一元二次、三次方程的通解

-1-一元二次、三次方程的通解徐厚骏㈠一元二次方程的通解以下形式的一元二次方程我们很容易解x2-c=0其解为cx±=，现在要讨论标准型方程ax2+bx+c=0可改写为02=++acxabx……………⑴如果x1，x2为方程的两个根，有根与系数的关系：2121;)(xxacxxab=+−=我们对方程⑴进行变换，令abyx2−=…………………⑵代入方程⑴，则有0)2()2(2=+−+−acabyababy，整理后为0)(4122=+−acaby改写为22244aacby−=……………⑶显然，方程⑶的解为-2-2244aacby−±=再代入⑵式，得aacbbx242−±−=………………⑷这就是一元二次方程的通解公式。㈡一元三次方程的通解一元三次方程式：032213=+++axaxax………………⑸如果x1，x2，x3为方程的三个根，有根与系数的关系：a1=-(x1+x2+x3)a2=x1x2+x1x3+x2x3a3=-x1x2x3也可以求其通解令131ayx−=代入⑸，得03=++qpyy……………⑹其中：22131aap−=，3121327231aaaaq+−=，令;12−=i,2742;2742332332pqqBpqqA+−−=++−=则三个根分别是：-3-)(23)(21)(23)(21321BAiBAyBAiBAyBAy−−+−=−++−=+=我们令32427pq+=∆，称作判别式，显然⒈Δ0时有一个实根和一对复根；⒉Δ=0时有三个实根，特别当042732≠−=pq时，三个实根中有两个相等，0==qp，时有三重零根；⒊Δ0时有三个不等的实根。㈢一元四次方程的通解公式一元四次方程0234=++++edxcxbxx………………………………………⑺的根与下列两个方程式的根一致：0)48(2)48(0)48(2)48(222222=−+−−+−+−+=−+−++−+++cbydbyyxcbybxcbydbyyxcbybx……………⑻其中y为三次方程：0)4()82(482223=−−+−+−dbceyebdcyy……………………⑼的任一个实数根。下面列出四次方程的根与系数的关系：-4-43214324313214342324131214321)()(xxxxexxxxxxxxxdxxxxxxxxxxxxcxxxxb=++−=+++++=+++−=四次以上的方程没有公式解法，只能用分析方法求其近似值，这里不再多介绍。