，由题目条件得这天的日照时间为14小时，此地的正午时间是北京时间11时30分，而所求地应在地方时的12时达到正午，即120°E地方时11时30分时此地为地方时12时。这样5.024360||BAxx5.7||BAxx，由于此地比北京早达到正午，所以此地的经度：120°＋7.5°=127.5°E，答案是C。值得一提的是数轴上的正无穷与负无穷是处于同一个位置，而东经180°与西经180°也在同一个地方，于是两者在这里又达到了统一。三、太阳高度的计算正午太阳高度是太阳高度角的简称，表示正午时太阳光线对当地地平面的倾角。即是正午太阳光与过太阳照射点的球的切面所成的角。这个角和太阳直射点的纬度、当地所处的纬度有关。它们有怎样的关系呢？太阳光线可看作是平行的，如下图三、图四，即321////lll，设当地的正午太阳照射点为点A，太阳直射点是点D，直线l是过点A的切线，所以∠BAC即是当地的太阳高度。∴∠BAC=∠ABO=90°－∠AOD，∠AOD为A、B两地的纬度差，由于纬度是按赤道面的南北来分，如同地方时区差一样，北纬对应正数，南纬对应负数，从而得到太阳高度的计算公式：H=90°－|α－β|（H为正午太阳的高度，α是当地的纬度，β是太阳直射点的纬度，其中α、β分别北取正，南取负）。例3近年来，我国房地产业发展迅速，越来越多的居民乔迁新居，居住条件和环境显著改善。请读图，运用以下公式及相关知识回答问题：①某地正午太阳高度的公式：H=90°-|A-B|，A为所求地地理纬度，B为太阳直射点地理纬度。A、B都是夏半年为正，冬半年为负②tan35°约0.7，tan45°=1,tan60°约1.732OABC3l1l2l图三OAB1l3l2lll图四CDD(1)房地产开发商在城市（30°N）建造了两幢商品房，某用户居民买了北楼一层的一套房子，于春节前后住进后发现正午前后阳光被南楼挡住，请问该房子一年中正午太阳光线被南楼挡住时间大约是（）A、1个月B、3个月C、6个月D、9个月(2)为避免纠纷，房地产开发商在设计建楼方案时，应该使北楼所有朝南的房屋正午终年能被太阳照射，那么两幢楼间距不变的情况下，南楼的高度最高约为（）A、20米B、30米C、40米D、50米分析：（1）若北楼的正午阳光要被南楼挡住，则H=90°－|B－30°|＜arctan23≈56°∴B＞64°（舍去）或B＜－4°∵|B|≤23°26′，挡住时间6122623242623'00'0t，所以答案是C。（2）如图，设南楼的高为xm，北楼底望南楼的仰角为α，要使北楼所有朝南的房屋正午终年能被太阳照射，则α≤H恒成立，∴α≤Hmin,而当太阳直射点在南纬23°26′时H取得最小大值为36°34′，即40x≤tan36°34′≈0.7,∴x≤28,这样南楼的高度大约是30m,才可以符合要求。所以此题的答案是B。学习知识要知其然，亦知其所以然，弄清知识的来龙去脉。对于学习地理的多数文科学生来说数学基础知识和基本技能相对薄弱，因此在地理学习中适当渗透数学知识尤显重要。40m60m南楼北楼图五40mαx南楼北楼