3-1-2

3．1．2导数的概念双基达标（限时20分钟）1．如果某物体的运动方程为s＝2(1－t2)(s的单位为m，t的单位为s)，那么其在1.2s末的瞬时速度为()．A．－4.8m/sB．－0.88m/sC．0.88m/sD．4.8m/s解析物体运动在1.2s末的瞬时速度即为s在1.2处的导数，利用导数的定义即可求得．答案A2．设函数f(x)在点x0附近有定义，且有f(x0＋Δx)－f(x0)＝aΔx＋b(Δx)2(a，b为常数)，则()．A．f′(x)＝aB．f′(x)＝bC．f′(x0)＝aD．f′(x0)＝b解析∵ΔyΔx＝f（x0＋Δx）－f（x0）Δx＝a＋Δx.∴f(x0)＝(a＋Δx)＝a.答案C3．已知f(x)＝x2－3x，则f′(0)＝()．A．Δx－3B．(Δx)2－3ΔxC．－3D．0解析f′(0)＝f（0＋Δx）－f（0）Δx＝（Δx）2－3ΔxΔx＝(Δx－3)＝－3.答案C4．一做直线运动的物体，其位移s与时间t的关系是s＝3t－t2，则物体的初速度是________．解析v初＝s′|t＝0＝s（0＋Δt）－s（0）Δt＝(3－Δt)＝3.答案35．已知函数f(x)在x＝1处可导，且f′(1)＝1，则f（1＋x）－f（1）x＝________．解析根据导数的定义，f（1＋x）－f（1）x＝f′(1)＝1.答案16．利用导数的定义，求函数y＝1x2＋2在点x＝1处的导数．解∵Δy＝1（x＋Δx）2＋2－1x2＋2＝－2xΔx－（Δx）2（x＋Δx）2·x2，∴ΔyΔx＝－2x－Δx（x＋Δx）2·x2，∴y′＝ΔyΔx＝－2x－Δx（x＋Δx）2·x2＝－2x3，∴y′|x＝1＝－2.综合提高（限时25分钟）7．已知点P(x0，y0)是抛物线y＝3x2＋6x＋1上一点，且f′(x0)＝0，则点P的坐标为()．A．(1，10)B．(－1，－2)C．(1，－2)D．(－1，10)解析ΔyΔx＝f（x0＋Δx）－f（x0）Δx＝3（x0＋Δx）2＋6（x0＋Δx）＋1－3x20－6x0－1Δx＝3Δx＋6x0＋6，∴f′(x0)＝ΔyΔx＝(3Δx＋6x0＋6)＝6x0＋6＝0，∴x0＝－1.把x0＝－1代入y＝3x2＋6x＋1，得y＝－2.∴P点坐标为(－1，－2)．答案B8．设函数f(x)可导，则f（1＋Δx）－f（1）3Δx等于()．A．f′(1)B．3f′(1)C.13f′(1)D．f′(3)解析根据导数的定义：f（1＋Δx）－f（1）Δx＝f′(1)，f（1＋Δx）－f（1）3Δx＝13f′(1)．答案C9．某物体作匀速运动，其运动方程是s＝vt，则该物体在运动过程中其平均速度与任何时刻的瞬时速度的关系是________(填“相等”或“不相等”)．解析v0＝ΔsΔt＝s（t0＋Δt）－s（t0）Δt＝v（t0＋Δt）－vt0Δt＝v·ΔtΔt＝v.答案相等10．如图，函数f(x)的图象是折线段ABC，其中A，B，C的坐标分别为(0，4)，(2，0)，(6，4)，则函数f(x)在x＝1处的导数f′(1)＝________．解析由图及已知可得函数解析式为f(x)＝－2（x－2），0≤x≤2，x－2，2＜x≤6.利用导数的定义，所以f′(1)＝Δx→0f（1＋Δx）－f（1）Δx＝Δx→0－2（1＋Δx－2）＋2（1－2）Δx＝－2.答案－211．子弹在枪筒中的运动可以看作是匀变速运动，如果它的加速度是a＝5×105m/s2，子弹从枪口射出时所用的时间为t0＝1.6×10－3s，求子弹射出枪口时的瞬时速度．解设运动方程为s＝12at2.∵Δs＝12a(t0＋Δt)2－12at20＝at0Δt＋12a(Δt)2，∴ΔsΔt＝at0＋12aΔt，∴瞬时速度v＝ΔsΔt＝at0.由题意知a＝5×105，t0＝1.6×10－3，故v＝at0＝8×102＝800(m/s)．即子弹射出枪口时的瞬时速度为800m/s.12．(创新拓展)已知f(x)＝x2，g(x)＝x3，求满足f′(x)＋2＝g′(x)的x的值．解由导数的定义知，f′(x)＝Δf（x）Δx＝（x＋Δx）2－x2Δx＝2x，g′(x)＝Δg（x）Δx＝（x＋Δx）3－x3Δx＝3x2.∵f′(x)＋2＝g′(x)，∴2x＋2＝3x2.即3x2－2x－2＝0，解得x＝1－73或x＝1＋73.