3-3-1

3．3导数在研究函数中的应用3．3．1函数的单调性与导数双基达标（限时20分钟）1．在下列结论中，正确的有()．(1)单调增函数的导数也是单调增函数；(2)单调减函数的导数也是单调减函数；(3)单调函数的导数也是单调函数；(4)导函数是单调的，则原函数也是单调的．A．0个B．2个C．3个D．4个解析分别举反例：(1)y＝lnx．(2)y＝1x(x0)．(3)y＝2x.(4)y＝x2，故选A.答案A2．函数y＝12x2－lnx的单调减区间是()．A．(0，1)B．(0，1)∪(－∞，－1)C．(－∞，1)D．(－∞，＋∞)解析∵y＝12x2－lnx的定义域为(0，＋∞)，∴y′＝x－1x，令y′0，即x－1x0，解得：0x1或x－1.又∵x0，∴0x1，故选A.答案A3．若函数f(x)＝x3－ax2－x＋6在(0，1)内单调递减，则实数a的取值范围是()．A．a≥1B．a＝1C．a≤1D．0a1解析∵f′(x)＝3x2－2ax－1，又f(x)在(0，1)内单调递减，∴不等式3x2－2ax－10在(0，1)内恒成立，∴f′(0)≤0，且f′(1)≤0，∴a≥1.答案A4．函数f(x)＝xlnx(x0)的单调递增区间是________．解析由f′(x)＝lnx＋x·1x＝lnx＋10，解得x1e.故f(x)的单调增区间是1e，＋∞.答案1e，＋∞5．若三次函数f(x)＝ax3＋x在区间(－∞，＋∞)内是增函数，则a的取值范围是________．解析f′(x)＝3ax2＋1，∴f(x)在R上为增函数，∴3ax2＋1≥0在R上恒成立．又a≠0，∴a0.答案(0，＋∞)6．已知x0，求证：exx＋1.证明不妨设f(x)＝ex－x－1，则f′(x)＝(ex)′－(x)′＝ex－1.∵x0，∴ex1，ex－10.∴f′(x)0，即f(x)在(0，＋∞)上是增函数．∴f(x)f(0)，即ex－x－1e0－1＝0.∴exx＋1.综合提高（限时25分钟）7．当x0时，f(x)＝x＋2x的单调递减区间是()．A．(2，＋∞)B．(0，2)C．(2，＋∞)D．(0，2)解析f′(x)＝1－2x2＝x2－2x2＝（x－2）（x＋2）x2.由f′(x)0且x0得0x2，故选D.答案D8．已知函数f(x)的导函数f′(x)＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则f(x)的图象可能是()．解析当x0时，由导函数f′(x)＝ax2＋bx＋c0，知相应的函数f(x)在该区间上单调递减；当x0时，由导函数f′(x)＝ax2＋bx＋c的图象可知，导数在区间(0，x1)内的值是大于0的，则在此区间内函数f(x)单调递增．只有D选项满足题意．答案D9．使y＝sinx＋ax为R上的增函数的a的范围是________．解析∵y′＝cosx＋a0，∴a－cosx对x∈R恒成立．∴a1.答案(1，＋∞)10．已知f(x)＝x2＋2xf′(1)，则f′(0)＝________．解析∵f(x)＝x2＋2xf′(1)，∴f′(x)＝2x＋2f′(1)，∴f′(1)＝2×1＋2f′(1)，∴f′(1)＝－2.∴f′(0)＝2×0＋2f′(1)＝2×(－2)＝－4.答案－411．已知函数f(x)＝x3＋ax＋8的单调递减区间为(－5，5)，求函数f(x)的递增区间．解f′(x)＝3x2＋a.∵(－5，5)是函数y＝f(x)的单调递减区间，则－5，5是方程3x2＋a＝0的根，∴a＝－75.此时f′(x)＝3x2－75，令f′(x)0，则3x2－750，解得x5或x－5，∴函数y＝f(x)的单调递增区间为(－∞，－5)和(5，＋∞)．12．(创新拓展)判断函数f(x)＝(a＋1)lnx＋ax2＋1的单调性．解由题意知f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝a＋1x＋2ax＝2ax2＋a＋1x.①当a≥0时，f′(x)0，故f(x)在(0，＋∞)上单调递增．②当a≤－1时，f′(x)0，故f(x)在(0，＋∞)上单调递减．③当－1a0时，令f′(x)＝0，解得x＝－a＋12a，则当x∈0，－a＋12a时，f′(x)0；当x∈－a＋12a，＋∞时，f′(x)0.故f(x)在0，－a＋12a上单调递增，在－a＋12a，＋∞上单调递减．综上，当a≥0时，f(x)在(0，＋∞)上单调递增；当a≤－1时，f(x)在(0，＋∞)上单调递减；当－1a0时，f(x)在0，－a＋12a上单调递增，在－a＋12a，＋∞上单调递减.