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课时提升作业(十三)椭圆方程及性质的应用(30分钟50分)一、选择题(每小题3分,共18分)1.过椭圆+y2=1的右焦点且与椭圆长轴垂直的直线与椭圆相交于A,B两点,则|AB|等于()A.4B.2C.1D.4【解析】选C.因为+y2=1中a2=4,b2=1,所以c2=3,所以右焦点坐标F(,0),将x=代入+y2=1得,y=±,故|AB|=1.2.已知直线l过点(3,-1),且椭圆C:+=1,则直线l与椭圆C的公共点的个数为()A.1B.1或2C.2D.0【解析】选C.因为直线过定点(3,-1)且+1,所以点(3,-1)在椭圆的内部,故直线l与椭圆有2个公共点.3.直线y=kx-k+1与椭圆+=1的位置关系是()A.相交B.相切C.相离D.不确定【解析】选A.直线y=kx-k+1=k(x-1)+1过定点(1,1),且该点在椭圆内部,因此必与椭圆相交,故选A.4.(2014·杭州高二检测)已知椭圆mx2+ny2=1与直线x+y=1相交于A,B两点,M为AB的中点,O为坐标原点,若直线OM的斜率为,则的值为()A.B.C.D.2【解析】选A.设A(x1,y1),B(x2,y2),线段AB的中点M(x0,y0),由题意可得==,=-1①因为A,B在椭圆上,所以m+n=1,m+n=1,两式相减可得m(x1-x2)(x1+x2)+n(y1-y2)(y1+y2)=0②所以=-,即-1=-,所以-1=-·,=.5.(2014·衡水高二检测)如果AB是椭圆+=1的任意一条与x轴不垂直的弦,O为椭圆的中心,e为椭圆的离心率,M为AB的中点,则kAB·kOM的值为()A.e-1B.1-eC.e2-1D.1-e2【解析】选C.设A(x1,y1),B(x2,y2),中点M(x0,y0),由点差法,+=1,+=1,作差得=,所以kAB·kOM=·===e2-1.6.(2013·新课标全国卷Ⅰ)已知椭圆E:+=1(ab0)的右焦点F(3,0),过点F的直线交E于A,B两点,若AB的中点坐标为(1,-1),则E的方程为()A.+=1B.+=1C.+=1D.+=1【解题指南】本题中给出AB的中点坐标,所以在解题时先设出A,B两点坐标,然后采用点差法求解.【解析】选D.由椭圆+=1得,b2x2+a2y2=a2b2,因为过点F的直线与椭圆+=1(ab0)交于A,B两点,设A(x1,y1),B(x2,y2),则=1,=-1,则b2+a2=a2b2①,b2+a2=a2b2②,由①-②得b2(-)+a2(-)=0,化简得b2(x1-x2)(x1+x2)+a2(y1-y2)(y1+y2)=0.2b2(x1-x2)-2a2(y1-y2)=0,=,又直线的斜率为k==,即=.因为b2=a2-c2=a2-9,所以=,解得a2=18,b2=9.故椭圆方程为+=1.【变式训练】椭圆+=1中,以点M(-1,2)为中点的弦所在的直线斜率为()A.B.C.D.-【解析】选B.设弦的两个端点为A(x1,y1),B(x2,y2),则①-②得+=0,又因为弦中点为M(-1,2),所以x1+x2=-2,y1+y2=4,所以+=0,所以k==.二、填空题(每小题4分,共12分)7.(2014·天水高二检测)过点M(1,1)作一直线与椭圆+=1相交于A,B两点,若M点恰好为弦AB的中点,则AB所在直线的方程为.【解析】设A(x1,y1),B(x2,y2),代入椭圆方程,得4+9=9×4,4+9=9×4,两式相减,得4(x1+x2)(x1-x2)+9(y1+y2)(y1-y2)=0,由中点坐标公式得=1,=1,所以k==-,所以所求直线方程为4x+9y-13=0.答案:4x+9y-13=08.(2014·德州高二检测)如图,F1,F2分别为椭圆+=1的左、右焦点,点P在椭圆上,△POF2是面积为的正三角形,则b2的值是.【解析】因为|OF2|=c,所以=c2=,所以c=2.又因为P点在椭圆上,且P(1,),所以+=1,所以+=1.又因为a2=b2+c2=4+b2,所以b2=2.答案:29.(2013·辽宁高考改编)已知椭圆C:+=1(ab0)的左焦点为F,C与过原点的直线相交于A,B两点,连接AF,BF.若|AB|=10,|BF|=8,cos∠ABF=,则C的离心率为.【解题指南】由余弦定理解三角形,结合椭圆的几何性质(对称性)求出点A(或B)到右焦点的距离,进而求得a,c.【解析】在三角形ABF中,由余弦定理得|AF|2=|AB|2+|BF|2-2|AB||BF|cos∠ABF,又|AB|=10,|BF|=8,cos∠ABF=,解得|AF|=6.在三角形ABF中,|AB|2=102=82+62=|BF|2+|AF|2,故三角形ABF为直角三角形.设椭圆的右焦点为F′,连接AF′,BF′,根据椭圆的对称性,四边形AFBF′为矩形,则其对角线|FF′|=|AB|=10,且|BF|=|AF′|=8,即焦距2c=10,又据椭圆的定义,得|AF|+|AF′|=2a,所以2a=|AF|+|AF′|=6+8=14.故离心率e===.答案:三、解答题(每小题10分,共20分)10.椭圆ax2+by2=1与直线x+y-1=0相交于A,B两点,C是AB的中点,若|AB|=2,OC的斜率为,求椭圆的方程.【解析】设A(x1,y1),B(x2,y2),代入椭圆方程,得a+b=1,①a+b=1.②②-①,得a(x2+x1)(x2-x1)+b(y2+y1)(y2-y1)=0.而=kAB=-1,=kOC=,则b=a.又因为|AB|=|x2-x1|=|x2-x1|=2,所以|x2-x1|=2.又由得(a+b)x2-2bx+b-1=0,所以x1+x2=,x1x2=.所以|x2-x1|2=(x1+x2)2-4x1x2=-4·=4,将b=a代入,得a=,b=,所以所求的椭圆方程为+y2=1.【一题多解】由直线方程和椭圆方程联立,得得(a+b)x2-2bx+b-1=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则|AB|==.因为|AB|=2,所以=1.①设C(x,y),则x==,y=1-x=.因为OC的斜率为,所以=.代入①,得a=,b=.所以椭圆方程为+y2=1.11.(2014·德阳高二检测)已知离心率为的椭圆C:+=1(ab0)过点M(,1).(1)求椭圆的方程.(2)已知与圆x2+y2=相切的直线l与椭圆C相交于不同两点A,B,O为坐标原点,求·的值.【解题指南】(1)由e=,及椭圆C过点M(,1)建立方程组,即可确定椭圆C的方程.(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),讨论l的斜率不存在时l:x=±,此时·=-=0.当直线l的斜率存在时,设l:y=kx+m,由l与圆相切得3m2-8k2-8=0,再将l代入椭圆方程,利用根与系数的关系及向量的数量积公式即可求得.【解析】(1)因为e=,又椭圆C过点M(,1),所以解得所以椭圆方程为+=1.(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),当直线l的斜率不存在时,l:x=±,则x1=x2=±,y1=-y2,所以·=-=0.当直线l的斜率存在时,设l:y=kx+m,由于l与圆相切得:=,所以3m2-8k2-8=0.将l的方程代入椭圆方程得:(1+2k2)x2+4kmx+2m2-8=0,所以x1+x2=-,x1·x2=,所以·=x1x2+y1y2=(1+k2)x1x2+km(x1+x2)+m2==0,综上,·=0.(30分钟50分)一、选择题(每小题4分,共16分)1.(2014·成都高二检测)直线l:x-2y+2=0过椭圆左焦点F1和一个顶点B,则该椭圆的离心率为()A.B.C.D.【解析】选D.由x-2y+2=0,令y=0,得F1(-2,0).令x=0,得B(0,1),即c=2,b=1,所以a=,所以e===.2.(2014·北京高二检测)若直线ax+by+4=0和圆x2+y2=4没有公共点,则过点(a,b)的直线与椭圆+=1的公共点个数为()A.0B.1C.2D.需根据a,b的取值来确定【解题指南】根据直线ax+by+4=0和圆x2+y2=4没有公共点,可推断点(a,b)是以原点为圆心,2为半径的圆内的点,根据圆的方程和椭圆方程可知圆x2+y2=4内切于椭圆,进而可知点P是椭圆内的点,进而判断可得答案.【解析】选C.因为直线ax+by+4=0和圆x2+y2=4没有公共点,所以原点到直线ax+by+4=0的距离d=2,所以a2+b24,所以点P(a,b)是在以原点为圆心,2为半径的圆内的点,因为椭圆的长半轴为3,短半轴为2,所以圆x2+y2=4内切于椭圆,所以点P是椭圆内的点,所以过点P(a,b)的一条直线与椭圆的公共点数为2.故选C.3.(2013·大纲版全国卷)椭圆C:+=1的左、右顶点分别为A1,A2,点P在C上且直线PA2斜率的取值范围是,那么直线PA1斜率的取值范围是()A.B.C.D.【解题指南】将P(x0,y0)代入到+=1中,得到x0与y0之间的关系,利用·为定值求解的取值范围.【解析】选B.设P(x0,y0),则+=1,=,=,·===-,故=-.因为∈[-2,-1],所以∈.4.过点M(-2,0)的直线m与椭圆+y2=1交于P1,P2,线段P1P2的中点为P,设直线m的斜率为k1(k1≠0),直线OP的斜率为k2,则k1k2的值为()A.2B.-2C.D.-【解析】选D.设P1(x1,y1),P2(x2,y2),P(x0,y0),则+=1,①+=1,②①-②得=-(y1+y2)(y1-y2),所以=-=-.因为k1=,k2=,所以k1=-.所以k1·k2=-.二、填空题(每小题5分,共10分)5.(2014·邯郸高二检测)过椭圆+=1的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A,B两点,O为坐标原点,则△OAB的面积为.【解析】右焦点为(1,0),故直线为y=2(x-1).由消去y,得3x2-5x=0,所以x=0或x=,从而A(0,-2),B.所以|AB|===.又O到AB的距离d==,所以S△AOB=·|AB|·d=××=.答案:6.(2014·广州高二检测)已知椭圆C:+y2=1的两焦点为F1,F2,点P(x0,y0)满足0+1,则|PF1|+|PF2|的取值范围为.【解析】依题意知P位于椭圆C的内部(异于原点O),因此有|F1F2|≤|PF1|+|PF2|2a,即2≤|PF1|+|PF2|2,故范围为[2,2).答案:[2,2)三、解答题(每小题12分,共24分)7.圆C1的方程为(x-2)2+(y-1)2=,椭圆C2的方程为+=1(ab0),C2离心率为.若C1与C2相交于A,B两点,且线段AB恰好为圆C1的直径.求直线AB的方程和椭圆C2的方程.【解析】由e=得a2=2c2=2b2.所以椭圆C2的方程为+=1.设A(x1,y1),B(x2,y2),由圆心(2,1)得x1+x2=4,y1+y2=2.又+=1,+=1,相减整理得(x1+x2)(x1-x2)+2(y1+y2)(y1-y2)=0.从而=-1,所以直线方程为y-1=-(x-2),即y=-x+3.代入椭圆方程,得3x2-12x+18-2b2=0.因为直线AB与椭圆相交,所以Δ0,即b20.由|AB|=|x1-x2|===2,所以b2=8,a2=16,所以椭圆方程为+=1.8.(2013·重庆高考)如图,椭圆的中心为原点O,长轴在x轴上,离心率e=,过左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于A,A′两点,|AA′|=4.(1)求该椭圆的标准方程.(2)取平行于y轴的直线与椭圆相交于不同的两点P,P′,过P,P′作圆心为Q的圆,使椭圆上的其余点均在圆Q外.求△PP′Q的面积S的最大值,并写出对应的圆Q的标准方程.【解题指南】直接利用已知条件可求出椭圆的标准方程,设出Q点的坐标,利用椭圆上的其余点均在圆Q外可求△PP′Q的面积S的最大值以及圆的标准方程.【解析】(1)设椭圆的标准方程为+=1(ab0),由题意知点A(-c,2)在椭圆上,则+=1,从而e2+=1.