(中考)自主招生考试数学试题及答案

..自主招生考试数学试题第Ⅰ卷（选择题，共36分）一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分.每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目的要求）1．4的相反数是()A．14B．14C．4D．42．科技城2012年国民生产总值约为14000000万元，用科学记数法表示为()A．71410B．71.410C．61.410D．70.14103．一次数学测试后，随机抽取九年级某班5名学生的成绩如下：91，78，98，85，98．关于这组数据说法错误的是()A．平均数是91B．极差是20C．中位数是91D．众数是984．在一个不透明的盒子中装有3个红球、2个黄球和1个绿球，这些球除颜色外，没有任何其他区别，现从这个盒子中随机摸出一个球，摸到黄球的概率为（）A．12B．13C．16D．15．已知x是实数，且(2)(3)10xxx，则x2+x+1的值为（）A．13B．7C．3D．13或7或36.如图，在四边形ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，若EF=2，BC=5，CD=3，则sinC等于()A.34B.43C.45D.357．如图，在平面直角坐标系中，过格点A，B，C作一圆弧，点B与下列格点的连线中，能够与该圆弧相切的是()A．点(0，3)B．点(2，3)C．点(6，1)D．点(5，1)8．将抛物线23xy向左平移2个单位，再向下平移1个单位，所得抛物线为（）A．23(2)1yxB．23(2)1yxC．23(2)1yxD．23(2)1yx9．图中各图是在同一直角坐标系内，二次函数y=ax2+(a-c)x＋c与一次函数yaxc的大致图象，有且只有一个是正确的，正确的是()..10.如图O⊙是ABC△的外接圆，AD是O⊙的直径，O⊙半径为23，2AC，则sinB为（）A．23B．32C．34D．4311．如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=4．将矩形ABCD绕点C沿顺时针方向旋转90°后，得到矩形FGCE（点A、B、D的对应点分别为点F、G、E）．动点P从点B开始沿BC-CE运动到点E后停止，动点Q从点E开始沿EF-FG运动到点G后停止，这两点的运动速度均为每秒1个单位．若点P和点Q同时开始运动，运动时间为x（秒），APQ的面积为y，则能够正确反映y与x之间的函数关系的图象大致是（）ABCD12.如图，在ABC中，5ACAB，8CB，分别以AB、AC为直径作半圆，则图中阴影部分面积是（）A．25244B．2524C．2512D．25124第Ⅱ卷（非选择题，共114分）二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分.请将答案填入答题卡相应的横线上.）13．函数2yx中，自变量x的取值范围是．14．分解因式：3244aaa．15．已知⊙O1与⊙O2的半径分别是方程28150xx的两根,且两圆的圆心距122OOt,若这两个圆相交,则t的取值范围为.16.在平面直角坐标系xOy中，有一只电子青蛙在点A(1,0)处．第一次，它从点A先向右跳跃1个单位，再向上跳跃1个单位到达点A1；第二次，它从点A1先向左跳跃2个单位，再向下跳跃2个单位到达点A2；第三次，它从点A2先向右跳跃3个单位，再向上跳跃3个单位到达点A3；第四次，它从点A3先向左跳跃4个单位，再向下跳跃4个单位到达点A4；……依此规律进行，点7A的坐标为；若点An的坐标为（2014，2013），则n=．17.如图，PA与⊙O相切于点A，PO的延长线与⊙O交于点C，若⊙O的半径为3，PA=4．弦AC的长为．18.在直角梯形ABCD中，ADBC∥，90ABCABBCE°，，为AB边上一第12题图ACBDO第10题图第11题图第17题图PBOCA..绵阳市2008-2012年农业观光园经营年收入统计图绵阳市2009-2012年农业观光园经营年收入增长率统计表点，15BCE°，且AEAD．连接DE交对角线AC于H，连接BH．下列结论：①ACDACE△≌△；②CDE△为等边三角形；③2EHBE；④EBCEHCSAHSCH△△．其中结论正确的是()三、解答题(本大题共7个小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)19．（本题共2个小题，每小题8分，共16分）（1）计算：0112(31)2sin603．（2）先化简，后计算：，其中33a.20．（本小题满分12分）近年来，绵阳郊区依托丰富的自然和人文资源，大力开发建设以农业观光园为主体的多类型休闲旅游项目，城郊旅游业迅速崛起，农民的收入逐步提高．以下是根据绵阳市统计局2013年1月发布的“绵阳市主要经济社会发展指标”的相关数据绘制的统计图表的一部分．请根据以上信息解答下列问题：(1)绵阳市2010年农业观光园经营年收入的年增长率是；（结果精确到1%）(2)请补全条形统计图并在图中标明相应数据；（结果精确到0.1）(3)如果从2012年以后，绵阳市农业观光园经营年收入都按30%的年增长率增长，请你估算，若经营年收入要不低于2008年的4倍，至少要到年（填写年份）.21.（本小题满分12分）如图，已知等腰直角△ABC中，∠BAC=90，圆心O在△ABC内部，且⊙O经过B、年份年增长率（精确到1%）2009年12%2010年2011年22%2012年24%第18题图..C两点，若BC=8，AO=1，求⊙O的半径.22．（本小题满分12分）某科技开发公司研制出一种新型产品，每件产品的成本为2300元，销售单价定为3000元.在该产品的试销期间，为了促销，鼓励商家购买该新型产品，公司决定商家一次购买这种新型产品不超过10件时，每件按3000元销售;若一次购买该种产品超过10件时，每多购买一件，所购买的全部产品的销售单价均降低10元，但销售单价均不低于2500元.（1）商家一次购买这种产品多少件时，销售单价恰好为2500元？（2）设商家一次购买这种产品x件，开发公司所获得的利润为y元，求y（元）与x（件）之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围.23．（本小题满分12分）如图，在△ABC中，AB=AC，以AC为直径作⊙O交BC于点D，过点D作FE⊥AB于点E，交AC的延长线于点F．(1)求证：EF与⊙O相切；(2)若AE=6，sin∠CFD=35，求EB的长．24.（本小题满分12分）如图，AB为⊙O的直径，AB=4，P为AB上一点，过点P作⊙O的弦CD，设∠BCD=m∠ACD．CBOA第21题图第23题图..（1）已知221mm，求m的值，及∠BCD、∠ACD的度数各是多少？（2）在（1）的条件下，且21PBAP，求弦CD的长；（3）当323-2PBAP时，是否存在正实数m，使弦CD最短？如果存在，求出m的值，如果不存在，说明理由.25.（本小题满分14分）如图1，在平面直角坐标系xOy中，直线l：34yxm与x轴、y轴分别交于点A和点B(0,32)，抛物线234yxbxc经过点B，且与直线l的另一个交点为C9(,)4n．(1)求n的值和抛物线的解析式；(2)点D在抛物线上，且点D的横坐标为(0)ttn．DE∥y轴交直线l于点E，点F在直线l上，且四边形DFEG为矩形（如图2）．若矩形DFEG的周长为p，求p与t的函数关系式以及p的最大值；(3)M是平面内一点，将△AOB绕点M沿逆时针方向旋转90°后，得到△A1O1B1，点A、O、B的对应点分别是点A1、O1、B1．若△A1O1B1的两个顶点恰好落在抛物线上，请求出点A1的横坐标．(实验学校)2013年自主招生试卷每小题3分，共36分）题号12345678图1图2第24题图PCDOBA..答案CBABCCDB题号9101112答案DAAD二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）13.2x14.2(2)aa15.06t16.(5,4),402517.125518..（1）（2）（4）三19．（本题共2个小题，每小题8分，共16分）（1）解：原式31423123233.………………………8分（2）原式=…………………5分当33a时，原式233.…………………………………8分20.（1）17%；……………………………4分（2）所补数据为21.7；……………………6分补全统计图如图20；…………………8分（3）2015．…………………………12分21.解：联结BO、CO，联结AO并延长交BC于D…1分∵等腰直角三角形ABC且∠BAC=90∴AB=AC……2分∵O是圆心∴OB=OC∴直线OA是线段BC的垂直平分线…4分∴AD⊥BC，且D是BC的中点……………6分在Rt△ABC中，AD=BD=BC21∵BC=8BD=AD=4……………8分∵AO=1∴OD=BD-AO=3……………10分∵AD⊥BC∴∠BDO=90∴OB=5432222BDOD……12分22.解：（1）设商家一次购买该种产品x件时，销售单价恰好为2500元，依题意得300010(10)2500x，解得60x.………………………………3分答：商家一次购买该种产品60件时，销售单价恰好为2500元.…………4分（2）当010x时，(30002300)700yxx;………………6分当1060x时，2300010(10)230010800yxxxx;……8分当60x时，(25002300)200yxx.……………………10分所以，ZxxxZxxxxZxxxy,60,200,6010,80010,100,7002……………………1２分23.（1）证明：连接OD.∵OC=OD，∴∠OCD=∠ODC.………1分∵AB=AC，∴∠ACB=∠B.………2分第23题图图20CBOA第21题..∴∠ODC=∠B.∴OD∥AB.……………………………3分∴∠ODF=∠AEF.………4分∵EF⊥AB，∴∠ODF=∠AEF=90°.………5分∴OD⊥EF.∵OD为⊙O的半径，∴EF与⊙O相切.……6分（2）解：由（1）知：OD∥AB，OD⊥EF.在Rt△AEF中，sin∠CFD=AEAF=35，AE=6.∴AF=10.……8分∵OD∥AB，∴△ODF∽△AEF.∴AEODAFOF.………9分设⊙O的半径为r，∴10-r10=r6.解得r=154.…………………………10分∴AB=AC=2r=152.∴EB=AB-AE=152-6=32.………………12分24.解：（1）由221mm，得2m.…………………………1分连结AD、BD.∵AB是⊙O的直径∴∠ACB=90°，∠ADB=90°，又∵∠BCD=2∠ACD，∠ACB=∠BCD+∠ACD.∴∠ACD=30°，∠BCD=60°.……………………2分（2）连结AD、BD，则∠ABD=∠ACD=30°，AB=4，∴AD=2，32BD.……3分∵21PBAP，∴34AP，38BP.…………4分∵∠APC=∠DPB，∠ACD=∠ABD.∴△APC∽△DPB…………………5分∴BPPCDPAPDBAC，∴3383234DBAPDPAC①，4832339PCDPAPBP②同理△CPB∽△APD……………………6分∴ADBCDPBP，∴316238ADBPDPBC③，由①得DPAC338，由③得16,3BCDP23316338：：BCAC，PABODC第24题图..在△ABC中，AB=4，∴2224)316()338DPDP（，∴372DP.由②273239PCDPPC，得16721PC.∴167271072137DCCPPD.……………………8分方法二由①÷③得23316338：：BCAC，在△ABC中，AB=4，72143774AC，7782774BC.由③316778DPDPBC，得3