2-2-2

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2.2.2双曲线的简单几何性质双基达标(限时20分钟)1.双曲线mx2+y2=1的虚轴长是实轴长的2倍,则m的值为().A.-14B.-4C.4D.14解析由双曲线方程mx2+y2=1,知m0,则双曲线方程可化为y2-x2-1m=1,则a2=1,a=1,又虚轴长是实轴长的2倍,∴b=2,∴-1m=b2=4,∴m=-14,故选A.答案A2.双曲线3x2-y2=3的渐近线方程是().A.y=±3xB.y=±13xC.y=±3xD.y=±33x解析令x2-y23=0,则y=±3x.答案C3.已知中心在原点,对称轴为坐标轴且经过点P(1,3),离心率为2的双曲线的标准方程为().A.x24-y24=1B.y24-x24=1C.x28-y28=1D.y28-x28=1解析由离心率为2,∴e2=c2a2=a2+b2a2=1+b2a2=2,即a=b,∴双曲线为等轴双曲线,故设所求双曲线的标准方程为x2-y2=λ(λ≠0),又点P(1,3)在双曲线上,则λ=1-9=-8,∴所求双曲线的标准方程为y28-x28=1.故选D.答案D4.与双曲线x2-y24=1有共同的渐近线,且过点(2,2)的双曲线的标准方程是________.解析依题意,设双曲线的方程x2-y24=λ(λ≠0),将点(2,2)代入求得λ=3,所以所求双曲线的标准方程为x23-y212=1.答案x23-y212=15.双曲线x24+y2k=1的离心率e∈(1,2),则k的取值范围是________.解析双曲线方程可变为x24-y2-k=1,则a2=4,b2=-k,c2=4-k,e=ca=4-k2,又∵e∈(1,2),则14-k22,解得-12k0.答案(-12,0)6.求双曲线x2-y24=1的顶点坐标、焦点坐标、实半轴长、虚半轴长与渐近线方程.解把方程化为标准方程为x212-y222=1,由此可知实半轴长a=1,虚半轴长b=2,顶点坐标是(-1,0),(1,0),c=a2+b2=12+22=5,焦点的坐标是(-5,0),(5,0),渐近线方程为x1±y2=0,即y=±2x.综合提高(限时25分钟)7.在平面直角坐标系xOy中,双曲线的中心在坐标原点,焦点在y轴上,一条渐近线的方程为x-2y=0,则它的离心率为().A.5B.52C.3D.2解析由题意知,这条渐近线的斜率为12,即ab=12,而e=ca=1+ba2=1+22=5,故选A.答案A8.若0ka2,则双曲线x2a2-k-y2b2+k=1与x2a2-y2b2=1有().A.相同的虚轴B.相同的实轴C.相同的渐近线D.相同的焦点解析a2-k0,b2+k0,所以a2-k+b2+k=a2+b2=c2.所以两双曲线有相同的焦点.答案D9.若双曲线中心在原点,焦点在y轴,离心率e=135,则其渐近线方程为________.解析由已知设双曲线方程为y2a2-x2b2=1(a0,b0).由e=135,得e2=c2a2=a2+b2a2=1+b2a2=16925.∴b2a2=14425,则ba=125,∴渐近线方程为y=±abx=±512x.答案y=±512x10.过双曲线的一个焦点F2作垂直于实轴的弦PQ,点F1是另一个焦点,若∠PF1Q=90°,则双曲线的离心率等于________.解析设F1、F2分别是双曲线的左、右焦点,由题意,知在焦点三角形F1PF2中,|PF1|=22c,|PF2|=2c,又|PF1|-|PF2|=2a,故有e=2+1.答案2+111.已知双曲线3x2-y2=3,过P(2,1)点作一直线交双曲线于A、B两点.若P为AB的中点,(1)求直线AB的方程;(2)求弦AB的长.解(1)易知直线AB的斜率存在.设A(x1,y1)、B(x2,y2),代入双曲线方程3x2-y2=3,得3x21-y21=3,3x22-y22=3,两式相减得:3(x1-x2)(x1+x2)=(y1-y2)(y1+y2),即y1-y2x1-x2·y1+y2x1+x2=3.所以直线AB的斜率kAB=y1-y2x1-x2=3(x1+x2)y1+y2=3×x1+x22y1+y22=3×21=6.所以直线AB的方程为6x-y-11=0.(2)将y=6x-11代入3x2-y2=3,得33x2-132x+124=0.由弦长公式|AB|=(1+k2)|x1-x2|=(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]得:|AB|=(1+36)×1322-4·33·124332,所以|AB|=4332442.12.(创新拓展)已知点N(1,2),过点N的直线交双曲线x2-y22=1于A、B两点,且ON→=12(OA→+OB→).(1)求直线AB的方程;(2)若过点N的直线交双曲线于C、D两点,且CD→·AB→=0,那么A、B、C、D四点是否共圆?为什么?解(1)由题意知,直线AB的斜率存在.设直线AB:y=k(x-1)+2,代入x2-y22=1得(2-k2)x2-2k(2-k)x-(2-k)2-2=0.(*)设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1、x2是方程(*)的两根,∴2-k2≠0.且x1+x2=2k(2-k)2-k2.∵ON→=12(OA→+OB→),∴N是AB的中点,∴x1+x22=1,∴k(2-k)=-k2+2,k=1,∴直线AB的方程为y=x+1.(2)共圆.将k=1代入方程(*)得x2-2x-3=0,解得x=-1或x=3,∴A(-1,0),B(3,4).∵CD→·AB→=0,∴CD垂直AB,∴CD所在直线方程为y=-(x-1)+2,即y=3-x,代入双曲线方程整理得x2+6x-11=0,令C(x3,y3),D(x4,y4)及CD中点M(x0,y0)则x3+x4=-6,x3·x4=-11,∴x0=x3+x42=-3,y0=6,即M(-3,6).|CD|=1+k2|x3-x4|=1+k2(x3+x4)2-4x3x4=410,|MC|=|MD|=12|CD|=210,|MA|=|MB|=210,即A、B、C、D到M的距离相等,∴A、B、C、D四点共圆.

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