3-3-2

3.3.2函数的极值与导数双基达标（限时20分钟）1．下列函数存在极值的是()．A．y＝1xB．y＝x－exC．y＝x3＋x2＋2x－3D．y＝x3解析A中f′(x)＝－1x2，令f′(x)＝0无解，且f(x)为双曲函数，∴A中函数无极值．B中f′(x)＝1－ex，令f′(x)＝0可得x＝0.当x0时，f′(x)0；当x0时，f′(x)0.∴y＝f(x)在x＝0处取极大值，f(0)＝－1.C中f′(x)＝3x2＋2x＋2，Δ＝4－24＝－200.∴y＝f(x)无极值，D也无极值．故选B.答案B2．函数y＝1＋3x－x3有()．A．极小值－1，极大值1B．极小值－2，极大值3C．极小值－2，极大值2D．极小值－1，极大值3解析f′(x)＝－3x2＋3，由f′(x)＝0可得x1＝1，x2＝－1.由极值的判定方法知f(x)的极大值为f(1)＝3，极小值为f(－1)＝1－3＋1＝－1，故选D.答案D3．函数f(x)的定义域为R，导函数f′(x)的图象如图所示，则函数f(x)()．A．无极大值点，有四个极小值点B．有三个极大值点，两个极小值点C．有两个极大值点，两个极小值点D．有四个极大值点，无极小值点解析f′(x)的符号由正变负，则f(x0)是极大值，f′(x)的符号由负变正，则f(x0)是极小值，由图象易知有两个极大值点，两个极小值点．答案C4．设方程x3－3x＝k有3个不等的实根，则常数k的取值范围是________．解析设f(x)＝x3－3x－k，则f′(x)＝3x2－3.令f′(x)＝0得x＝±1，且f(1)＝－2－k，f(－1)＝2－k，又f(x)的图象与x轴有3个交点，故2－k0，－2－k0，∴－2k2.答案(－2，2)5．已知函数y＝x2x－1，当x＝________时取得极大值________；当x＝________时取得极小值________．解析y′＝(x2x－1)′＝（x2）′（x－1）－x2（x－1）′（x－1）2＝x2－2x（x－1）2.y′＞0⇒x＞2，或x＜0，y′＜0⇒0＜x＜2，且x≠1，∴y＝x2x－1在x＝0处取得极大值0，在x＝2处取得极小值4.答案00246．已知a2，函数f(x)＝(x2＋ax＋a)ex.(1)当a＝1时，求f(x)的单调递增区间；(2)若f(x)的极大值是6·e－2，求a的值．解(1)当a＝1时，f(x)＝(x2＋x＋1)ex，∴f′(x)＝(x2＋3x＋2)ex.令f′(x)≥0，由ex0得x2＋3x＋2≥0，解得x≤－2或x≥－1，∴f(x)的增区间是(－∞，－2]，[－1，＋∞)．(2)f′(x)＝[x2＋(a＋2)x＋2a]ex.令f′(x)＝0得x＝－2或x＝－a，当x变化时，f′(x)，f(x)变化情况列表如下：x(－∞，－2)－2(－2，－a)－a(－a，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)极大值极小值∴x＝－2时，f(x)取得极大值．而f(－2)＝(4－a)·e－2，∴(4－a)e－2＝6·e－2，∴a＝－2.综合提高（限时25分钟）7．函数f(x)＝2x3－6x2－18x＋7()．A．在x＝－1处取得极大值17，在x＝3处取得极小值－47B．在x＝－1处取得极小值17，在x＝3处取得极大值－47C．在x＝－1处取得极小值－17，在x＝3处取得极大值47D．以上都不对解析f′(x)＝6x2－12x－18，令f′(x)＝0，解得x1＝－1，x2＝3.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x(－∞，－1)－1(－1，3)3(3，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)极大值极小值∴当x＝－1时，f(x)取得极大值，f(－1)＝17；当x＝3时，f(x)取得极小值，f(3)＝－47.答案A8．三次函数当x＝1时有极大值4，当x＝3时有极小值0，且函数过原点，则此函数是()．A．y＝x3＋6x2＋9xB．y＝x3－6x2＋9xC．y＝x3－6x2－9xD．y＝x3＋6x2－9x解析三次函数过原点，可设f(x)＝x3＋bx2＋cx，则f′(x)＝3x2＋2bx＋c.由题设有f′（1）＝3＋2b＋c＝0，f′（3）＝27＋6b＋c＝0，解得b＝－6，c＝9.∴f(x)＝x3－6x2＋9x，f′(x)＝3x2－12x＋9＝3(x－1)·(x－3)．当x＝1时，函数f(x)取得极大值4，当x＝3时，函数取得极小值0，满足条件．答案B9．函数f(x)＝x3＋3ax2＋3(a＋2)x＋3既有极大值又有极小值，则实数a的取值范围是________．解析∵f′(x)＝3x2＋6ax＋3(a＋2)，令3x2＋6ax＋3(a＋2)＝0，即x2＋2ax＋a＋2＝0，∵函数f(x)有极大值和极小值，∴方程x2＋2ax＋a＋2＝0有两个不相等的实数根，即Δ＝4a2－4a－8＞0，解得a＞2或a＜－1.答案(－∞，－1)∪(2，＋∞)10．函数y＝x3－6x＋a的极大值为________，极小值为________．解析∵y′＝3x2－6，令y′＝0，得x＝±2，当x＜－2或x＞2时，y′＞0；当－2＜x＜2时，y′＜0，∴函数在x＝－2时取得极大值a＋42，在x＝2时取得极小值a－42.答案a＋42a－4211．已知函数y＝ax3＋bx2，当x＝1时函数有极大值3，(1)求a，b的值；(2)求函数y的极小值．解(1)y′＝3ax2＋2bx，当x＝1时，y′＝3a＋2b＝0，又y＝a＋b＝3，即3a＋2b＝0，a＋b＝3，解得a＝－6，b＝9.经检验，x＝1是极大值点，符合题意，故a，b的值分别为－6，9.(2)y＝－6x3＋9x2，y′＝－18x2＋18x，令y′＝0，得x＝0或x＝1.∴当x＝0时，函数y取得极小值0.12．(创新拓展)设函数f(x)＝a3x3＋bx2＋cx＋d(a0)，且方程f′(x)－9x＝0的两个根分别为1，4.(1)当a＝3且曲线y＝f(x)过原点时，求f(x)的解析式；(2)若f(x)在(－∞，＋∞)内无极值点，求a的取值范围．解由f(x)＝a3x3＋bx2＋cx＋d，得f′(x)＝ax2＋2bx＋c.∵f′(x)－9x＝ax2＋(2b－9)x＋c＝0的两个根分别为1，4，∴a＋2b＋c－9＝0，16a＋8b＋c－36＝0，(*)(1)当a＝3时，由(*)式得2b＋c－6＝0，8b＋c＋12＝0，解得b＝－3，c＝12，又因为曲线y＝f(x)过原点，所以d＝0，故f(x)＝x3－3x2＋12x.(2)由于a0，∵f(x)＝a3x3＋bx2＋cx＋d在(－∞，＋∞)内无极值点，∴f′(x)＝ax2＋2bx＋c≥0在(－∞，＋∞)内恒成立．由(*)式得2b＝9－5a，c＝4a，又Δ＝(2b)2－4ac＝9(a－1)(a－9)．解a0，Δ＝9（a－1）（a－9）≤0.得a∈[1，9]，即a的取值范围为[1，9]．