（12月考答案）2010～2011学年十六中高二数12月考试题

2010～2011学年茂名市十六中12月月考(高二数学)答案一、选择题(每小题5分,共50分)题号12345678答案CABDACCA二、填空题(每小题5分,共20分)9.0.5.10.12.11.6.12.30.13.30.14.222x.三、解答题(本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、演算步骤或推证过程)15.(本小题满分12分)(09fj)袋中有大小、形状相同的红、黑球各一个，现一次有放回地随机摸取3次，每次摸取一个球.(1)试问：一共有多少种不同的结果？请列出所有可能的结果；(2)若摸到红球时得2分，摸到黑球时得1分，求3次摸球所得总分为5的概率.解：(1)一共有8种不同的结果，列举如下：(红、红、红)、(红、红、黑)、(红、黑、红)、(红、黑、黑)、(黑、红、红)、(黑、红、黑)、(黑、黑、红)、(黑、黑、黑)(2)记“3次摸球所得总分为5”为事件A事件A包含的基本事件为：(红、红、黑)、(红、黑、红)、(黑、红、红)事件A包含的基本事件数为3由(1)可知，基本事件总数为8，所以事件A的概率为83)(AP.16.(本小题满分l2分)(10hn)为了对某课题进行研究，用分层抽样方法从三所高校A,B,C的相关人员中，抽取若干人组成研究小组、有关数据见下表（单位：人）高校相关人数抽取人数A18xB362C54y(1)求x,y;(2)若从高校B、C抽取的人中选2人作专题发言，求这二人都来自高校C的概率.解：(1)由题意可得，5436218yx，所以x=1，y=3.(2)记从高校B抽取的2人为b1,b2,从高校C抽取的2人为c1,c2,c3，则从高校B、C抽取的5人中选2人作专题发言的基本事件有(b1,b2),(b1,c1),(b1,c2),(b1,c3),(b2,c1),(b2,c2),(b2,c3),(c1,c2),(c1,c3),(c2,c3)共10种.设这二人都来自高校C为事件X，则X包含的基本事件有(c1,c2),(c1,c3),(c2,c3)共3种.因此，.103)(XP故选中二人都来自高校C的概率为.10317.（本题满分14分）已知定圆C：x2+(y–3)2=4，定直线m：x+3y+6=0，过A(–1,0)的一条动直线l与直线m相交于N，与圆C相交与P、Q两点.(1)当直线l与直线m垂直时，求证：直线l过圆心C；(2)当|PQ|=32时，求直线l的方程.解：(1)由已知得直线m的斜率为31mk，圆心C(0,3).∵直线l与直线m垂直，∴直线l的斜率31mlkk.又直线l过点A(–1,0)，由点斜式得直线l的方程为y=3(x+1)，显然点C(0,3)在直线l上，即直线l过圆心C.(2)当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x=–1，此时，圆心C到直线l的距离d=1，|PQ|=3212222222dr，符合要求.当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=k(x+1)，即kx–y+k=0，此时，圆心到直线l的距离d1|3|2kk，又由弦长公式得d=1)3(2)2||(2222PQr.∴11|3|2kk，即(k–3)2=k2+1，解得34k，直线l的方程为y=34(x+1)，即4x–3y+4=0.综上得，当|PQ|=32时，所求直线l的方程为x=–1或4x–3y+4=0.18.(本小题满分l4分)如图，在直三棱柱ABC–A1B1C1中，AC=3，BC=4，AB=5，点D是AB的中点.(1)求证：AC⊥BC1；(2)求证：AC1∥平面CDB1；(3)(理)若BB1=4，求二面角B1–CD–B的正切值.(文)若BB1=4，求三棱锥B1–CDB的体积.证明：(1)在直三棱柱ABC–A1B1C1中，C1C⊥底面ABC，∴C1C⊥AC，由AC=3，BC=4，AB=5，得AC2+BC2=AB2，∴AC⊥BC.又CC1∩BC=C，∴AC⊥平面BCC1.又BC1平面BCC1,∴AC⊥BC1.(2)设CB1∩BC1=O，连接OD，因侧面BCC1B1为矩形，故O为BC1的中点又D是AB的中点，∴OD是△ABC1的中位线，∴AC1∥OD，又AC1平面CDB1，OD平面CDB1，∴AC1∥平面CDB1.APQNC·lyOmxBCDAC1B1A1E(3)(理)解：过B作BE⊥CD交CD的延长线于E，连接EB1，由三垂线定理得EB1⊥CD，∴∠B1EB就是二面角B1–CD–B的平面角.将底面Rt△ABC补充成一个矩形ABCF，则CF=AB=5，BE=.512534CFBFCB又BB1=4，在Rt△B1EB中，tan∠B1EB=.3512541BEBB因此，二面角B1–CD–B的正切值是.35(3)(文)解：设D为AB的中点，∴S△BCD=21S△ABC=213)4321(，∵直三棱柱ABC–A1B1C1中，B1B⊥底面ABC，∴三棱锥B1–CDB的体积为CDBBV1=.44331311BBSBCD19.(本小题满分l4分)(08qg)在△ABC中，135cosB，54cosC．(1)求sinA的值；(2)设△ABC的面积233ABCS，求BC的长．解：(1)由135cosB，得1312sinB，由54cosC，得53sinC．所以sinA=sin[–(B+C)]=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC=6533．(2)由233ABCS得233sin21AACAB，由(1)知sinA=6533，故AB×AC=65，又AC=ABCBAB1320sinsin，即6513202AB，213AB．所以211sinsinCAABBC．20.(本小题满分l4分)在数列{an}中，a1=3，an+1=2an–1(nN*).(1)设bn=an–1，求证：数列{bn}是等比数列；(2)求数列{an}的通项公式；(3)设cn=12nnnaa，求证：数列{cn}的前n项和(1)证明：∵bn=an–1，an+1=2an–1(nN*),∴bn+1=an+1–1=2an–1–1=2(an–1)=2bn，即bn+1=2bn.又b1=a1–1=3–1=2，∴{bn}是首项b1=2，公比为2等比数列.(2)解由(1)得bn=2×2n–1=2n，∴an=bn+1=2n+1.因此，数列{an}的通项公式为an=2n+1.(3)证明：由(2)得cn=12nnnaa=121121)12()12(211nnnnn.∴Sn=c1+c2+c3+…+cn=)5131()9151()17191(…+)121121(1nn)121121(1nn=311211n＜31(nN*),∴Sn＜31.