高等数学上册教案换元积分法

第4章不定积分第一类换元积分法【教学目的】：1.理解第一类换元积分法；2.会用第一类换元积分法计算不定积分。【教学重点】：1.用第一类换元积分法计算不定积分。【教学难点】：1.凑微分技巧。【教学时数】：2学时【教学过程】：我们先看这样一个例子，求不定积分dxex2，因为被积函数xe2是x的复合函数，基本积分公式中没有这种公式，但我们可以把原积分变形，化成某个基本积分公式的形式：duexdedxeuxx21)2(2122(令ux2)Cex221(将ux2代回)因为xxeCe22)21(，所以Cex221确为xe2的原函数，说明上述解法正确．于是有下述定理：定理1（第一类换元积分法）设函数)(xu在所讨论的区间上可微，又设CuFduuf)()(，则有CxFxdxfdxxxf)]([)()]([)()](['．第一类换元积分法的解题步骤：设要求,)(dxxg如果被积函数)(xg可化为)(xg)()](['xxf的形式，则dxxg)(=duufxdxfdxxxf)()(])([)(])(['=CxFCuF)]([)(。注第一换元积分法的关键是如何选取)(x，并将dxx)('凑成微分)(xd的形式，因此，第一换元积分法又称为“凑微分”法．（1）利用)(1axdadx，babaxdadx、，)(1均为常数，且0a凑微分．例1求dxx)12sin(．解令12xu，则,2dxdu即,21dudx所以再将12xu代入上式，得Cxdxx)12cos(21)12sin(．熟练之后，可以省略设ux)(这一步，直接进行凑微分．（2）利用)(11axdndxxnn（Zn），，，xddxxxddxx11ln12，xddxx21，，，，xdxdxxdxdxxdxdxxdxdxcotcsctansecsincoscossin22，xddxxarcsin112xddxxarctan112等微分公式凑微分．例5求xdxtan．解Cxxdxdxxxxdxcoslncoscos1cossintan．（3）利用三角函数恒等式来凑微分．例7求xdx3sin．解xdxxxdxdxxxdxcos)cos1(cossinsinsinsin2223Cxxcoscos313．当被积函数是三角函数，而且次数为奇次时，通常把被积函数分为一个偶次和一个奇次相乘的形式，然后再利用凑微分进行积分．例8求xdx2sin．解)2cos(2122cos1sin2xdxdxdxxxdx)22cos21(21xxdxCxx2sin4121．当被积函数是三角函数，而且次数为偶次时，通常利用降幂公式（22cos1cos2xx，22cos1sin2xx）对被积函数进行降幂，然后再利用凑微分进行积分．例10求xdx2sin．解方法一11sin2sin22cos222xdxxdxxC．方法二2sin22sincos2sinsinsinxdxxxdxxdxxC．方法三2sin22sincos2coscoscosxdxxxdxxdxxC．在例10中，三种解法的原函数仅差一个常数，都包含到任意常数C中，由此可见，在不定积分中，任意常数是不可缺少的．【教学小节】：本节为不定积分计算的基础。通过本节的学习，掌握使用第一类换元积分法计算不定积分，并借此进一步熟悉基本积分公式。【课后作业】：无