3-1-3

3.1.3导数的几何意义双基达标（限时20分钟）1．已知曲线y＝12x2－2上一点P1，－32，则过点P的切线的倾斜角为()．A．30°B．45°C．135°D．165°解析∵y＝12x2－2，∴y′＝12（x＋Δx）2－2－12x2－2Δx＝12（Δx）2＋x·ΔxΔx＝x＋12Δx＝x.∴y′|x＝1＝1.∴点P1，－32处切线的斜率为1，则切线的倾斜角为45°.答案B2．已知曲线y＝2x3上一点A(1，2)，则A处的切线斜率等于()．A．2B．4C．6＋6Δx＋2(Δx)2D．6解析∵y＝2x3，∴y′＝ΔyΔx＝2（x＋Δx）3－2x3Δx＝2（Δx）3＋3x（Δx）2＋3x2ΔxΔx＝2[(Δx)2＋3xΔx＋3x2]＝6x2.∴y′|x＝1＝6.∴点A(1，2)处切线的斜率为6.答案D3．设f(x)存在导函数，且满足f（1）－f（1－2Δx）2Δx＝－1，则曲线y＝f(x)上点(1，f(1))处的切线斜率为()．A．2B．－1C．1D．－2解析f（1）－f（1－2Δx）2Δx＝f（1）－f（1－2Δx）2Δx＝f′(1)＝－1.答案B4．曲线y＝2x－x3在点(1，1)处的切线方程为________．解析求出y＝2x－x3在(1，1)处的斜率为－1，故方程为x＋y－2＝0.答案x＋y－2＝05．设f(x)为可导函数，且满足条件f（1）－f（1－x）2x＝－2，则曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线的斜率是________．解析由f（1）－f（1－x）2x＝－2，∴12f′(1)＝－2，f′(1)＝－4.答案－46．求过点P(－1，2)且与曲线y＝3x2－4x＋2在点M(1，1)处的切线平行的直线．解先求曲线y＝3x2－4x＋2在点M(1，1)处的斜率，k＝y′(1)＝3（1＋Δx）2－4（1＋Δx）＋2－3＋4－2Δx＝(3Δx＋2)＝2.设过点P(－1，2)且斜率为2的直线为l，则由点斜式：y－2＝2(x＋1)，化为一般式：2x－y＋4＝0.所以，所求直线方程为2x－y＋4＝0.综合提高（限时25分钟）7．设函数f(x)在x＝x0处的导数不存在，则曲线y＝f(x)()．A．在点(x0，f(x0))处的切线不存在B．在点(x0，f(x0))处的切线可能存在C．在点x0处不连续D．在x＝x0处极限不存在解析函数f(x)在x＝x0处的导数不存在，只能说明过点(x0，f(x0))的直线斜率不存在，此时直线与x轴垂直，所以在点(x0，f(x0))处的切线可能存在．答案B8．函数y＝－1x在12，－2处的切线方程是()．A．y＝4xB．y＝4x－4C．y＝4x＋4D．y＝2x－4解析∵y′＝－1x＋Δx＋1xΔx＝Δxx（x＋Δx）Δx＝1x2，∴f′12＝4，∴切线方程是y＋2＝4x－12，得y＝4x－4.答案B9．若曲线y＝2x2－4x＋p与直线y＝1相切，则p的值为________．解析设切点为(x0，1)，f′(x0)＝4x0－4，由题意知，4x0－4＝0，x0＝1，即切点为(1，1)，所以1＝2－4＋p，∴p＝3.答案310．已知曲线y＝1x－1上两点A2，－12，B2＋Δx，－12＋Δy，当Δx＝1时割线AB的斜率为________．解析∵Δy＝f(2＋Δx)－f(2)＝－Δx2（2＋Δx）＝－16，∴kAB＝ΔyΔx＝－16.答案－1611．曲线y＝x2－3x上的点P处的切线平行于x轴，求点P的坐标．解设P(x0，y0)，Δy＝(x＋Δx)2－3(x＋Δx)－(x2－3x)＝2x·Δx＋(Δx)2－3Δx，ΔyΔx＝2x·Δx＋（Δx）2－3ΔxΔx＝2x＋Δx－3.ΔyΔx＝(2x＋Δx－3)＝2x－3，∴y′|x＝x0＝2x0－3，令2x0－3＝0得x0＝32，代入曲线方程得y0＝－94，∴P32，－94.12．(创新拓展)已知抛物线y＝ax2＋bx＋c通过点P(1，1)，Q(2，－1)，且在点Q处与直线y＝x－3相切，求实数a、b、c的值．解∵曲线y＝ax2＋bx＋c过P(1，1)点，∴a＋b＋c＝1.①∵y′＝2ax＋b，∴y′|x＝2＝4a＋b，∴4a＋b＝1.②又曲线过Q(2，－1)点，∴4a＋2b＋c＝－1，③联立①②③解得a＝3，b＝－11，c＝9.