浙江省温州市2018年重点中学自主招生模拟数学试题(含答案)

2018年温州市重点中学自主招生模拟试题数学试卷（考试时间120分钟，满分150分）一.选择题（每题5分，共50分）1.下列数中不属于有理数的是（）A.1B.21C.22D.0.11132.如图，在矩形中截取两个相同的圆作为圆柱的上．下底面，剩余的矩形作为圆柱的侧面，刚好能组合成圆柱．设矩形的长和宽分别为y和x，则y与x的函数图象大致是（）A.B.C.D.3.如果把1、3、6、10…这样的数称为“三角形数”，而把1、4、9、16…这样的数称为“正方形数”．从图中可以发现，任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻“三角形数”之和．下列等式中，符合这一规律的是（）A、13=3+10B、25=9+16C、49=18+31D、36=15+214.a、b、c均不为0，若0abccxzbzyayx，则),(bcabp不可能在（）A、第一象限B、第二象限C、第三象限D、第四象限5.如图，在平面直角坐标系中，⊙P的圆心是（2，a）（a＞2），半径为2，函数y=x的图象被⊙P截得的弦AB的长为23错误!未找到引用源。，则a的值是（）A、22错误!未找到引用源。B、22错误!未找到引用源。C、23+2错误!未找到引用源。D、236.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90º，∠A=30º，BC=2，将△ABC绕点C按顺时针方向旋转n度后，得到△EDC，此时，点D在AB边上，斜边DE交AC边于点F，则n的大小和图中阴影部分的面积分别为（）A、30，2B、60，2C、60，32D、60，37.如图一个长为m、宽为n的长方形（m＞n）沿虚线剪开，拼接成图2，成为在一角去掉一个小正方形后的一个大正方形，则去掉的小正方形的边长为（）A、2mnB、m－nC、2mD、2n8.抛物线2xy上有三点P1、P2、P3，其横坐标分别为t，t+1，t+3，则△P1P2P3的面积为（）．A.1Ｂ.2Ｃ.3Ｄ.49.已知直线483yx与x轴、y轴分别交于点A和点B，M是OB上的一点，若将△ABM沿AM折叠，点B恰好落在x轴上的点B处，则直线AM的函数解析式是()A.821xyB.831xyC.321xyD.331xy10.正五边形广场ABCDE的边长为80米，甲、乙两个同学做游戏，分别从A、C两点处同时出发，沿A-B-C-D-E-A的方向绕广场行走，甲的速度为50米/分，乙的速度为46米/分，则两人第一次刚走到同一条边上时（）．Ａ.甲在顶点A处Ｂ.甲在顶点B处C.甲在顶点C处Ｄ.甲在顶点D处二.填空题（每题6分，共36分）11.分解因式：22242yxyx=________________.12.如图，在平面直角坐标系中，反比例函数)0,0(kxxky的图象经过点A（1,2），B（m，n）（m＞1），过点B作y轴的垂线,垂足为C.若△ABC面积为２，则点B的坐标为________.13.如右图，是一回形图，其回形通道的宽和OB的长均为1，回形线与射线OA交于A1，A2，A3，…．若从O点到A1点的回形线为第1圈（长为7），从A1点到A2点的回形线为第2圈，…，依次类推．则第11圈的长为．B/yxMOBAA3A2A1BAO14.今有一副三角板（如图1），中间各有一个直径为4cm的圆洞，现将三角板a的30º角的那一头插入三角板b的圆洞内（如图2），则三角板a通过三角板b的圆洞的那一部分的最大面积为cm2（不计三角板的厚度，精确到0.1cm2）．15.如图，等腰梯形MNPQ的上底长为2，腰长为3，一个底角为60°．正方形ABCD的边长为1，它的一边AD在MN上，且顶点A与M重合．现将正方形ABCD在梯形的外面沿边MN、NP、PQ进行翻滚，翻滚到有一个顶点与Q重合时，点A所经过的路线与梯形MNPQ的三边MN、NP、PQ所围成图形的面积是________．16.如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=4，⊙D的半径为1．现将一个直角三角板的直角顶点与矩形的对称中心O重合，绕着O点转动三角板，使它的一条直角边与⊙D切于点H，此时两直角边与AD交于E，F两点，则tanEFO的值为．三.解答题（共6小题，分别为8,10,10,10,12，14分，共64分）17.设数列,1,,12,1,,13,22,31,12,21,11kkk，问：（1）这个数列第2010项的值是多少？（2）在这个数列中，第2010个值为1的项的序号是多少？18.如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，⊙O为内切圆，E为切点，（Ⅰ）求AOD的度数；（Ⅱ）若8AOcm，6DOcm，求OE的长．.19.请设计三种方案：把一个正方形剪两刀，使剪得的三块图形能够拼成一个三角形，并且使拼成的三角形既不是直角三角形也不是等腰三角形，画出必要的示意图，并附以简要的文字说明．20.某商场在促销期间规定：商场所有商品按标价的80%出售，同时，当顾客在该商场内消费满一定金额后，可按如下方案获得相应金额的奖券：图1baABDCEO消费金额w（元）的范围200≤w＜400400≤w＜500500≤w＜700700≤w＜900…获得奖券的金额（元）3060100130…根据上述促销方法，顾客在该商场购物可以获得双重优惠。例如，购买价为400元的商品，则消费金额为320元，获得的优惠为：400×0.2＋30=110（元）。（1）购买一件标价为1000元的商品，顾客得到的优惠率是多少？（2）对于标价在500≤w＜800（元）的商品，顾客购买标价为多少元商品，可得到不小于31的优惠率。21.已知：以原点O为圆心、5为半径的半圆与y轴交于A、G两点，AB与半圆相切于点A，点B的坐标为（3，yB）（如图1）；过半圆上的点C(xC，yC)作y轴的垂线，垂足为D；Rt△DOC的面积等于382Cx．（1）求点C的坐标；（2）①命题“如图2，以y轴为对称轴的等腰梯形MNPQ与M1N1P1Q1的上底和下底都分别在同一条直线上，NP∥MQ，PQ∥P1Q1，且NP＞MQ．设抛物线y=a0x2＋h0过点P、Q，抛物线y=a1x2＋h1过点P1、Q1，则h0＞h1”是真命题．请你以Q（3，5）、P（4，3）和Q1（p，5）、P1(p+1，3)为例进行验证；②当图1中的线段BC在第一象限时，作线段BC关于y轴对称的线段FE，连接BF、CE，点T是线段BF上的动点（如图3）；设K是过T、B、C三点的抛物线y=ax2+bx+c的顶点，求K的纵坐标yK的取值范围．22.已知：二次函数2yaxbxc的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中点B在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，线段OB、OC的长（OB＜OC）是方程x2－10x＋16＝0的两个根，且A点坐标为（－6，0）．（1）求此二次函数的表达式；（2）若点E是线段AB上的一个动点（与点A、点B不重合），过点E作EF∥AC交BC于点F，连接CE，设AE的长为m，△CEF的面积为S，求S与m之间的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；（3）在（2）的基础上试说明S是否存在最大值，若存在，请求出S的最大值，并求出此时点E的坐标，判断此时△BCE的形状；若不存在，请说明理由．试问商品的标价购买商品获得的优惠额率设购买商品得到的优惠.图1图2图3BOxyOxyTFEGyxAOCBP1Q1M1N1NMQP参考答案一.选择题（每题5分，共50分）题号12345678910答案CADABCACCD二.填空题（每题6分，共36分）11.____2)(2yx______12._____（3，）32______13.______87_______14.____14.9____________15.723______16.________34_________三.解答题（共6小题，共64分）17.（1）将数列分组：),1,,12,1(,),13,22,31(),12,21(),11(kkk因为1+2+3+…+62=1953；1+2+3+…+63=2016，所以数列的第2010项属于第63组倒数第7个数，即为577。（2）由以上分组可以知道，每个奇数组中出现一个1，所以第2010个1出现在第4019组，而第4019组中的1位于该组第2010位，所以第2010个值为1的项的序号为（1+2+3+…+4018）+2010=809428。18.解（Ⅰ）∵AB∥CD，∴180ADCBAD．∵⊙O内切于梯形ABCD，∴AO平分BAD，有BADDAO21，DO平分ADC，有ADCADO21．∴90)(21ADCBADADODAO．∴90)(180ADODAOAOD．（Ⅱ）∵在Rt△AOD中，8AOcm，6DOcm，∴由勾股定理，得1022DOAOADcm．∵E为切点，∴ADOE．有90AEO．∴AODAEO．又OAD为公共角，∴△AEO∽△AOD．∴ADAOODOE，∴8.4ADODAOOEcm．19.如图，在AD边上任取一点N，使点N不是边AD的中点.ABDCEOO2O1NMDCBA分别作出线段AN、DN的中点O1、O2，只要把正方形ABCD沿BO1、CO2剪两刀，则得到的三块图形就可以如图所示地拼成一个符合题意的三角形.答案不唯一：20.解（1）%3310001302.01000（2）商品的标价为x元，则800500x，消费额：6408.0400x，由已知得5008.040031602.0)(xxxⅠ或6408.0500311002.0)(xxxⅡ不等式（Ⅰ）无解，不等式（Ⅱ）的解为750625x因此，当顾客购买标价在750625x元内的商品时，可得到不小于31的优惠率。21.解：（1）连AC交BD于O，∵ABCD为菱形，∴90AOB，2hOA，20OB．在Rt△AOB中，∵222ABBOAO，∴2223020)2(h520h．（2）从40a开始，螺旋装置顺时针方向旋转x圈，则xBD40．∴22230)240()2(xh22)40(60xh（3）结论：21ss．在22)40(60xh中，NMGFEDCBAHGFEDCBAOGFEDCBAGFEDCBAOGFEDCBA令0x得，2204060h721.44；令1x得，2213960h596.45；令2x得，2223860h433.46．∴88.0011hhs，84.0122hhs，∴21ss．也可以如下比较1s、2s的大小：∵2222140603960s2222222240603960)4060()3960(20100219979，2222239603860s2222222239603860)3960()3860(2199229877．而7779，229820100，∴21ss．若将条件“从40a开始”改为“从任意时刻开始”，则结论21ss仍成立．∵2222160)1(60aas222260)1(6012aaa，22222)1(60)2(60aas2222)1(60)2(6032aaa．而3212aa，2222)2(6060aa，∴21ss．10.（1）yB=5=半径;21xCyC=382Cx,2Cx+y2C=25,得C(4,3)…2分和C(4,－3)（2）①过点P（4，3）、Q（3，5）的抛物线y=a0x2＋h0即为y=－27x2+537,得h0＝537.过P1(p+1，3)、Q1（p，5）的抛物线y=a1x2＋h1即为y=2222105-2121ppxpp,h1=2210521ppp.h0—h1＝537－2210521ppp＝-2(73)(-3)7(21)ppp＝2(73)(3-)7(2