3-3-3

3．3．3函数的最大(小)值与导数双基达标（限时20分钟）1．函数y＝x(1－x2)在[0，1]上的最大值为()．A.293B.292C.492D.38解析y′＝1－3x2＝0，∴x＝±33.当0x33时，y′0；当33x1时，y′0.所以当x＝33时，y极大值＝293；当x＝0时，y＝0；当x＝1时，y＝0.所以当x＝33时，ymax＝293.答案A2．函数f(x)＝x3－3ax－a在(0，1)内有最小值，则a的取值范围为()．A．0≤a1B．0a1C．－1a1D．0a12解析∵f′(x)＝3x2－3a，令f′(x)＝0，可得a＝x2，又∵x∈(0，1)，∴0a1，故选B.答案B3．设f(x)＝x(ax2＋bx＋c)(a≠0)在x＝1和x＝－1处均有极值，则下列点中一定在x轴上的是()．A．(a，b)B．(a，c)C．(b，c)D．(a＋b，c)解析f′(x)＝3ax2＋2bx＋c，由题意知－1，1是方程3ax2＋2bx＋c＝0的两根，由根与系数的关系知1－1＝－2b3a，所以b＝0，故选A.答案A4．函数y＝x＋2cosx在区间0，π2上的最大值是________．解析y′＝1－2sinx＝0，x＝π6，比较0，π6，π2处的函数值，得ymax＝π6＋3.答案π6＋35．函数f(x)＝sinx＋cosx在x∈－π2，π2的最大、最小值分别是________．解析f′(x)＝cosx－sinx＝0，即tanx＝1，x＝kπ＋π4，(k∈Z)，而x∈－π2，π2，当－π2＜x＜π4时，f′(x)＞0；当π4＜x＜π2时，f′(x)＜0，∴fπ4是极大值．又fπ4＝2，f－π2＝－1，fπ2＝1，∴函数最大值为fπ4＝2，最小值为f－π2＝－1.答案2－16．求函数f(x)＝x5＋5x4＋5x3＋1在区间[－1，4]上的最大值与最小值．解f′(x)＝5x4＋20x3＋15x2＝5x2(x＋3)(x＋1)，由f′(x)＝0得x＝0或x＝－1或x＝－3(舍)，列表：x－1(－1，0)0(0，4)4f′(x)0＋0＋f(x)012625又f(0)＝1，f(－1)＝0，右端点处f(4)＝2625，∴函数y＝x5＋5x4＋5x3＋1在区间[－1，4]上的最大值为2625，最小值为0.综合提高（限时25分钟）7．函数y＝x33＋x2－3x－4在[0，2]上的最小值是()．A．－173B．－103C．－4D．－643解析y′＝x2＋2x－3(x∈[0，2])，令x2＋2x－3＝0，知x＝－3或x＝1为极值点．当x＝1时，ymin＝－173，故选A.答案A8．已知函数f(x)＝2x3－6x2＋m(m为常数)在[－2，2]上有最大值3，那么此函数在[－2，2]上的最小值为()．A．－37B．－29C．－5D．－11解析∵f′(x)＝6x2－12x＝6x(x－2)，由f′(x)＝0得x＝0或2.∵f(0)＝m，f(2)＝－8＋m，f(－2)＝－40＋m，显然f(0)f(2)f(－2)，∴m＝3，最小值为f(－2)＝－37.答案A9．函数f(x)＝4xx2＋1，x∈[－2，2]的最大值是________，最小值是________．解析∵y′＝4（x2＋1）－2x·4x（x2＋1）2＝－4x2＋4（x2＋1）2，令y′＝0可得x＝1或－1.又∵f(1)＝2，f(－1)＝－2，f(2)＝85，f(－2)＝－85，∴最大值为2，最小值为－2.答案2－210．如果函数f(x)＝x3－32x2＋a在[－1，1]上的最大值是2，那么f(x)在[－1，1]上的最小值是________．解析f′(x)＝3x2－3x，令f′(x)＝0得x＝0，或x＝1.∵f(0)＝a，f(－1)＝－52＋a，f(1)＝－12＋a，∴f(x)max＝a＝2.∴f(x)min＝－52＋a＝－12.答案－1211．已知函数f(x)＝－x3＋3x2＋9x＋a.(1)求f(x)的单调递减区间；(2)若f(x)在区间[－2，2]上的最大值为20，求它在该区间上的最小值．解(1)∵f′(x)＝－3x2＋6x＋9.令f′(x)＜0，解得x＜－1或x＞3，∴函数f(x)的单调递减区间为(－∞，－1)，(3，＋∞)．(2)∵f(－2)＝8＋12－18＋a＝2＋a，f(2)＝－8＋12＋18＋a＝22＋a，∴f(2)＞f(－2)．于是有22＋a＝20，∴a＝－2.∴f(x)＝－x3＋3x2＋9x－2.∵在(－1，3)上f′(x)＞0，∴f(x)在[－1，2]上单调递增．又由于f(x)在[－2，－1]上单调递减，∴f(2)和f(－1)分别是f(x)在区间[－2，2]上的最大值和最小值，∴f(－1)＝1＋3－9－2＝－7，即f(x)最小值为－7.12．(创新拓展)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，曲线y＝f(x)在点x＝1处的切线为l：3x－y＋1＝0，若x＝23时，y＝f(x)有极值．(1)求a，b，c的值；(2)求y＝f(x)在[－3，1]上的最大值和最小值．解(1)由f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，得f′(x)＝3x2＋2ax＋b，当x＝1时，切线l的斜率为3，可得2a＋b＝0.①当x＝23时，y＝f(x)有极值，则f′23＝0.可得4a＋3b＋4＝0.②由①②解得a＝2，b＝－4.由于切点的横坐标为x＝1，代入3x－y＋1＝0得切点坐标(1，4)，∴f(1)＝4.∴1＋a＋b＋c＝4，∴c＝5.(2)由(1)可得f(x)＝x3＋2x2－4x＋5，∴f′(x)＝3x2＋4x－4，令f′(x)＝0，得x＝－2，x＝23.当x∈[－3，－2)，23，1时f′(x)0，函数是增函数；当x∈－2，23时f′(x)0，函数是减函数，∴f(x)在x＝－2处取得极大值f(－2)＝13.在x＝23处取得极小值f23＝9527.又f(－3)＝8，f(1)＝4.∴y＝f(x)在[－3，1]上的最大值为13，最小值为9527.