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课时提升作业(十一)椭圆及其标准方程(30分钟50分)一、选择题(每小题3分,共18分)1.(2014·南充高二检测)设P是椭圆+=1上的点.若F1,F2是椭圆的两个焦点,则|PF1|+|PF2|等于()A.4B.5C.8D.10【解析】选D.由椭圆的方程+=1得2a=10.所以|PF1|+|PF2|=2a=10.2.(2014·广州高二检测)设F1(-4,0),F2(4,0)为定点,动点M满足|MF1|+|MF2|=8,则动点M的轨迹是()A.椭圆B.直线C.圆D.线段【解析】选D.因为|MF1|+|MF2|=|F1F2|,所以动点M的轨迹是线段.3.已知椭圆+=1的一个焦点为(2,0),则椭圆的方程是()A.+=1B.+=1C.x2+=1D.+=1【解析】选D.由题意知,椭圆焦点在x轴上,且c=2,所以a2=2+4=6,因此椭圆方程为+=1,故选D.4.(2014·济宁高二检测)已知点P是椭圆:+=1(x≠0,y≠0)上的动点,F1,F2是椭圆的两个焦点,O是坐标原点,若M是∠F1PF2的角平分线上一点,且·=0,则|OM|的取值范围是()A.[0,3)B.(0,2)C.[2,3)D.[0,4]【解析】选B.由椭圆+=1的方程可得,c=2.由题意可得,当点P在椭圆与y轴交点处时,点M与原点O重合,此时|OM|取最小值0.当点P在椭圆与x轴交点处时,点M与焦点重合,此时|OM|趋于最大值c=2.因x≠0,y≠0,所以|OM|的取值范围是(0,2).5.(2014·南昌高二检测)与椭圆9x2+4y2=36有相同焦点,且b=2的椭圆方程是()A.+=1B.+=1C.+=1D.+=1【解析】选D.由9x2+4y2=36,得+=1,所以=9,=4,得c1=,所以焦点坐标为(0,),(0,-).因为所求椭圆与9x2+4y2=36有相同焦点,设方程为+=1,则a2=b2+c2=(2)2+()2=25,所以所求方程为+=1.【一解多解】由9x2+4y2=36,得+=1,设与9x2+4y2=36共焦点的椭圆的方程为:+=1.由4+k=(2)2,得k=16.所以所求椭圆方程为+=1.6.已知椭圆+y2=1的焦点为F1,F2,点M在该椭圆上,且·=0,则点M到x轴的距离为()A.B.C.D.【解题指南】由·=0知△MF1F2为直角三角形,可根据面积求M到x轴的距离.【解析】选C.由·=0,得MF1⊥MF2,可设||=m,||=n,在△F1MF2中,由m2+n2=4c2得(m+n)2-2mn=4c2,根据椭圆的定义有m+n=2a,所以2mn=4a2-4c2,故mn=2b2,即mn=2,所以=·mn=1,设点M到x轴的距离为h,则×|F1F2|×h=1,又|F1F2|=2,故h=,故选C.二、填空题(每小题4分,共12分)7.设P是椭圆+=1上的点,F1,F2分别为椭圆的左、右焦点,则|PF1|·|PF2|的最大值是.【解析】由题意知:|PF1|+|PF2|=2a=8,所以|PF1|·|PF2|≤==16,当且仅当|PF1|=|PF2|时取“=”号,故|PF1|·|PF2|的最大值是16.答案:168.(2014·双鸭山高二检测)已知F1,F2是椭圆C:+=1(ab0)的两个焦点,P为椭圆C上的一点,且⊥,若△PF1F2的面积为9,则b=_________【解析】因为⊥,所以PF1⊥PF2,因此|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2.即(|PF1|+|PF2|)2-2|PF1|·|PF2|=|F1F2|2,所以(2a)2-2|PF1|·|PF2|=(2c)2,因此|PF1|·|PF2|=2b2.由=|PF1|·|PF2|=b2=9,所以b=3.答案:3【变式训练】(2013·德州高二检测)若F1,F2是椭圆+=1的两个焦点,A为椭圆上一点,且∠F1AF2=45°,则△AF1F2的面积为__________.【解析】如图所示,|F1F2|=2,|AF1|+|AF2|=6,由|AF1|+|AF2|=6,得|AF1|2+|AF2|2+2|AF1||AF2|=36.又在△AF1F2中,|AF1|2+|AF2|2-|F1F2|2=2|AF1||AF2|cos45°,所以36-2|AF1||AF2|-8=|AF1||AF2|,所以|AF1||AF2|==14(2-),所以=|AF1||AF2|sin45°=×14(2-)×=7(-1).答案:7(-1)9.(2014·哈尔滨高二检测)已知椭圆+y2=1的焦点为F1,F2,设P(x0,y0)为椭圆上一点,当∠F1PF2为直角时,点P的横坐标x0=.【解析】由椭圆的方程为+y2=1,得c=2,所以F1(-2,0),F2(2,0),=(-2-x0,-y0),=(2-x0,-y0).因为∠F1PF2为直角,所以·=0,即+=4,①又+=1,②①②联立消去得=,所以x0=±.答案:±【举一反三】若把条件“当∠F1PF2为直角时”改为|PF1|=+,则∠F1PF2=.【解析】由椭圆的方程为+y2=1,得2a=2,2c=4,因为|PF1|+|PF2|=2a=2,所以|PF2|=-,而|PF1|2+|PF2|2=(+)2+(-)2=16=|F1F2|2,所以∠F1PF2为直角.答案:90°三、解答题(每小题10分,共20分)10.(2014·石家庄高二检测)如图,设P是圆x2+y2=25上的动点,点D是P在x轴上投影,M为PD上一点,且|MD|=|PD|.当P在圆上运动时,求点M的轨迹C的方程.【解题指南】设M(x,y),由等式|MD|=|PD|坐标化,即得轨迹方程.【解析】设点M的坐标是(x,y),P的坐标是(xP,yP),因为点D是P在x轴上投影,M为PD上一点,且|MD|=|PD|,所以xP=x,且yP=y.因为P在圆x2+y2=25上,所以x2+=25,整理得+=1,即C的方程是+=1.11.已知点P(6,8)是椭圆+=1(ab0)上一点,F1,F2为椭圆的两焦点,若·=0.试求(1)椭圆的方程.(2)求sin∠PF1F2的值.【解析】(1)因为·=0,所以-(c+6)(c-6)+64=0,所以c=10,所以F1(-10,0),F2(10,0),所以2a=|PF1|+|PF2|=+=12,所以a=6,b2=80.所以椭圆方程为+=1.(2)因为PF1⊥PF2,所以=|PF1|·|PF2|=|F1F2|·yP=80,所以|PF1|·|PF2|=160,又|PF1|+|PF2|=12,所以|PF2|=4,所以sin∠PF1F2===.(30分钟50分)一、选择题(每小题4分,共16分)1.(2014·齐齐哈尔高二检测)对于常数m,n,“mn0”是“方程mx2+ny2=1的曲线是椭圆”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【解析】选B.当m0且n0时,mn0,但方程mx2+ny2=1不表示椭圆;当方程mx2+ny2=1的曲线是椭圆时,有能得出mn0,故选B.2.(2014·太原高二检测)已知F1(-1,0),F2(1,0)是椭圆C的两个焦点,过F2且垂直于x轴的直线交椭圆C于A,B两点,且|AB|=3,则椭圆C的方程为()A.+y2=1B.+=1C.+=1D.+=1【解析】选C.设椭圆的方程为+=1,令x=c,则y=±,由|AB|=3,得=3,①又a2-b2=c2=1,②联立①②得a2=4,b2=3.所以椭圆的方程为+=1.3.(2014·福州高二检测)椭圆+=1上一点A到焦点F的距离为2,B为AF的中点,O为坐标原点,则|OB|的值为()A.8B.4C.2D.【解析】选B.如图,设椭圆的另一个焦点为F′,则|AF|+|AF′|=10,又|AF|=2,所以|AF′|=8.因为B为AF的中点,O为F′F的中点,所以|OB|=|AF′|=4.4.(2014·唐山高二检测)已知椭圆C:+y2=1的焦点F(1,0),直线l:x=2,点A∈l,线段AF交C于点B,若=3,则||=()A.B.2C.D.3【解析】选C.设A(2,y0),B(x1,y1),=(1,y0),=(x1-1,y1),由=3,即(1,y0)=3(x1-1,y1),所以又点B在椭圆C上,所以+=1,解得y0=±1,所以A点坐标为(2,±1),所以||==.二、填空题(每小题5分,共10分)5.(2014·衡水高二检测)已知F1,F2分别为椭圆+=1的两个焦点,点P在椭圆上,若P,F1,F2是一个直角三角形的三个顶点,则△PF1F2的面积为__________.【解题指南】分别讨论以F1,F2,P为直角顶点,求出点P的坐标,进而求出△PF1F2的面积.【解析】依题意,可知当以F1或F2为三角形的直角顶点时,点P的坐标为,则点P到x轴的距离为,此时△PF1F2的面积为;当以点P为三角形的直角顶点时,点P的纵坐标的绝对值为3,舍去.故△PF1F2的面积为.答案:【误区警示】本题在讨论以P点为三角形的直角顶点时,求出P点的纵坐标为,而忽视P点在椭圆上,应满足yP≤3的限制,而得出面积为9的错误结论.【变式训练】(2014·温州高二检测)已知椭圆+=1的两个焦点是F1,F2,点P在该椭圆上,若|PF1|-|PF2|=2,则△PF1F2的面积是_______.【解析】由已知得|F1F2|=2c=2,|PF1|+|PF2|=4,所以得|PF1|=3,|PF2|=1,因此|PF2|2+|F1F2|2=|PF1|2,所以△PF1F2是直角三角形,所以=·|F1F2|·|PF2|=.答案:6.(2014·济南高二检测)若椭圆C1:+=1(a1b10)和椭圆C2:+=1(a2b20)的焦点相同且a1a2.给出如下四个结论:①椭圆C1和椭圆C2一定没有公共点;②;③-=-;④a1-a2b1-b2.其中,所有正确结论的序号是.【解析】由题意,-=-,因为a1a2,所以b1b2,所以①③正确;又-=-,a1b10,a2b20,所以④正确.答案:①③④三、解答题(每小题12分,共24分)7.(2014·天津高二检测)已知椭圆C:+=1(ab0)的左、右焦点分别为F1,F2,点E在椭圆C上,且EF1⊥F1F2,|EF1|=,|EF2|=,求椭圆C的方程.【解析】因为点E在椭圆C上,所以2a=|EF1|+|EF2|=+=6,即a=3.在Rt△EF1F2中,|F1F2|===2,所以椭圆C的半焦距c=.因为b===2,所以椭圆C的方程为+=1.8.(2014·南京高二检测)设F1,F2分别是椭圆+y2=1的两焦点,B为椭圆上的点且坐标为(0,-1).(1)若P是该椭圆上的一个动点,求||·||的最大值.(2)若C为椭圆上异于B的一点,且=λ,求λ的值.(3)设P是该椭圆上的一个动点,求△PBF1的周长的最大值.【解析】(1)因为椭圆的方程为+y2=1,所以a=2,b=1,c=,即|F1F2|=2,又因为|PF1|+|PF2|=2a=4,所以|PF1|·|PF2|≤==4,当且仅当|PF1|=|PF2|=2时取“=”,所以|PF1|·|PF2|的最大值为4,即||·||的最大值为4.(2)设C(x0,y0),B(0,-1),F1(-,0),由=λ得x0=,y0=-.又+=1,所以有λ2+6λ-7=0,解得λ=-7或λ=1,又与方向相反,故λ=1舍去.(3)因为|PF1|+|PB|=4-|PF2|+|PB|≤4+|BF2|,所以△PBF1的周长≤4+|BF2|+|BF1|≤8,所以当P点位于直线BF2与椭圆的交点处时,△PBF1周长最大,最大值为8.