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2015-2016学年山西省运城市高三（上）期末数学试卷（理科）一、选择题1．复数为纯虚数，则实数a=（）A．﹣2B．﹣C．2D．2．“不等式x2﹣x+m＞0在R上恒成立”的一个必要不充分条件是（）A．mB．0＜m＜1C．m＞0D．m＞13．下列四个函数中，在（0，+∞）上为增函数的是（）A．f（x）=3﹣xB．f（x）=﹣C．f（x）=x2﹣3xD．f（x）=﹣|x|4．阅读如图程序框图，其中n0∈N．若输出的结果中，只有三个自然数，则输入的自然数n0的所有可能的值为（）A．2，3，4B．2C．2，3D．3，45．设函数f（x）=，则满足f（x）≤2的x的取值范围是（）A．[﹣1，2]B．[0，2]C．[1，+∞）D．[0，+∞）6．某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是2，则正（主）视图的面积等于（）A．2B．C．D．37．（x+）（2x﹣）5的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中含x2项为（）A．0B．﹣80x2C．80x2D．160x28．已知两点A（1，0），B（1，），O为坐标原点，点C在第二象限，且∠AOC=120°，设=﹣2，（λ∈R），则λ等于（）A．﹣1B．2C．1D．﹣29．已知函数f（x）=sinωx+cosωx（ω＞0）在（，π）上单调递减，则ω的取值范围是（）A．[，]B．[，]C．（0，]D．（0，2]10．已知三棱锥S﹣ABC的所有顶点都在球O的球面上，SA⊥平面ABC，，AB=1，AC=2，∠BAC=60°，则球O的表面积为（）A．4πB．12πC．16πD．64π11．已知F1，F2分别是双曲线﹣=1的左、右焦点，过F1的直线l与双曲线的左、右两支分别交于A、B两点．若△ABF2是等边三角形，则该双曲线的离心率为（）A．2B．C．D．12．已知函数f（x）=x3﹣3x，过点A（1，m）（m≠﹣2）可作曲线y=f（x）的三条切线，则m的取值范围（）A．（﹣3，﹣2）B．（﹣2，3）C．（﹣2，﹣1）D．（﹣1，1）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．若抛物线y2=4x上一点M到焦点F的距离为5，则点M的横坐标为．14．袋中有形状、大小都相同的5只球，其中1只白球，2只红球，2只黄球，从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为．15．x，y满足约束条件，若z=y﹣ax取得最大值的最优解不唯一，则实数a的值为．16．若tanα=3tan37°，则的值是．三、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程）.17．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，公差d=2，S10=120．（1）求an；（2）若bn=，求数列{bn}的前n项和为Tn．18．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若B=，且a2﹣b2﹣c2=﹣bc（1）求cosC的值（2）若a=5，求△ABC的面积．19．某地区2007年至2013年农村居民家庭人均纯收入y（单位：千元）的数据如表：年份2007200820092010201120122013年份代号t1234567人均纯收入y2.93.33.64.44.85.25.9（Ⅰ）求y关于t的线性回归方程；（Ⅱ）利用（Ⅰ）中的回归方程，分析2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2017年农村居民家庭人均纯收入．附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：=，=﹣．20．如图所示，四边形ABCD是边长为1的正方形，MD⊥平面ABCD，NB⊥平面ABCD且MD=NB=1，E为BC的中点（1）求异面直线NE与AM所成角的余弦值（2）在线段AN上是否存在点F，使得FE与平面AMN所成角为30°，若存在，求线段AF的长；若不存在，请说明理由．21．已知椭圆C的左、右焦点分别为F1，F2，椭圆的离心率为，且椭圆经过点．（1）求椭圆C的标准方程；（2）线段PQ是椭圆过点F2的弦，且，求△PF1Q内切圆面积最大时实数λ的值．22．已知函数f（x）=（2﹣a）x﹣2lnx+a﹣2，g（x）=xe1﹣x（1）若函数f（x）在区间（0，）无零点，求实数a的最小值（2）若对任意给定的x0∈（0，e]，方程f（x）=g（x0）在（0，e]上总存在两个不等的实根，求实数a的取值范围．2015-2016学年山西省运城市高三（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题1．复数为纯虚数，则实数a=（）A．﹣2B．﹣C．2D．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法则、纯虚数的定义即可得出．【解答】解：∵复数==为纯虚数，∴2a﹣1=0，2+a≠0，解得a=．故选：D．2．“不等式x2﹣x+m＞0在R上恒成立”的一个必要不充分条件是（）A．mB．0＜m＜1C．m＞0D．m＞1【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据“不等式x2﹣x+m＞0在R上恒成立”，令f（x）=x2﹣x+m，开口向上，根据判别式△＜0，求出m的范围，根据充分必要条件的定义，进行求解；【解答】解：∵“不等式x2﹣x+m＞0在R上恒成立”，∴△=（﹣1）2﹣4m＜0，解得m＞，A、A是充要条件，故A错误；B、因为m＞推不出0＜m＜1，故B错误；C、∵m＞⇒m＞0，反之不能推出，故C正确；D、∵m＞1⇒m＞，所以m＞1是“不等式x2﹣x+m＞0在R上恒成立”的充分不必要条件，故D错误；故选C；3．下列四个函数中，在（0，+∞）上为增函数的是（）A．f（x）=3﹣xB．f（x）=﹣C．f（x）=x2﹣3xD．f（x）=﹣|x|【考点】函数单调性的判断与证明．【分析】根据一次函数、二次函数及增函数的定义便可判断每个选项函数在（0，+∞）上的单调性，从而找出正确选项．【解答】解：A．f（x）=3﹣x在（0，+∞）上为减函数，∴该选项错误；B．x∈（0，+∞），x增大时，减小，﹣增大，即f（x）增大；∴在（0，+∞）上为增函数，∴该选项正确；C．f（x）=x2﹣3x的对称轴为x=，∴x在（0，）上单调递减；∴该函数在（0，+∞）上不是增函数，∴该选项错误；D．x＞0时，f（x）=﹣|x|=﹣x；∴f（x）在（0，+∞）上为减函数，∴该选项错误．故选：B．4．阅读如图程序框图，其中n0∈N．若输出的结果中，只有三个自然数，则输入的自然数n0的所有可能的值为（）A．2，3，4B．2C．2，3D．3，4【考点】程序框图．【分析】根据程序框图，理解程序框图的功能进行判断即可．【解答】解：若m=∈N，则m=10，5，4，2，若n0=1，则n从2开始，此时=10，=5，=4，=2，输，4个整数，满足条件，若n0=2，则n从3开始，此时=5，=4，=2，输出3个整数，满足条件，若n0=3，则n从4开始，此时=5，=4，=2，输出3个整数，满足条件，若n0=4，则n从5开始，此时=4，=2，输出2个整数，不满足条件，故输入的自然数n0的所有可能的值为2，3，故选：C．5．设函数f（x）=，则满足f（x）≤2的x的取值范围是（）A．[﹣1，2]B．[0，2]C．[1，+∞）D．[0，+∞）【考点】对数函数的单调性与特殊点．【分析】分类讨论：①当x≤1时；②当x＞1时，再按照指数不等式和对数不等式求解，最后求出它们的并集即可．【解答】解：当x≤1时，21﹣x≤2的可变形为1﹣x≤1，x≥0，∴0≤x≤1．当x＞1时，1﹣log2x≤2的可变形为x≥，∴x≥1，故答案为[0，+∞）．故选D．6．某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是2，则正（主）视图的面积等于（）A．2B．C．D．3【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图知几何体为一四棱锥，且四棱锥的高为x，底面是直角梯形且自己梯形的两底边分别为1，2，高为2，根据几何体的体积是2求出x，再根据正视图为直角三角形求出其面积．【解答】解：由三视图知几何体为一四棱锥，且四棱锥的高为x，底面是直角梯形且自己梯形的两底边分别为1，2，高为2，∴几何体的体积V=××2×x=2⇒x=x=2．∴正（主）视图的面积S=×2×2=2．故选A．7．（x+）（2x﹣）5的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中含x2项为（）A．0B．﹣80x2C．80x2D．160x2【考点】二项式系数的性质．【分析】由于二项式展开式中各项的系数的和为2，故可以令x=1，建立a的方程，解出a的值，然后写出（2x﹣）5的展开式的通项，进一步求得展开式中含x2项．【解答】解：令x=1，则有1+a=2，得a=1，故二项式为（x+）（2x﹣）5，（2x﹣）5的展开式的通项为=，则展开式（x+）（2x﹣）5中含x2项为．故选：A．8．已知两点A（1，0），B（1，），O为坐标原点，点C在第二象限，且∠AOC=120°，设=﹣2，（λ∈R），则λ等于（）A．﹣1B．2C．1D．﹣2【考点】平面向量的基本定理及其意义．【分析】根据已知条件可以求出C点坐标C（），再根据∠AOC=120°，便有tan120°==，所以解得λ=1．【解答】解：；即，又∠AOC=120°所以：，解得λ=1．故选C．9．已知函数f（x）=sinωx+cosωx（ω＞0）在（，π）上单调递减，则ω的取值范围是（）A．[，]B．[，]C．（0，]D．（0，2]【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．【分析】求出f（x）的单调减区间A，令（，π）⊆A，解出ω的范围．【解答】解：f（x）=sin（ωx+），令≤≤，解得≤x≤，k∈Z．∵函数f（x）=sinωx+cosωx（ω＞0）在（，π）上单调递减，∴，解得≤ω≤+2k，k∈Z．∴当k=0时，≤ω≤．故选A．10．已知三棱锥S﹣ABC的所有顶点都在球O的球面上，SA⊥平面ABC，，AB=1，AC=2，∠BAC=60°，则球O的表面积为（）A．4πB．12πC．16πD．64π【考点】球的体积和表面积．【分析】由三棱锥S﹣ABC的所有顶点都在球O的球面上，SA⊥平面ABC，，AB=1，AC=2，∠BAC=60°，知BC=，∠ABC=90°．故△ABC截球O所得的圆O′的半径r==1，由此能求出球O的半径，从而能求出球O的表面积．【解答】解：如图，三棱锥S﹣ABC的所有顶点都在球O的球面上，∵SA⊥平面ABC，，AB=1，AC=2，∠BAC=60°，∴BC==，∴∠ABC=90°．∴△ABC截球O所得的圆O′的半径r==1，∴球O的半径R==2，∴球O的表面积S=4πR2=16π．故选C．．11．已知F1，F2分别是双曲线﹣=1的左、右焦点，过F1的直线l与双曲线的左、右两支分别交于A、B两点．若△ABF2是等边三角形，则该双曲线的离心率为（）A．2B．C．D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】根据双曲线的定义算出△AF1F2中，|AF1|=2a，|AF2|=4a，由△ABF2是等边三角形得∠F1AF2=120°，利用余弦定理算出c=a，结合双曲线离心率公式即可算出双曲线C的离心率．【解答】解：根据双曲线的定义，可得|BF1|﹣|BF2|=2a，∵△ABF2是等边三角形，即|BF2|=|AB|∴|BF1|﹣|BF2|=2a，即|BF1|﹣|AB|=|AF1|=2a又∵|AF2|﹣|AF1|=2a，∴|AF2|=|AF1|+2a=4a，∵△AF1F2中，|AF1|=2a，|AF2|=4a，∠F1AF2=120°∴|F1F2|2=|AF1|2+|AF2|2﹣2|AF1|•|AF2|cos120°即4c2=4a2+16a2﹣2×2a×4a×（﹣）=28a2，解之得c=a，由此可得双曲线C的离心率e==．故选：B．12．已知函数f（x）=x3﹣3x，过点A（1，m）（m≠﹣2）可作曲线y=f（x）的三条切线，则m的取值范围（）A．（﹣3，﹣2）B．（﹣2，3）C．（﹣2，﹣1）D．（﹣1，1）【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．【分析】先将过点A（1，m）（m≠﹣2）可作曲线y=f（x）的三条切线转化为：方程2x3﹣3x2+m+3=