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2015-2016学年天津市和平区高三（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）1．已知集合M={x|＜0}，N={x|x≤﹣1}，则集合{x|x≥3}等于（）A．M∩NB．M∪NC．∁R（M∩N）D．∁R（M∪N）2．若变量x，y满足约束条件，则z=3x﹣4y的取值范围是（）A．[﹣11，3]B．[﹣11，﹣3]C．[﹣3，11]D．[3，11]3．阅读如图的程序框图，运行相应的程序，输出n的值为（）A．5B．7C．9D．114．已知a，b∈R，且ab≠0，那么“a＞b”是“lg（a﹣b）＞0”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件5．如图，半径为2的⊙O中，∠AOB=90°，D为OB的中点，AD的延长线交⊙O于点E，则线段DE的长为（）A．B．C．D．6．若双曲线﹣=1的一个焦点在抛物线y2=2px的准线上，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．27．记实数x1，x2，…，xn中最小数为min{x1，x2，…，xn}，则定义在区间[0，+∞）上的函数f（x）=min{x2+1，x+3，13﹣x}的最大值为（）A．5B．6C．8D．108．已知函数f（x）=x|x|﹣mx+1有三个零点，则实数m的取值范围是（）A．（0，2）B．（2，+∞）C．（﹣∞，﹣2）D．[2，+∞）二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）9．已知a∈R，复数（2+ai）（2﹣i）的实部与虚部互为相反数，则a的值为．10．一个几何体的三视图如图所示（单位：cm），则几何体的体积为cm3．11．已知圆C的极坐标方程为ρ=2cosθ，以极点为坐标原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为（t为参数），则圆C的圆心到直线l的距离为．12．在（x﹣）9的展开式中，x5的系数为．13．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足a+b=2，C=，sinA+sinB=sinC，则△ABC的面积为．14．如图，在△ABC中，∠BAC=60°，AB=3，AC=2，D是BC边上的一点（含端点），则•的取值范围是．三、解答题（共6小题，满分80分）15．已知函数f（x）=2sin﹣4sin2，x∈R．（1）求f（x）的最小正周期；（2）求f（x）的区间[，]上的最大值和最小值．16．在8件获奖作品中，有3件一等奖，有5件二等奖，从这8件作品中任取3件．（1）求取出的3件作品中，一等奖多于二等奖的概率；（2）设X为取出的3件作品中一等奖的件数，求随机变量X的分布列和数学期望．17．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱垂直于底面，∠BAC=90°，AB=AA1=2，AC=1，点M和N分别为A1B1和BC的中点．（1）求证：AC⊥BM；（2）求证：MN∥平面ACC1A1；（3）求二面角M﹣BN﹣A的余弦值．18．设等差数列{an}的前n项和为Sn，且S4=4S2，a2+a4=10．（1）求数列{an}通项公式；（2）若数列{bn}满足++…+=1﹣，n∈N*，求数列{bn}的前n项和Tn．19．已知椭圆C经过点A（2，3）、B（4，0），对称轴为坐标轴，焦点F1、F2在x轴上．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）求∠F1AF2的角平分线所在的直线l与椭圆C的另一个交点的坐标．20．设函数f（x）=x3﹣x2+6x+m．（1）对于x∈R，f′（x）≥a恒成立，求a的最大值；（2）若方程f（x）=0有且仅有一个实根，求m的取值范围；（3）当m=2时，若函数g（x）=+x﹣6+2blnx（b≠0）在[1，2]上单调递减，求实数b的最大值．2015-2016学年天津市和平区高三（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）1．已知集合M={x|＜0}，N={x|x≤﹣1}，则集合{x|x≥3}等于（）A．M∩NB．M∪NC．∁R（M∩N）D．∁R（M∪N）【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】求出M中不等式的解集确定出M，求出M与N的交集、并集，进而确定出交集与并集的补集，即可作出判断．【解答】解：由M中不等式变形得：（x﹣3）（x+1）＜0，解得：﹣1＜x＜3，即M={x|﹣1＜x＜3}，∵N={x|x≤﹣1}，∴M∪N={x|x＜3}，M∩N=∅，则∁R（M∪N）={x|x≥3}，∁R（M∩N）=R，故选：D．2．若变量x，y满足约束条件，则z=3x﹣4y的取值范围是（）A．[﹣11，3]B．[﹣11，﹣3]C．[﹣3，11]D．[3，11]【考点】简单线性规划．【分析】画出不等式组表示可行域，要求线性目标函数的最值，就是直线（目标函数）截距的范围，求解即可．【解答】解：不等式组表示的区域如图，其中A（0，2），B（5，3）．C（3，5）z=3x﹣4y的几何意义是直线在y轴上的截距，当直线经过点B（5，3）时，z=15﹣12=3，取最大值为3，当取得点C（3，5）时，z=3﹣20=﹣11，z取最小值为﹣11，所以目标函数z=3x﹣4y的取值范围为[﹣11，3]，故选：A．3．阅读如图的程序框图，运行相应的程序，输出n的值为（）A．5B．7C．9D．11【考点】程序框图．【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量n的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：当S=1时，满足进行循环的条件，执行循环体后，S=3，n=5，当S=3时，满足进行循环的条件，执行循环体后，S=15，n=7，当S=15时，满足进行循环的条件，执行循环体后，S=105，n=9，当S=105时，不满足进行循环的条件，故输出的n值为9，故选：C4．已知a，b∈R，且ab≠0，那么“a＞b”是“lg（a﹣b）＞0”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】写出“lg（a﹣b）＞0”的等价命题，结合充要条件的定义，可得答案．【解答】解：“lg（a﹣b）＞0”⇔“a﹣b＞1”⇔“a＞b+1”，当“a＞b”时，“a＞b+1”不一定成立，故“a＞b”是“lg（a﹣b）＞0”的不充分条件；当“a＞b+1”时，“a＞b”一定成立，故“a＞b”是“lg（a﹣b）＞0”的必要条件；故“a＞b”是“lg（a﹣b）＞0”的必要不充分条件；故选：B．5．如图，半径为2的⊙O中，∠AOB=90°，D为OB的中点，AD的延长线交⊙O于点E，则线段DE的长为（）A．B．C．D．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】延长BO交⊙O于点C，我们根据已知中⊙O的半径为2，∠AOB=90°，D为OB的中点，我们易得，代入相交弦定理，我们即可求出线段DE的长．【解答】解：延长BO交⊙O于点C，由题设知：，又由相交弦定理知AD•DE=BD•DC，得故选C6．若双曲线﹣=1的一个焦点在抛物线y2=2px的准线上，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．2【考点】双曲线的简单性质．【分析】求出抛物线的准线方程，双曲线的a，b，c，解方程可得p2=16，即有c=2，运用离心率公式计算即可得到所求值．【解答】解：抛物线y2=2px的准线为x=﹣，由双曲线﹣=1的a=，b=||，可得c=，即有=||，解得p2=16，可得c=2，则离心率e===．故选：A．7．记实数x1，x2，…，xn中最小数为min{x1，x2，…，xn}，则定义在区间[0，+∞）上的函数f（x）=min{x2+1，x+3，13﹣x}的最大值为（）A．5B．6C．8D．10【考点】函数的最值及其几何意义．【分析】在同一坐标系中作出三个函数y=x+3，y=x2+1与y=﹣x+13的图象，依题意，由图象即可求得max{min{x2+1，x+3，13﹣x}}．【解答】解：在同一坐标系中作出三个函数y=x2+1，y=x+3，y=13﹣x的图象如图：由图可知，min{x2+1，x+3，13﹣x}为y=x+3上A点下方的射线，抛物线AB之间的部分，线段BC，与直线y=13﹣x点C下方的部分的组合体，显然，在C点时，y=min{x2+1，x+3，13﹣x}取得最大值．解方程组得，C（5，8），∴max{min{x2+1，x+3，13﹣x}}=8．故选：C．8．已知函数f（x）=x|x|﹣mx+1有三个零点，则实数m的取值范围是（）A．（0，2）B．（2，+∞）C．（﹣∞，﹣2）D．[2，+∞）【考点】根的存在性及根的个数判断；函数零点的判定定理．【分析】f（x）=x|x|﹣mx+1得x|x|+1=mx利用参数分离法得m=|x|+，构造函数g（x）=|x|+，转化为两个函数的交点个数问题进行求解即可．【解答】解：由f（x）=x|x|﹣mx+1得x|x|+1=mx，当x=0时，方程不成立，即x≠0，则方程等价为m=|x|+设g（x）=|x|+，当x＜0时，g（x）=﹣x+为减函数，当x＞0时，g（x）=x+，则g（x）在（0，1）上为减函数，则（1，+∞）上为增函数，即当x=1时，函数取得极小值同时也是最小值g（1）=1+1=2，作出函数g（x）的图象如图：要使f（x）=x|x|﹣mx+1有三个零点，则等价为m=|x|+有三个不同的根，即y=m与g（x）有三个不同的交点，则由图象知m＞2，故实数m的取值范围是（2，+∞），故选：B．二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）9．已知a∈R，复数（2+ai）（2﹣i）的实部与虚部互为相反数，则a的值为．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，由实部加虚部等于0求得a值．【解答】解：（2+ai）（2﹣i）=（4+a）+（2a﹣2）i，∵（2+ai）（2﹣i）的实部与虚部互为相反数，∴4+a+2a﹣2=0，解得：a=﹣．故答案为：．10．一个几何体的三视图如图所示（单位：cm），则几何体的体积为12πcm3．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；函数的零点．【分析】由三视图得到该几何体上面是个圆锥，下面是个圆柱，根据圆锥和圆柱的体积公式进行求解即可．【解答】解：由三视图得到该几何体上面是个圆锥，下面是个圆柱，圆锥的高为3cm，底面半径r=2cm，则圆锥的体积为=4π（cm3），圆柱的高为2cm，底面半径r=2cm，则圆柱的体积为π×22×2=8π（cm3），则该几何体的体积为4π+8π=12π（cm3），故答案为：12π11．已知圆C的极坐标方程为ρ=2cosθ，以极点为坐标原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为（t为参数），则圆C的圆心到直线l的距离为．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】求出圆C的直角坐标方程和直线l的直角坐标方程，利用点到直线的距离公式能求出圆C的圆心到直线l的距离．【解答】解：∵圆C的极坐标方程为ρ=2cosθ，即ρ2=2ρcosθ，∴圆C的直角坐标方程为x2+y2﹣2x=0，圆心C（1，0），半径r==1，∵直线l的参数方程为（t为参数），∴直线l的直角坐标方程为3x﹣4y﹣4=0．∴圆C的圆心到直线l的距离d==．故答案为：．12．在（x﹣）9的展开式中，x5的系数为18．【考点】二项式系数的性质．【分析】写出二项展开式的通项，由x得指数等于5求得r值，则答案可求．【解答】解：由=，令9﹣2r=5，可得r=2，∴x5的系数为．故答案为：18．13．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足a+b=2，C=，sinA+sinB=sinC，则△ABC的面积为．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】由题意和正弦定理可得c值，由余弦定理可得ab的值，整体代入三角形的面积公式计算可得．【解答】解：∵在△ABC中，∵sinA+sinB=sinC，∴由正弦定理可得a+b=c，又∵a+b=2，C=，∴c=2，解得c=2，由余弦定理可得c2=a2+b2﹣2abcosC=a2+b2﹣ab=（a+b）2﹣3ab，代值可得4=8﹣3ab，解得ab=，