大学课件-概率论与数理统计-协方差与相关系数

称()[()][()]EXEXYEY−−为X,Y的协方差.记为()cov(,)[()][()]XYEXEXYEY=−−称⎟⎠⎞⎜⎝⎛)(),cov(),cov()(YDYXYXXD为（X,Y）的协方差矩阵可以证明协方差矩阵为半正定矩阵协方差和相关系数的定义定义若D(X)0,D(Y)0,称)()(),cov()()()())(((YDXDYXYDXDYEYXEXE=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−−为X,Y的相关系数，记为)()(),cov(YDXDYXXY=ρ事实上，),cov(∗∗=YXXYρ若,0=XYρ称X,Y不相关.无量纲的量若(X,Y)为离散型，11cov(,)[()][()]ijijijXYxEXyEYp∞∞===−−∑∑若(X,Y)为连续型，cov(,)[()][()](,)XYxEXyEYfxydxdy+∞+∞−∞−∞=−−∫∫协方差和相关系数的计算‰)()()(),cov(YEXEXYEYX−=())()()(21YDXDYXD−−±±=例2设(X,Y)~N(μ1,σ12;μ2,σ22;ρ),求ρXY解dxdyyxfyxYX),())((),cov(21∫∫∞+∞−∞+∞−−−=μμdsdtesttts22221)()1(21−−−−∞+∞−∞+∞−∫∫ρρdudteutttu22221)1(2)(−−−∞+∞−∞+∞−+∫∫ρρ22112ρπσσ−uts=−=ρ令22112ρπσσ−sx=−11σμty=−22σμdtetduetu222212)1(222112−∞+∞−∞+∞−−−∫∫−=ρρπρσσρσσ21=ρρ=XY若(X,Y)~N(μ1,σ12,μ2,σ22,ρ),则X,Y相互独立X,Y不相关协方差的性质‰cov(,)cov(,)XYYX=‰‰‰),cov(),cov(YXabbYaX=),cov(),cov(),cov(ZYZXZYX+=+)(),cov(XDXX=协方差和相关系数的性质()()()EXYEXEY=−‰)()(|),cov(|2YDXDYX≤当D(X)0,D(Y)0时，当且仅当{}0()[()]1PYEYtXEX−=−=时,等式成立—Cauchy-Schwarz不等式证令{}2()[()][()]gtEYEYtXEX=−−−)(),cov(2)(2XDtYXtYD+−=0)(≥tg对任何实数t,0)()(4),(cov42≤−YDXDYX即)()(|),cov(|2YDXDYX≤等号成立0)(=tg有两个相等的实零点⎟⎠⎞⎜⎝⎛±==)()()(),cov(0XDYDXDYXt0))](())([(20=−−−XEXtYEYE0)(0=tg即显然0))](())([(0=−−−XEXtYEYE0))](())([(0=−−−XEXtYEYD1]0))(())([(0==−−−XEXtYEYP1]0))(())([(0==−−−XEXtYEYP即1))](())([(0=−=−XEXtYEYP即Y与X有线性关系的概率等于1,这种线性关系为1)()()()(=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−±=−XDXEXYDYEYP完全类似地可以证明)()()(222YEXEXYE≤当E(X2)0,E(Y2)0时,当且仅当1)(0==XtYP时,等式成立.相关系数的性质‰‰1||≤XYρ1||=XYρCauchy-Schwarz不等式的等号成立即Y与X有线性关系的概率等于1，这种线性关系为1)()()()(=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−±=−XDXEXYDYEYP()1PYX∗∗=±=即1=XYρ0),cov(YX1)()()()(=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=−XDXEXYDYEYP1−=XYρ0),cov(YX1)()()()(=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−−=−XDXEXYDYEYP()1==∗∗XYP()1=−=∗∗XYP若X,Y是两个随机变量,用X的线性函数去逼近Y所产生的平均平方误差为2)]([baXYE+−当取）（XEXDYDYEXEaYEbXDYXaXY)()()()(ˆ)(ˆ,)(),cov(ˆρ−=−==平均平方误差最小.‰0=XYρX,Y不相关0),cov(=YX)()()(YEXEXYE=)()()(YDXDYXD+=±X,Y相互独立X,Y不相关若(X,Y)服从二维正态分布，X,Y相互独立X,Y不相关