1Αα阿尔法alfaΒβ贝塔bitaΓγ伽马gamaΔδ德耳塔dêltaΕε艾普西龙êpsilonΖζ截塔zitaΗη艾塔yitaΘθ西塔sitaΙι约塔yotaΚκ卡帕kapa∧λ兰布达lamdaΜμ米尤miuΝν纽niuΞξ克西ksaiΟο奥密克戎oumikelong∏π派paiΡρ若rou∑σ西格马sigmaΤτ套taoΦφ斐faiΧχ喜haiΥυ宇普西龙yupsilon2Ψψ普西psaiΩω欧米伽omiga3第一章概率论的基本概念§1.1随机试验E–试验:1.相同条件下可重复进行2.结果多样的,实验前所有可能的结果是确定的3.实验前不确定具体的结果若E满足1~3,称E为随机试验§1.2样本空间、随机事件一、样本空间E为随机试验,E的所有可能基本结果组成的集合,称为E的样本空间,记为S。样本空间的元素,即E的每个结果,称为样本点.例:抛筛子S={1,2,3,4,5,6}A={2,4,6}S、A都为结果,但A不是基本结果二、随机事件试验E的样本空间S的子集为E的随机事件,简称事件。在每次实验中,当且仅当这一子集中的一个样本点出现时,称这一事件发生.由一个样本点组成的单点集,称为基本事件.S∈S,S称为必然事件.4∅∈S,∅称为不可能事件.三、事件间的关系与事件的运算(一)关系𝐴⊂𝐵若𝐴⊂𝐵,则称事件A包含于事件B,事件A发生必导致事件B发生.若𝐴⊂𝐵且B⊂𝐴,则称事件A与事件B相等.𝐴∪𝐵事件𝐴∪𝐵={𝑥|𝑥⊂𝐴或𝑥⊂𝐵}称为事件A与事件B的和事件.当且仅当A,B中至少有一个发生时,事件𝐴∪𝐵发生.类似地,称⋃Aknk=1为可列个事件A1,A2,…,An的和事件𝐴∩𝐵事件𝐴∩𝐵={𝑥|𝑥⊂𝐴且𝑥⊂𝐵}称为事件A与事件B的积事件.当且仅当A,B同时发生时,事件𝐴∩𝐵发生,也记作AB.类似地,称⋂Aknk=1为可列个事件A1,A2,…,An的积事件5𝐴−𝐵事件𝐴−𝐵={𝑥|𝑥∈𝐴且𝑥∉B}称为事件A与事件B的差事件.当且仅当A发生,B不发生时事件𝐴−𝐵发生.𝐴∩𝐵=∅称事件A与B是互不相容的,或互斥的𝐵∪𝐵̅=𝑆𝐵∩𝐵̅=∅若𝐴∪𝐵=𝑆且𝐴∩𝐵=∅,则称事件A与B互为逆事件.又称事件A与B互为对立事件.事件A、B中必有一个发生且仅有一个发生A的对立事件记为𝐴̅.𝐴̅=𝑆−𝐴.(二)计算1)交换律6𝐴∪𝐵=𝐵∪𝐴;𝐴∩𝐵=𝐵∩𝐴.2)结合律𝐴∪(𝐵∪𝐶)=(𝐴∪𝐵)∪𝐶;𝐴∩(𝐵∩𝐶)=(𝐴∩𝐵)∩𝐶.3)分配律𝐴∪(𝐵∩𝐶)=(𝐴∪𝐵)∩(𝐴∪𝐶);𝐴∩(𝐵∪𝐶)=(𝐴∩𝐵)∪(𝐴∩𝐶).4)德摩根律𝐴∪𝐵̅̅̅̅̅̅̅=𝐴̅∩𝐵̅;𝐴∩𝐵̅̅̅̅̅̅̅=𝐴̅∪𝐵̅.§1.3频率与概率一、频率定义在相同的条件下,进行n次试验,在这n次试验中,事件A发生的次数𝑛𝐴称为事件A发送的频数,比值𝑛𝐴𝑛称为事件A发生的频率,并记为𝑓𝑛(𝐴).由定义,得下述基本性质1)0≤𝑓𝑛(𝐴)≤1;2)𝑓𝑛(𝑆)=1;3)若A1,A2,…,Ak是两个互不相容的事件,则𝑓𝑛(𝐴1∪𝐴2∪…∪𝐴𝑘)=𝑓𝑛(𝐴1)+𝑓𝑛(𝐴2)+⋯+𝑓𝑛(𝐴𝑘)7二、概率量词名称常见量词符号表示全称量词所有、一切、任意、全部、每一个等∀存在量词存在一个、至少一个、有些、某些等∃P–possibility可能性定义设E是随机事件,S是它的样本空间,对于E的每一事件A赋予一个实数,记为𝑃(𝐴),称为事件A的概率,如果集合函数𝑃(·)满足下列条件:1)非负性:∀𝐴∈𝑆,𝑃(𝐴)≥0;2)规范性:对于必然事件S,有𝑃(𝑆)=1;3)可列可加性:设𝐴1,𝐴2,…是两两互斥的事件,即对于𝐴𝑖𝐴𝑗=∅,𝑖≠𝑗,𝑖,𝑗=1,2,…,有𝑃(𝐴1∪𝐴2∪…)=𝑃(𝐴1)+𝑃(𝐴2)+⋯三、概率基本性质1.𝑃(∅)=0证:取𝐴𝑛=∅(𝑛=1,2,…)𝐴1,𝐴2,…两两互斥由𝑃(𝐴1∪𝐴2∪…)=𝑃(𝐴1)+𝑃(𝐴2)+⋯即𝑃(∅)=𝑃(∅)+𝑃(∅)+⋯∴𝑃(∅)=02.(有限可加性)设𝐴1,𝐴2,…,𝐴𝑛是两两互斥,则𝑃(𝐴1∪…∪𝐴𝑛)=𝑃(𝐴1)+⋯+𝑃(𝐴𝑛)证:令𝐴𝑛+1=𝐴𝑛+2=⋯=∅8𝐴1,…,𝐴𝑛,…两两互斥由𝑃(𝐴1∪…∪𝐴𝑛∪…)=𝑃(𝐴1)+⋯+𝑃(𝐴𝑛)+⋯得𝑃(𝐴1∪…∪𝐴𝑛)=𝑃(𝐴1)+⋯+𝑃(𝐴𝑛)3.(逆事件的概率)𝑃(𝐴̅)=1−𝑃(𝐴)证:𝐴,𝐴̅互斥=𝑃(𝐴+𝐴̅)=𝑃(𝐴)+𝑃(𝐴̅)∵𝐴+𝐴̅=𝑆∴𝑃(𝐴)+𝑃(𝐴̅)=1=𝑃(𝐴̅)=1−𝑃(𝐴)4.(减法公式)𝑃(𝐴−𝐵)=𝑃(𝐴)−𝑃(𝐴𝐵)证:∵𝐴=(𝐴−𝐵)+𝐴𝐵且𝐴−𝐵与𝐴𝐵互斥∴𝑃(𝐴)=𝑃[(𝐴−𝐵)+𝐴𝐵]=𝑃(𝐴−𝐵)+𝑃(𝐴𝐵)∴𝑃(𝐴−𝐵)=𝑃(𝐴)−𝑃(𝐴𝐵)5.(加法公式)𝑃(𝐴∪𝐵)=𝑃(𝐴)+𝑃(𝐵)−𝑃(𝐴𝐵)证:∵𝐴+𝐵=(𝐴−𝐵)+𝐴𝐵+(𝐵−𝐴)且𝐴−𝐵、𝐴𝐵、𝐵−𝐴两两互斥∴𝑃(𝐴+𝐵)=𝑃(𝐴−𝐵)+𝑃(𝐴𝐵)+𝑃(𝐵−𝐴)∵𝑃(𝐴−𝐵)=𝑃(𝐴)−𝑃(𝐴𝐵)𝑃(𝐵−𝐴)=𝑃(𝐵)−𝑃(𝐴𝐵)∴𝑃(𝐴+𝐵)=𝑃(𝐴)+𝑃(𝐵)−𝑃(𝐴𝐵)附:𝑃(𝐴+𝐵+𝐶)=𝑃(𝐴)+𝑃(𝐵)+𝑃(𝐶)−𝑃(𝐴𝐵)−𝑃(𝐵𝐶)−𝑃(𝐴𝐶)+𝑃(𝐴𝐵𝐶)910§1.4等可能概型(古典概型)随机实验𝐸1,𝐸5,满足:1)实验的样本空间只包含有限个元素;2)实验中每个基本事件发生的可能性相同则这种实验称为等可能概型(古典概型)若事件A包含k个基本事件,则有𝑃(𝐴)=𝐴包含的基本事件数𝑆中基本事件的总数=𝑘𝑛例2一个口袋有6只球,其中4只白球,2只红球。从袋中取球两次,每次随机地取一只,考虑两种取球方式:a)第一次取一只球,再放回(放回抽样)b)第一次取一只球,不返回(不放回抽样)求:1)两只都是白球的概率2)两只同色的概率3)至少有一只是白球的概率解:设A表示事件“取到的两只都是白球”,B表示事件“取到的两只都是红球”,11C表示事件“取到的两只球中至少有一只是白球”(a)放回抽样的情况𝑃(𝐴)=4×46×6=49𝑃(𝐵)=2×26×6=19𝑃(𝐴∪𝐵)=𝑃(𝐴)+𝑃(𝐵)−𝑃(𝐴𝐵)=49+19−0=59𝑃(𝐶)=𝑃(𝐵̅)=1−𝑃(𝐵)=1−19=89(b)放回抽样的情况𝑃(𝐴)=4×36×5=615𝑃(𝐵)=2×16×5=115𝑃(𝐴∪𝐵)=𝑃(𝐴)+𝑃(𝐵)−𝑃(𝐴𝐵)=615+115−0=715𝑃(𝐶)=𝑃(𝐵̅)=1−𝑃(𝐵)=1−115=1415§1.5条件概率一、条件概率定义设A,B是两个事件,且𝑃(𝐵|𝐴)0,称𝑃(𝐵|𝐴)=𝑃(𝐴𝐵)𝑃(𝐴)为事件A已发生的条件下事件B发生的条件概率。例:6{4个白球2个红球不放回A:第一次取白球12B:第二次取红球𝑃(𝐴)=46,𝑃(𝐴𝐵)=46×25𝑃(𝐵|𝐴)=25Notes:条件概率𝑃(·|𝐴)符合概率定义中的三个条件(非负性、规范性、可列可加性)1)𝑃(𝐴−𝐵|𝐶)=𝑃(𝐴|𝐶)−𝑃(𝐴𝐵|𝐶)2)𝑃(𝐴+𝐵|𝐶)=𝑃(𝐴|𝐶)+𝑃(𝐵|𝐶)−𝑃(𝐴𝐵|𝐶)3)𝑃(𝐴̅|𝐶)=1−𝑃(𝐴|𝐶)二、乘法定理1.设𝑃(𝐴)0,则有𝑃(𝐴𝐵)=𝑃(𝐵|𝐴)𝑃(𝐴)2.设𝑃(𝐴1)0,𝑃(𝐴1𝐴2)0,…,𝑃(𝐴1…𝐴𝑛−1)0,则𝑃(𝐴1𝐴2…𝐴𝑛)=𝑃(𝐴1)𝑃(𝐴1|𝐴1)𝑃(𝐴3|𝐴1𝐴1)…𝑃(𝐴𝑛|𝐴1𝐴2…𝐴𝑛−1)三、全概率公式和Bayes公式(一)完备事件组S为样本空间,𝐴1,𝐴1,…,𝐴𝑛为时间,若1)𝐴1,𝐴1,…,𝐴𝑛互斥2)𝐴1,𝐴1,…,𝐴𝑛=𝑆(二)全概率公式*设𝐴1,𝐴1,…,𝐴𝑛为完备组,𝛺为样本空间13∀𝐵⊂𝑆,𝐵=𝛺𝐵=(𝐴1+𝐴1+⋯+𝐴𝑛)𝐵=𝐴1𝐵+𝐴1𝐵+⋯+𝐴𝑛𝐵∵𝐴1𝐵⊂𝐴1,…,𝐴𝑛𝐵⊂𝐴𝑛又∵𝐴1,𝐴1,…,𝐴𝑛互斥∴𝐴1𝐵,𝐴1𝐵,…,𝐴𝑛𝐵互斥∴𝑃(𝐵)=𝑃(𝐴1𝐵)+𝑃(𝐴1𝐵)+⋯+𝑃(𝐴𝑛𝐵)=𝑃(𝐴1)𝑃(𝐵|𝐴1)+𝑃(𝐴1)𝑃(𝐵|𝐴1)+⋯+𝑃(𝐴𝑛)𝑃(𝐵|𝐴𝑛)即𝑃(𝐵)=∑𝑃(𝐴𝑖)𝑃(𝐵|𝐴𝑖)𝑛𝑖=1例1:口袋有12球,有8个红,4个白的,每次取一球,不放回,不看颜色(看颜色结果已发生,再问第二次的结果就是条件概率).1)求第二次取红球的概率;2)设第二次取红球,求第一次取白球的概率;解:第一阶段:(建立完备事件组)𝐴1={第一次取红},𝐴2={第一次取白}𝑃(𝐴1)=812𝑃(𝐴2)=412第二阶段(某一个结果):𝐵={第二次取红}𝑃(𝐵|𝐴1)=71114𝑃(𝐵|𝐴2)=811第三阶段(解出结果):题①,解:𝑃(𝐵)=𝑃(𝐴1)𝑃(𝐵|𝐴1)+𝑃(𝐴2)𝑃(𝐵|𝐴2)=(812×711)+(412×811)=812题②,解:𝑃(𝐴2|𝐵)=𝑃(𝐴2𝐵)𝑃(𝐵)=𝑃(𝐴2)𝑃(𝐵|𝐴2)𝑃(𝐵)=412×811812=411例2:甲、乙、丙厂提供产品,比例60%,30%,10%,次品率是5%,7%,12%.1)求次品率;2)取次品,是甲厂的可能性解:第一阶段:(建立完备事件组)𝐴1={甲厂产品},𝐴2={乙厂产品},𝐴3={丙厂产品}𝑃(𝐴1)=0.6,𝑃(𝐴2)=0.3,𝑃(𝐴3)=0.1第二阶段(某一个结果):𝐵={次品}𝑃(𝐵|𝐴1)=0.05,𝑃(𝐵|𝐴2)=0.07,𝑃(𝐵|𝐴2)=0.12第三步(解出结果):题①,解:𝑃(𝐵)=𝑃(𝐴1)𝑃(𝐵|𝐴1)+𝑃(𝐴2)𝑃(𝐵|𝐴2)+𝑃(𝐴3)𝑃(𝐵|𝐴3)=0.6×0.05+0.3×0.07+0.1×0.12=0.063=6.3%题②,解:15𝑃(𝐴1|𝐵)=𝑃(𝐴1𝐵)𝑃(𝐵)=𝑃(𝐴1)𝑃(𝐵|𝐴1)𝑃(𝐵)=0.6×0.050.063(三)贝叶斯(Bayes)公式𝑃(𝐴𝑘|𝐵)=𝑃(𝐴𝑘𝐵)𝑃(𝐵)=𝑃(𝐴𝑘)𝑃(𝐵|𝐴𝑘)∑𝑃(𝐴𝑖)𝑃(𝐵|𝐴𝑖)𝑛𝑖=1Notes:如果问第二阶段某一个结果,则用全概率公式如果问第一阶段哪一步发生,则用Bayes公式16§1.6独立性定义1设A,B是两个事件,如果满足等式𝑃(𝐴𝐵)=𝑃(𝐴)𝑃(𝐵)则称事件A,B相互独立,简称A,B独立.①{𝐴,𝐵𝐴,𝐵̅𝐴̅,𝐵𝐴̅,𝐵̅,一对独立则其余独立②𝑃(𝐴)=0或𝑃(𝐴)=1=𝐴,𝐵独立定义2设A,B,C是三个事件,如果满足等式(必须是4个):{𝑃(𝐴𝐵)=𝑃(𝐴)𝑃(𝐵)𝑃(𝐵𝐶)=𝑃(𝐵)𝑃(𝐶)𝑃(