高一数学三角函数基础题（4）两角和与差的正弦，余弦，正切，余切单元训练

教学内容：两角和与差的正弦、余弦、正切【典型例题分析】;2211BAcosAsinBAsin化简例.cos,tan,cos,的值求为锐角、已知31542思路分析：角度变换是三角恒等变换的首选方法，解答本例要注意对题中角间的关系进行分析，如（1）中有2A＋B＝（A＋B）＋A，（2）中有β＝α－（α－β），抓住了这些关系后，再恰当地运用公式，问题便不难解决了．.sinsinsinsinsinsincoscossinsinsincos2sin1:ABAABAAABAABAAABAABA原式解（2）解法一：.sin,cos,5354是锐角.,22为锐角、又可求出,31tan,1010sin,10103cos.105091010531010354sinsincoscoscoscos,54cos,:是锐角解法二.tan,sin4353.913314313143tantan1tantantantan又∵β是锐角，.10509cos点评：对角间的关系进行分析，主要是分析它们之间的和、差、倍、分关系，以便通过角度变换，减少不同角的个数．它实际上是一种基本量方法，即把题中某些角作为基本量，其他角用基本量表示出来，达到变形的目的．例2（1）如果方程102ccbxx的两根为tanα、tanβ，求22coscossinsincb的值；（2）在非直角△ABC中，求证：tanA＋tanB＋tanC＝tanA·tanB·tanC．思路分析：观察（1）中待求式特点，须先求出α＋β的一个三角函数值，由韦达定理和和角正切公式特点，可先求tan（α＋β）．根据（2）中恒等式的结构特点，可利用和角正切公式的变形tanα＋tanβ＝tan（α＋β）（1－tanαtanβ）将左边的正切和转化为右边的正切积．解：（1）由韦达定理，得.tantan,tantancb.1tantan1tantantancb.11111111tantantan11tantancos222222222222222cccbcbccccbcbbcccbcb原式（2）∵A＋B＋C＝π，∴A＋B＝π－C，.tantantantantantan1tantantantan1tantantantanCBACBACCBABACBA点评：含α、β两角的正切和与正切积的式子，用和、差角正切公式的变形比较容易处理．例3化简.8sin15sin7sin8sin15cos7sin1.50cos50sin2110tan3180sin50sin22思路分析：对于（1），三个角的关系非常明显，结合和、差角三角函数公式的特点，易进行角度变换7°＝15°－8°．对于（2），一方面应由诱导公式将80°角变换成10°的角，另一方面应将切化成弦．.32311345tan60tan145tan60tan4560tan15tan8cos15cos8cos15sin8sin15sin815cos8sin15cos815sin1:原式解.250cos50sin50cos250sin250cos50sin10sin310cos50sin250cos50sin10tan3110cos50sin222原式点评：数值角三角式的化简，在变形过程中应注意产生特殊角，并设法将非特殊的三角函数值约掉或消掉．例4已知△ABC中的三内角A、B、C成等差数列，且BCAcos2cos1cos1，求2cosCA的值．思路分析：本题中角间关系较为隐蔽，注意到260CAB，而22CACAA，22CACAC．取2CA作为基本量，就找到了解决本题的突破口．解：由已知，B＝60°，A＋C＝120°则设,2CA,6022CACAA.6022CACAC.43coscossin43cos41cossin23cos211sin23cos21160cos160cos1cos1cos1222CA故22cos243coscos2B依题设有,coscos:0232242整理得.coscos032222,cos0322.cos022.CAcos222故点评：本题实际上是把题设等式看成一个方程，上述解法体现了方程思想的应用．例5已知21coscos,31sinsin，α、β都是锐角，求tan（α－β）的值．21coscos31sinsin:由错解②①得4129122222coscoscoscossinsinsinsin361322cos②得①7259cos22又721703cos1sin2591703cossintan故点评：上述错解未挖掘出角的隐含条件．事实上，由于α、β为锐角，且031sinsin，可知α－β＜0，于是有02．591703:tan正解【同步达纲练习】1．选择题)(37sin83sin37cos7sin1的值为(A)23(B)21(C)21(D)23)(75tan75tan122的值为(A)32(B)33232C(D)332)(32323的值是则若x,xcosxcosxsinxsin(A)10(B)6(C)5(D)42．填空题.________3sin,2,23,51cos4则若._________15tan3115tan35._________sinsincoscos63．解答题.60tantan360tantan7化简.cos,,2,2,0,1411cos,71cos8的值求且已知.cos,0coscoscossinsinsin9的值求若.tan3tan2:,sin52sin10求证已知参考答案【同步达纲练习】1．（1）B；（2）C；（3）A．2．cosα．61；5；1062343．（7）3．提示：变形使用和角的正切公式．α60tantanα1tan60α60tantanα．αβαcos．利用cosβ218两式平方相加．　cosγ,cosβcosαsinγ,sinβ．sinα219（10）sin5sinsin52sin3tanα．βα2tansinαβα3coscosαβα2sinsinαβα5coscosαβα5sinsinαβαcoscosαβαsin