解析几何100题经典大题汇编

OMPFxy解析几何解答题100题精选【山东省滕州二中2014届高三上学期期中理】22:（本小题满分14分）如图,F为双曲线)0,0(1:2222=−babyaxC的右焦点,P为双曲线C在第一象限内的一点,M为左准线上一点,O为坐标原点,,OFMP=.OFPFλ=（Ⅰ）推导双曲线C的离心率e与λ的关系式；（Ⅱ）当1=λ时,经过点)0,1(且斜率为a−的直线交双曲线于BA,两点,交y轴于点D,且=DADB)23(−，求双曲线的方程.【答案】22:解：(Ⅰ)Q,OFMP=OFPM∴为平行四边形.设l是双曲线的右准线,且与PM交于N点,cOF=,PNePF=Q,,,PMOFOFPF==λ).(MNPMePNeOF−==∴λ即.02).2(22=−−∴−=⋅eecacecλλ………………6分（Ⅱ）当1=λ时,得.3,2,2abace==∴=所以可设双曲线的方程是132222=−ayax,…8分设直线AB的方程是),1(−−=xay与双曲线方程联立得:.042)3(2222=−+−axaxa由0)3(164224−+=∆aaa得20a..34,32),,(),,(222122212211−=−=+aaxxaaxxyxByxA则设①[来源:学科网ZXXK]由已知，),0(aD，因为=DADB)23(−，所以可得.)23(21xx−=②…………10分由①②得34)23(,32)13(2222222−=−−=−aaxaax，消去2x得,22=a符合0∆，所以双曲线的方程是16222=−yx………………14分【山东济南市2014界高三下学期二月月考理】已知椭圆C的中心为坐标原点O，焦点在y轴上，离心率22e=，椭圆上的点到焦点的最短距离为212−,直线l与y轴交于点P（0，1m），与椭圆C交于相异两点A、B，且PB3AP=.（1）求椭圆方程；（2）求m的取值范围．【答案】21.解：（1）设C：y2a2＋x2b2＝1（ab0），设c0，c2＝a2－b2，由条件知a-c＝22，ca＝22，∴a＝1，b＝c＝22…………………3分故C的方程为：y2＋x212＝1…………4分（2）当直线斜率不存在时：12m=±…………5分当直线斜率存在时：设l与椭圆C交点为A（x1，y1），B（x2，y2）∴2221ykxmxy=++=得（k2＋2）x2＋2kmx＋（m2－1）＝0………6分∴Δ＝（2km）2－4（k2＋2）（m2－1）＝4（k2－2m2＋2）0（*）…7分x1＋x2＝－2kmk2＋2EA，x1x2＝Am2－1k2＋2EA………8分∵AP＝3∴－x1＝3x2∴122212223xxxxxx+=−=−消去x2，得3（x1＋x2）2＋4x1x2＝0，∴3（－2kmk2＋2）2＋4m2－1k2＋2＝0………9分整理得4k2m2＋2m2－k2－2＝0m2＝14时，上式不成立；m2≠14时，k2＝2－2m24m2－1EA，………10分∴k2＝2－2m24m2－1≥0，∴211−≤−m或121≤m把k2＝2－2m24m2－1代入（*）得211−−m或121m∴211−−m或121m…………11分2综上m的取值范围为211−≤−m或121≤m………………12分【山东省济南一中2014届高三上学期期末理】21.（本小题满分12分）已知椭圆E的长轴的一个端点是抛物线245yx=的焦点，离心率是63（1）求椭圆E的方程；（2）过点C（—1，0），斜率为k的动直线与椭圆E相交于A、B两点，请问x轴上是否存在点M，使MBMA⋅为常数？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由。【答案】21.解：（1）根据条件可知椭圆的焦点在x轴，且6305,5,33acea===×=又22bac=−故1055,33=−=故所求方程为221,553xy+=即5322=+yx………………3分（2）假设存在点M符合题意，设AB：),1(+=xky代入53:22=+yxE得：0536)13(2222=−+++kxkxk………………4分)0,(),,(),,(2211mMyxByxA设则1353,13622212221+−=+−=+kkxxkkxx………6分22221211(1)()()MAMBkxxkmxxkm⋅=++−+++uuuruuur221614233(31)mmmk+=+−−+……10分要使上式与K无关，则有6140,m+=，解得73m=−，存在点)0,37(−M满足题意。12分【山东省济宁市金乡二中2014届高三11月月考理】23、（本小题满分12分）[来源:学科网]已知曲线C上的动点P到点)0,2(F的距离比它到直线1−=x的距离大1.（I）求曲线C的方程；（II）过点)0,2(F且倾斜角为)20(παα的直线与曲线C交于BA,两点，线段AB的垂直平分线m交x轴于点P，证明：α2cos||||⋅−FPFP为定值，并求出此定值.【答案】23、解:（I）设动点),(yxP，动点P到点)0,2(F的距离比它到直线1−=x的距离多1。即动点P到点)0,2(F的距离等于它到直线2−=x的距离则|2|)2(22+=+−xyx3两边平方222)2()2(+=+−xyx化简可得：xy82=（II）如图,作lBDlAC⊥⊥,设A,B的横坐标分别为BAxx,则2||||pxACFAA+==4cos||22cos||+=++=ααFAppFA解得αcos14||−=FA同理αcos||4||FBFB−=解得αcos14||+=FB记m与AB的交点为E||||||AEFAFE−=||21||ABFA−=)cos14cos14(21αα+−−=αα2sincos4=αα2sin4cos||||==∴FEFP故8)2cos1(sin42cos||||2=−=⋅−αααFPFP【山东省苍山县2014届高三上学期期末检测理】22．（本题满分14分）如图，斜率为1的直线l过抛物线2:2(0)ypxpΩ=的焦点F，与抛物线交于两点A，B。（1）若|AB|=8，求抛物线Ω的方程；（2）设P是抛物线Ω上异于A，B的任意一点，直线PA，PB分别交抛物线的准线于M，N两点，证明M，N两点的纵坐标之积为定值（仅与p有关）。【答案】22．解：设),,(),,(2211yxByxA（1）由条件知直线.2:pxyl−=．……1分由=−=pxypxy2,22消去y，得.04322=+−ppxx…………2分ABmxyPFαBCD4由题意，判别式.044)3(22⋅−−=∆pp（不写，不扣分）由韦达定理，.4,322121pxxpxx==+．……………………………3分由抛物线的定义，.43)2()2(||21ppppxpxAB=+=+++=从而.42,84==pp所求抛物的方程为.42xy=．…………………6分（2），易得.2,21221pyypyy=+−=．……………………………7分设),(00yxP。将pyxpyx2,2211200==代入直线PA的方程),(001010xxxxyyyy−−−=−得).(2:0010xxyypyyPA−+=−．……………………………9分[来源:学科网ZXXK]同理直线PB的方程为)(20020xxyypyy−+=−．………………10分将2px−=代入直线PA，PB的方程得.,0222001210yypyyyyypyyyNM+−=+−=．……………………………12分【山东省淄博市第一中学2014届高三第一学期期中理】22、（满分14分）已知点21,FF分别为椭圆)0(1:2222=+babyaxC的左、右焦点，点P为椭圆上任意一点，P到焦点2F的距离的最大值为12+，且21FPF∆的最大面积为1（1）求椭圆C的方程。（2）点M的坐标为)0,45(，过点2F且斜率为k的直线L与椭圆C相交于BA,两点。对于任意的MBMARk•∈,是否为定值？若是求出这个定值；若不是说明理由。【答案】22.解：⑴由题意可知：a+c=2+1，12×2c×b=1,有∵a2=b2+c2[来源:学科网ZXXK]∴a2=2,b2=1,c2=1∴所求椭圆的方程为：2212xy+=⑵设直线l的方程为：y=k（x-1）A(x1，y1),B(x2，y2)，M(54,0)[来源:学科网ZXXK]5联立()222222112-42-202y=kx-1 xyykxkxk+=++=消去得：（）则2122212241222120kxxkkxxk+=+−=+∆∵112212121212125555(,)(,)(()4444525=-()++416MAxyMBxyMAMBxxyyxxxxyy=−=−∴•=−−+++uuuruuuruuuruuur）7=-167,=-16xRMAMB∴∈•uuuruuur对任意有为定值.【山东省青州市2014届高三2月月考理】21.（本小题满分12分）已知点21,FF分别为椭圆)0(1:2222=+babyaxC的左、右焦点，点P为椭圆上任意一点，P到焦点2F的距离的最大值为12+，且21FPF∆的最大面积为1.（I）求椭圆C的方程。（II）点M的坐标为)0,45(，过点2F且斜率为k的直线L与椭圆C相交于BA,两点。对于任意的MBMARk•∈,是否为定值？若是求出这个定值；若不是说明理由。【答案】21.解：(I)由题意可知：a+c=2+1，12×2c×b=1,有∵a2=b2+c2∴a2=2,b2=1,c2=1∴所求椭圆的方程为：2212xy+=…………….4分（II）设直线l的方程为：y=k（x-1）A(x1，y1),B(x2，y2)，M(54,0)联立()222222112-42-202y=kx-1 xyykxkxk+=++=消去得：（）6则2122212241222120kxxkkxxk+=+−=+∆112212121212125555(,)(,)(()4444525=-()++416MAxyMBxyMAMBxxyyxxxxyy=−=−∴•=−−+++uuuruuuruuuruuur）7=-167,=-16xRMAMB∴∈•uuuruuur对任意有为定值................12分【山东省青岛市2014届高三期末检测理】17.（本小题满分12分）已知函数221yaxax=++的定义域为R，解关于x的不等式220xxaa−−+.【答案】17.（本小题满分12分）解：因为函数221yaxax=++的定义域为R，所以2210axax++≥恒成立()∗…………………………………………………2分当0a=时，10≥恒成立,满足题意，…………………………………………3分当0a≠时，为满足()∗必有0a且2440aa∆=−≤，解得01a≤，综上可知：a的取值范围是01a≤≤……………………………………………6分原不等式可化为()()10xaxa−−−当102a≤时，不等式的解为：xa，或1xa−……………………………8分当12a=时，不等式的解为：12x≠…………………………………………9分当112a≤时，不等式的解为：1xa−，或xa…………………………11分综上，当102a≤时，不等式的解集为：{xxa或1}xa−当12a=时，不等式的解集为：1{}2xx≠当112a≤时，不等式的解集为：{1xxa−或}xa………………………12分【山东省莱芜市2014届高三上学期期末检测理】本小题满分12分）设椭圆E：)0(12222=+babxay的上焦点是1F，过点P（3，4）和1F作直线P1F交椭7圆于A、B两点，已知A(34,31).(1)求椭圆E的方程；(2)设点C是椭圆E上到直线P1F距离最远的点，求C点的坐标。【答案】解：（1）由A（34,31）和P（3，4）可求直线1PF的方程为：y=x+1……………1分令x=0，得y=1,即c=1……………2分椭圆E的焦点为)1,0(1F、)1,0(2−F，由椭圆的定义可知22)134