1几何最值问题(1)--教学设计

第一讲几何最值问题（1）编写人：XXX教学目标：1、熟练应用两点之间线段最短、垂线段最短、三角形三边关系等基础知识解决线段最值问题。2、经过探索发现在动态变化过程中的线段最值的确定，使学生掌握问题中的一般性规律，培养学生灵活应用知识解决问题并构建数学模型的能力。3、在学生主动参与数学学习活动过程中体验学习探究的乐趣。教学重点：熟练应用两点之间线段最短、垂线段最短、三角形三边关系等基础知识解决线段最值问题。教学难点：掌握问题中的一般性规律，灵活应用知识解决问题并能构建数学模型教学方法：自主探究、交流展示、当堂达标教学过程：一、知识梳理：解决最值问题时应用到的几何性质：①两点之间线段最短；②连接直线外一点和直线上各点的所有线段中，垂线段最短；③三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；④定圆中的所有弦中，直径最长【设计意图】复习相关知识，为本节课的学习探究做好铺垫，符合学生认知规律。二、典题分析、构建模型、针对演练类型一、利用垂线段最短求最值问题【例1】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝3，AB＝5，点D是AB上的动点(点D可与点A、B重合)，若CD＝x，则x的取值范围是(C)A.B.C.D.【引导分析】要求CD的取值范围，即为求CD的最大值和最小值，很明显，当点D与点A重合时，CD最大；要求CD的最小值，利用垂线段最短求解.1235x1245x1245x1245x模型分析：涉及求直线外一动点到直线的最短距离问题或求直线上一动点与定点之间的最短距离时，利用垂线段最短求解，如图，过点P作PH⊥l于点H，PH即为点P到直线l的最短距离，即垂线段最短.针对演练：【教学活动】出示题目，学生先独立思考，再由教师引导分析，共同交流探讨。1.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝4，，AC＝6，若P为线段AC上一点，连接PB，以PA、PB为边作平行四边形APBD，连接PD，交AB于点E，则PD的最小值为(C)A.2B.3C.4D.5第1题图【解析】∵四边形APBD为平行四边形，∴AE＝BE，DE＝EP.∴当PD最小时，EP也最小.故当EP⊥AC时，EP最小.∵AE＝BE，∠APE＝∠ACB＝90°，∴EP＝12BC＝2.∴PD＝2EP＝4.【设计意图】通过练习使学生达到熟练掌握的程度，学会构建数学模型、灵活应用数学知识，培养学生分析问题解决问题的能力，并让学生体验到中考数学的趣味性灵活性。类型2、三边关系及共线求最值问题【例2】如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，BC＝3，P是AB边上的动点(不与点B重合)，将△BCP沿CP所在的直线翻折，得到△B′CP，连接B′A，则B′A长度的最小值是1.【引导分析】求B′A的最小值，可放在△AB′C中，∵AC为定值，结合图形折叠的性质可得B′C也为定值，利用三边关系求B′A＜AC-B′C，B′A的最小值即极限值B′A=AC-B′C.【亦可用点B′的运动轨迹分析B′A的最小值】模型分析：【背景展示】如图①，已知点A、点B是平面内固定的两点，AB＝m，点C是同一平面内一动点且BC＝n(mn)，连接AC、BC.1.如图①，在△ABC中，∵ACAB－BC，∴当点A，C，B三点共线时，如图②，AC的值最小，最小值为AC＝AB－BC＝m－n.2.如图①，在△ABC中，∵ACAB＋BC，∴当点A，B，C三点共线时，如图③，AC的值最大，最大值为AC＝AB＋BC＝m＋n.【拓展延伸】点C在运动过程中的轨迹是什么？定点A到动点C的距离最大值与最小值应如何确定？针对演练：【教学活动】出示题目，学生先独立思考，再由教师引导分析，共同交流探讨。2.如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，E是AB边的中点，F是线段BC边上的动点，将△EBF沿EF所在直线折叠得到△EB′F，连接B′D，则B′D的最小值是210－2.第2题图【解析】如解图所示，∵当点B′在DE上时，此时B′D的值最小，根据折叠的性质得，△EBF≌△EB′F，∴EB′⊥B′F，EB′＝EB，∵E是AB边的中点，AB＝4，∴AE＝EB′＝2，∵AD＝6，在Rt△AED中，DE＝62＋22＝210，∴B′D＝DE－B′E＝210－2.【亦可用点B′的运动轨迹分析B′D的最小值】3.如图，90MON，矩形ABCD的顶点A、B分别在边,OMON上.当分在边ON上运动时，A随之在边OM上运动，矩形ABCD的形状保持不变，其中2,1ABBC，运动过程中，点D到点O的最大距离为(A)(A)21(B)5(c)1455(D)52【解析】如图1，取AB的中点E，连结,,OEDEOD.∵OD≤OE+DE当,,ODE三点共线时，点D到点O的距离最大，此时，2,1ABBC,112OEAEAB.2222112DEADAE,ZOD的最大值为21.【设计意图】通过练习强化数学模型，学会举一反三，增强学生灵活应用数学知识的能力。三、反思提升通过本节课的学习你有哪些收获？认知方面：能力方面：情感方面：……【设计意图】通过归纳总结，使学生理清知识结构，提升认知能力、建模思想。四、当堂检测1．.如图，在△ABC中，∠A＝50°，∠B＝40°，E是AB边上中点，点D是AB上一个动点，当CD取最小值时，∠DCE＝10°.第3题图2.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝6，点D是边BC的中点，点E是边AB上任意一点(点E不与点B重合)，沿DE翻折△DBE，使点B落在点F处，连接AF，则线段AF的长取最小值时，BF的长为1255．五、课后作业1如图，点A的坐标为(1,0)，点B在直线y=-x上运动，当线段AB最短时，点B的坐标为（B）A.B.C.D.2.如图，在Rt△ABC中，BC＝3，∠BAC＝30°，斜边AB的两个端点分别在相互垂直的射线OM，ON上滑动．下列结论：①若C、O两点关于AB对称，则OA＝3；②若AB平分CO，则AB⊥CO；③C，O两点间的最大距离是6；④斜边AB的中点D运动的路径长是π，其中正确的有（D）A.①②B.③④C.②③④D.①③④3.已知：2AD，4BD，以AB为一边作等边三角形ABC，使C、D两点落在直线AB的两侧。（1）如图，当∠ADB=60°时，求AB及CD的长；（2）当∠ADB变化，且其他条件不变时，求CD的最大值，及相应∠ADB的大小。.解：（1）如图，过点A作AGBD于点G。∵∠ADB=60°，2AD∴1DG，3AG，∴3GB，∴tan33AGABGBG，∴30ABG°，23AB，∵△ABC是等边三角形，∴90DBCo，23BC，由勾股定理得：222242327CDDBBC。（2）作60EAD°，且使AEAD，连接ED、EB。∵△ABC是等边三角形，∴ABAC，60BAC°，∴EADDABBACDAB，即EABDAC，∴△EAB≌△DAC。∴EB=DC。当点E、D、B在同一直线上时，EB最大，∴246EB，∴CD的最大值为6，此时120ADB°。