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课时提升作业(十七)抛物线及其标准方程(30分钟50分)一、选择题(每小题3分,共18分)1.(2014·长春高二检测)抛物线y=2x2的焦点坐标是()A.(1,0)B.C.D.【解析】选D.由y=2x2,得x2=y,所以p=,故焦点坐标为.2.(2014·重庆高二检测)抛物线y2=x的焦点到准线的距离为()A.B.C.D.1【解析】选B.由抛物线的方程y2=x,故p=,所以焦点到准线的距离为.【变式训练】(2014·太原高二检测)抛物线y=ax2的准线方程是y=1,则a的值为()A.B.-C.4D.-4【解析】选B.由y=ax2,得x2=y,故准线方程为y=-,所以-=1,得a=-.3.(2013·四川高考)抛物线y2=4x的焦点到双曲线x2-=1的渐近线的距离是()A.B.C.1D.【解题指南】先求得抛物线的焦点坐标,然后求得双曲线的渐近线方程,利用点到直线的距离公式进行求解即可.【解析】选B.抛物线y2=4x的焦点是(1,0),双曲线x2-=1的一条渐近线方程为x-y=0,根据点到直线的距离公式可得d=,故选B.【变式训练】(2013·四川高考)抛物线y2=8x的焦点到直线x-y=0的距离是()A.2B.2C.D.1【解析】选D.抛物线y2=8x的焦点为(2,0),根据点到直线的距离公式可得d==1,故选D.4.在同一坐标系中,方程a2x2+b2y2=1与ax+by2=0(ab0)的曲线大致是()【解析】选D.a2x2+b2y2=1,可化为+=1,因为ab0,所以,其表示焦点在y轴上的椭圆;而ax+by2=0可化为y2=-x,其表示开口向左的抛物线,故应选D.5.(2014·肇庆高二检测)已知M是抛物线y2=2px(p0)上的点,若M到此抛物线的准线和对称轴的距离分别为5和4,则点M的横坐标为()A.1B.1或4C.1或5D.4或5【解析】选B.因为点M到对称轴的距离为4,所以点M的坐标可设为(x,4)(或(x,-4)),又因为M到准线的距离为5,所以解得或6.(2014·白山高二检测)当a为任意实数时,直线(2a+3)x+y-4a+2=0恒过定点P,则过点P的抛物线的标准方程是()A.x2=32y或y2=-xB.x2=-32y或y2=xC.y2=32x或x2=-yD.y2=-32x或x2=y【解析】选C.把直线方程(2a+3)x+y-4a+2=0转化为(3x+y+2)+a(2x-4)=0,由得所以定点P的坐标为(2,-8),所以过点P的抛物线的标准方程是y2=32x或x2=-y.二、填空题(每小题4分,共12分)7.(2014·邯郸高二检测)在抛物线y2=2px(p0)上,横坐标为4的点到焦点的距离为5,则p的值是___________.【解析】由抛物线的定义知4+=5,所以得p=2.答案:28.(2014·陕西高考)抛物线y2=4x的准线方程为.【解题指南】根据抛物线y2=2px的准线方程为x=-可以得到所求准线方程.【解析】根据抛物线的几何性质得抛物线y2=4x的准线方程为x=-1.答案:x=-19.(2012·陕西高考)如图是抛物线形拱桥,当水面在l时,拱顶离水面2米,水面宽4米,水位下降1米后,水面宽米.【解题指南】建立平面直角坐标系,求出抛物线方程,根据方程求解.【解析】建立适当的直角坐标系,如图所示,设抛物线方程为x2=-2py(p0),则点(2,-2)在此抛物线上,代入可求出抛物线的方程是x2=-2y,当y=-3时,x2=-2×(-3)=6,所以x=±,水面宽是2米.答案:2三、解答题(每小题10分,共20分)10.已知抛物线的顶点在原点,它的准线过-=1的左焦点,而且与x轴垂直,又抛物线与此双曲线交于点(,),求抛物线和双曲线的方程.【解析】设抛物线方程为:y2=2px(p0),将点(,)代入方程得p=2,所以抛物线方程为y2=4x.准线方程为x=-1,由此知道双曲线方程中:c=1;焦点为(-1,0),(1,0),点(,)到两焦点距离之差为2a=1,所以双曲线的方程为-=1.11.(2014·兰州高二检测)设抛物线C:x2=2py(p0)的焦点为F,准线为l,A∈C,已知以F为圆心,FA为半径的圆交l于B,D两点.若∠BFD=90°,△ABD的面积为4,求p的值及圆F的方程.【解析】因为以F为圆心,FA为半径的圆交l于B,D两点,所以△BFD为等腰直角三角形,故斜边|BD|=2p,又点A到准线l的距离d=|FA|=|FB|=p,所以S△ABD=4=|BD|×d=×2p×p,所以p=2.所以圆F的圆心为(0,1),半径r=|FA|=2,圆F的方程为x2+(y-1)2=8.(30分钟50分)一、选择题(每小题4分,共16分)1.点P到点F(4,0)的距离比它到直线l:x=-6的距离小2,则点P的轨迹方程为()A.y2=xB.y2=xC.y2=16xD.y2=4x【解析】选C.依题意,点P到点F(4,0)的距离等于点P到x=-4的距离,故P点的轨迹是以F(4,0)为焦点,x=-4为准线的抛物线,且=4,焦点在x轴的正半轴上,所以方程为y2=16x.2.(2014·长春高二检测)已知F是抛物线y2=8x的焦点,A,B是该抛物线上的两点,|AF|+|BF|=12,则线段AB中点到y轴的距离为()A.16B.6C.8D.4【解析】选D.设A,B到准线的距离为d1,d2,则由抛物线的定义得,d1+d2=12,所以线段AB中点到准线的距离为6,所以线段AB中点到y轴的距离为6-2=4.3.(2013·天津高考)已知双曲线-=1(a0,b0)的两条渐近线与抛物线y2=2px(p0)的准线分别交于A,B两点,O为坐标原点.若双曲线的离心率为2,△AOB的面积为,则p=()A.1B.C.2D.3【解题指南】画出图示,确定抛物线的准线与双曲线的渐近线的交点坐标,表示出△AOB的面积,然后求解.【解析】选C.如图,A,B两点是双曲线的渐近线与抛物线y2=2px(p0)的准线的交点,其坐标分别为A(-,),B(-,-),故△AOB的面积为=,又因为双曲线的离心率为2,即c=2a,由b2=c2-a2得b=a,所以p=2.【变式训练】(2014·重庆高二检测)已知抛物线y2=2px(p0)的焦点为F,P,Q为抛物线上两点,若△PQF为边长为2的正三角形,则p的值是()A.2±B.3±C.±1D.2±1【解析】选A.由题意得F,设P,Q(y1≠y2).由抛物线定义及|PF|=|QF|,得+=+,所以=,所以y1=-y2.又|PQ|=2,因此|y1|=|y2|=1,所以点P.又点P在抛物线上,于是由抛物线的定义得|PF|=+=2,所以得p=2±.4.(2013·新课标全国卷Ⅰ)O为坐标原点,F为抛物线C:y2=4x的焦点,P为C上一点,若|PF|=4,则△POF的面积为()A.2B.2C.2D.4【解析】选C.设P(x1,y1),则|PF|=x1+=x1+=4,解得x1=3.因为P为C上一点,则=4x1=4×3=24,得|y1|=2,所以S△POF=××2=2.二、填空题(每小题5分,共10分)5.(2013·江西高考)抛物线x2=2py(p0)的焦点为F,其准线与双曲线-=1相交于A,B两点,若△ABF为等边三角形,则p=.【解题指南】A,B,F三点坐标都能与p建立起联系,分析可知△ABF的高为p,可构造p的方程解决.【解析】由题意知△ABF的高为p,将y=-代入双曲线方程得A,B两点的横坐标为x=±,因为△ABF为等边三角形,所以=tan60°,从而解得p2=36,即p=6.答案:66.已知定点A(0,1),直线l1:y=-1,记过点A且与直线l1相切的圆的圆心为点C.则动点C的轨迹E的方程为.【解析】根据条件可知,动圆的圆心C到点(0,1)的距离与到直线y=-1的距离相等,所以满足抛物线的定义,这里=1,焦点为(0,1),所以动点C的轨迹方程为x2=4y.答案:x2=4y三、解答题(每小题12分,共24分)7.(2013·福建高考)如图,在正方形OABC中,O为坐标原点,点A的坐标为,点C的坐标为,分别将线段OA和AB十等分,分点分别记为A1,A2,…,A9和B1,B2,…,B9,连接OBi,过Ai作x轴的垂线与OBi交于点.求证:点都在同一条抛物线上,并求抛物线E的方程.【解析】依题意,过Ai(i∈N*,1≤i≤9)且与x轴垂直的直线方程为x=i,因为Bi(10,i),所以直线OBi的方程为y=x,设Pi坐标为(x,y),由得:y=x2,即x2=10y,所以Pi(i∈N*,1≤i≤9)都在同一条抛物线上,且抛物线E的方程为x2=10y.8.已知抛物线C的顶点在原点,焦点F在x轴的正半轴上,设A,B是抛物线C上的两个动点(AB不垂直于x轴),且|AF|+|BF|=8,线段AB的垂直平分线恒经过定点Q(6,0),求抛物线的方程.【解析】设抛物线的方程为y2=2px(p0),则其准线为x=-.设A(x1,y1),B(x2,y2),因为|AF|+|BF|=8,所以x1++x2+=8,即x1+x2=8-p.因为Q(6,0)在线段AB的垂直平分线上,所以|QA|=|QB|,即=,又=2px1,=2px2,所以(x1-x2)(x1+x2-12+2p)=0,因为AB与x轴不垂直,所以x1≠x2.故x1+x2-12+2p=8-p-12+2p=0,即p=4.从而抛物线的方程为y2=8x.