搜索
课时提升作业(七)全称量词存在量词(30分钟50分)一、选择题(每小题3分,共18分)1.(2014·宁波高二检测)将a2+b2+2ab=(a+b)2改写成全称命题是()A.存在a0,b0∈R,使++2a0b0=(a0+b0)2B.存在a00,b00,使++2a0b0=(a0+b0)2C.存在a00,b00,有++2a0b0=(a0+b0)2D.对所有a,b∈R,有a2+b2+2ab=(a+b)2【解析】选D.根据全称命题的一般形式为“所有x,有p(x)”.故全称命题是对所有a,b∈R,有a2+b2+2ab=(a+b)2.2.下列语句是特称命题的是()A.整数n是2和7的倍数B.存在整数n0,使n0能被11整除C.x7D.∀x∈M,p(x)成立【解析】选B.B选项中有存在量词“存在”,故B项是特称命题,A和C对应的语句不能判断真假,不是命题,D是全称命题.3.(2012·福建高考)下列命题中,真命题是()A.∃x0∈R,≤0B.∀x∈R,2xx2C.a+b=0的充要条件是=-1D.a1,b1是ab1的充分条件【解题指南】要判断全称命题正确,要进行严谨的证明;而要判断其错误,只要举一反例即可;相应地,要证明特称命题正确,只要举一正例即可;而判断其错误,要证明所有对象都在所给属性的对立面;同时要注意充分条件和必要条件的意义与判断方法.【解析】选D.由于∀x∈R,ex0恒成立,所以∃x0∈R,≤0不正确;当x=2时,2x=x2,所以∀x∈R,2xx2不正确;a+b=0中b可取0,而=-1中b不能取0,因此,两者不等价;a1,b1⇒ab1,反之不能成立,所以a1,b1是ab1的充分条件.4.(2014·成都高二检测)下列特称命题是假命题的是()A.存在x0∈Q,使2x0-=0B.存在x0∈R,使+x0+1=0C.有的素数是偶数D.有的有理数没有倒数【解析】选B.对于任意的x∈R,x2+x+1=+0恒成立.5.(2013·安阳高二检测)下列命题中是全称命题并且是真命题的是()A.每一个二次函数的图象都是开口向上B.存在一条直线与两个相交平面都垂直C.存在一个实数x0,使-3x0+60D.对任意c≤0,若a≤b+c,则a≤b【解析】选D.每一个二次函数的图象都是开口向上是假命题;存在一条直线与两个相交平面都垂直,是特称命题,且是假命题;存在一个实数x0,使-3x0+60是特称命题,且是假命题;对任意c≤0,若a≤b+c,则a-b≤c≤0,则a≤b,是全称命题,且是真命题.6.(2014·大连高二检测)若存在x0∈R,使a+2x0+a0,则实数a的取值范围是()A.a1B.a-1C.-1a1D.-1a≤1【解析】选A.当a≤0时,显然存在x0∈R,使a+2x0+a0.当a0时,需满足Δ=4-4a20,得-1a1,故0a1,综上所述,实数a的取值范围是a1.【举一反三】本题中条件若换为“对于∀x∈R,都有ax2+2x+a0,”其结论又如何呢?【解析】选B.由题意得所以a-1.二、填空题(每小题4分,共12分)7.(2014·广州高二检测)命题“对任意一个实数x,x2+2x+1都不小于零”用“∃”或“∀”符号表示为___________.【解析】将文字语言用符号语言可表示为∀x∈R,x2+2x+1≥0.答案:∀x∈R,x2+2x+1≥08.下列命题,是全称命题的是;是特称命题的是.①正方形的四条边相等;②有两个角是45°的三角形都是等腰直角三角形;③正数的平方根不等于0;④至少有一个正整数是偶数.【解析】命题①②③中省略了全称量词“所有的”,故①②③是全称命题,命题④中含有存在量词“至少有一个”,故④是特称命题.答案:①②③④9.(2014·宿州高二检测)若∀x∈R,f(x)=(a2-1)x是单调减函数,则a的取值范围是.【解析】依题意有:0a2-11⇔⇔⇔-a-1或1a.答案:(-,-1)∪(1,)【变式训练】若“∃x0∈R,=m”是真命题,则实数m的取值范围是.【解析】由于“∃x0∈R,=m”是真命题,则实数m的取值集合就是指数函数f(x)=2x的值域,即(0,+∞).答案:(0,+∞)三、解答题(每小题10分,共20分)10.(2014·洛阳高二检测)判断下列命题是全称命题还是特称命题,并用量词符号“∀”“∃”表示.(1)两个有理数之间,都有一个无理数.(2)有一个凸n边形,外角和等于180°.(3)存在一个三棱锥,使得它的每个侧面都是直角三角形.【解析】(1)全称命题:∀两个有理数之间,都有一个无理数.(2)特称命题:∃一个凸n边形,它的外角和等于180°.(3)特称命题:∃一个三棱锥,它的每个侧面都是直角三角形.11.已知命题p:“任意x∈[1,2],x2-a≥0”,命题q:“存在x∈R,x2+2ax+2-a=0”,若命题p与q都是真命题,求实数a的取值范围.t【解题指南】(1)命题p为真,因此不等式x2-a≥0在x∈[1,2]上恒成立,即a≤(x2)min在x∈[1,2]上恒成立.(2)命题q为真,因此方程x2+2ax+2-a=0有解,则Δ≥0.【解析】由命题p为真,可得不等式x2-a≥0在x∈[1,2]上恒成立,得a≤(x2)min,x∈[1,2],所以a≤1,若命题q为真,则方程x2+2ax+2-a=0有解,所以判别式Δ=4a2-4(2-a)≥0,所以a≥1或a≤-2,又因为p,q都为真命题,所以所以a≤-2或a=1.所以实数a的取值范围是{a|a≤-2或a=1}.(30分钟50分)一、选择题(每小题4分,共16分)1.以下四个命题既是特称命题又是真命题的是()A.每一个锐角三角形的内角都是锐角B.至少有一个实数x,使x2≤0C.两个无理数的和必是无理数D.存在一个负数x0,使2【解析】选B.A是全称命题;B中当x=0时,x2=0,所以B既是特称命题又是真命题;C中因为+(-)=0,所以C是假命题;D中对于任一个负数x,都有0,所以D是假命题.2.(2014·长沙高二检测)下列四个命题中,真命题是()A.∀x∈R,x+≥2B.∃x0∈R,x0+≥2C.∃x0∈R,|x0+1|0D.∀x∈R,|x+1|0【解析】选B.当x=-1时,x+=-2,显然x+≥2不成立,故A错,当x=2时,x+=22,故B正确,对∀x∈R,|x+1|≥0,故C错误,当x=-1时,|x+1|0不成立,故D错.【变式训练】下列四个命题中真命题为()A.任意x∈R,x2-1=0B.存在x∈Z,3x-1=0C.任意x∈R,x2+10D.存在x∈Z,14x3【解析】选C.因为对任意实数x,总有x2≥0,所以x2+10对所有实数都成立.3.命题p:“∀x∈[1,2],2x2-x-m0”,命题q:“∃x0∈[1,2],log2x0+m0”,若“p∧q”为真命题,则实数m的取值范围是()A.m1B.m-1C.-1m1D.-1≤m≤1【解题指南】解答本题可先求出p与q分别为真命题时,m的取值范围,然后取其交集即可.【解析】选C.由“p∧q”为真命题,得p,q都是真命题.命题p:“∀x∈[1,2],2x2-x-m0”为真命题,即对于∀x∈[1,2],m2x2-x恒成立,得m(2x2-x)min=1;命题q:“∃x0∈[1,2],log2x0+m0”为真命题,则∃x0∈[1,2],-mlog2x0,只要-m(log2x)max=1,得m-1.综上所述,-1m1.4.(2014·银川高二检测)有四个关于三角函数的命题:p1:∃x0∈R,sin2+cos2=;p2:∃x0,y0∈R,sin(x0-y0)=sinx0-siny0;p3:∀x∈[0,π],=sinx;p4:sinx=cosy⇒x+y=.其中假命题为()A.p1,p4B.p2,p4C.p1,p3D.p3,p4【解析】选A.p1是假命题,因为∀x∈R,sin2+cos2=1;p2是真命题,例如:当x0=y0=时,sin(x0-y0)=sinx0-siny0=0.p3是真命题,因为∀x∈[0,π],sinx≥0,所以=|sinx|=sinx.p4是假命题,例如:sin=cosx+y=.二、填空题(每小题5分,共10分)5.(2014·长春高二检测)若命题“∀x∈[-1,+∞),x2-2ax+2≥a”是真命题,则实数a的取值范围是.【解析】因为x2-2ax+2≥a,即x2-2ax+2-a≥0,令f(x)=x2-2ax+2-a,所以全称命题转化为∀x∈[-1,+∞),f(x)≥0恒成立,所以Δ≤0或即-2≤a≤1或-3≤a-2.所以-3≤a≤1.综上,所求实数a的取值范围是[-3,1].答案:[-3,1]【误区警示】解答本题易忽视Δ0而导致错误.6.(2012·北京高考)已知f(x)=m(x-2m)(x+m+3),g(x)=2x-2,若同时满足条件:①∀x∈R,f(x)0或g(x)0;②∃x0∈(-∞,-4),f(x0)g(x0)0,则m的取值范围是.【解题指南】根据全称命题的真假以及函数、不等式的关系,结合条件对参数进行分类讨论,然后求交集即可.【解析】由g(x)=2x-20,可得x1,当x≥1时,g(x)0不成立,满足条件①时,要使∀x∈R,f(x)0或g(x)0,必须使x≥1时,f(x)=m(x-2m)(x+m+3)0恒成立,当m=0时,f(x)=m(x-2m)(x+m+3)=0不满足条件,所以二次函数f(x)必须开口向下,也就是m0,要满足条件,必须使方程f(x)=0的两根2m,-m-3都小于1,即解得m∈(-4,0).满足条件②时,因为x∈(-∞,-4)时,g(x)0,所以要使∃x0∈(-∞,-4)时,f(x0)g(x0)0,只要∃x0∈(-∞,-4)时,使f(x0)0即可,只要使-4比2m,-m-3中较小的一个大即可,当m∈(-1,0)时,2m-m-3,只要-4-m-3,解得m1与m∈(-1,0)的交集为空集;当m=-1时,两根为-2,-2-4,不符合;当m∈(-4,-1)时,2m-m-3,所以只要-42m,所以m∈(-4,-2).综上所述,m∈(-4,-2)为所求.答案:(-4,-2)三、解答题(每小题12分,共24分)7.判断下列语句是全称命题,还是特称命题,并判断其真假.(1)没有一个实数α,tanα无意义.(2)存在一条直线其斜率不存在.(3)所有圆的圆心到其切线的距离都等于半径吗?(4)圆外切四边形,其对角互补.(5)有的对数函数不是单调函数.【解析】由于(1)的实质是“所有的实数α,tanα有意义”,含有全称量词,所以(1)为全称命题,是假命题.(2)中含有存在量词,所以(2)是特称命题,是真命题.(3)是疑问句,不是命题.(4)“圆外切四边形,其对角互补”的实质是“所有圆的外切四边形,其对角都互补”,所以该命题是全称命题,是假命题.(5)中含有存在量词,所以(5)是特称命题.因为y=logax(a0且a≠1)中,当a1时,对数函数单调递增,当0a1时,对数函数单调递减,不存在非单调的对数函数,所以此命题是假命题.8.(2014·重庆高二检测)已知函数f(x)=x2-2x+5.(1)是否存在实数m0,使不等式m0+f(x)0对于任意x∈R恒成立,并说明理由.(2)若存在一个实数x0,使不等式m-f(x0)0成立,求实数m的取值范围.【解析】(1)不等式m0+f(x)0可化为m0-f(x),即m0-x2+2x-5=-(x-1)2-4.要使m0-(x-1)2-4对于任意x∈R恒成立,只需m0-4即可.故存在实数m0使不等式m0+f(x)0对于任意x∈R恒成立,此时需m0-4.(2)不等式m-f(x0)0可化为mf(x0),若存在一个实数x0使不等式mf(x0)成立,只需mf(x0)min.又f(x0)=(x0-1)2+4,所以f(x0)min=4,所以m4.所以所求实数m的取值范围