必修2《点、直线、平面之间的位置关系》阶段质量检测试卷(二)含解析

阶段质量检测（二）点、直线、平面之间的位置关系(时间120分钟满分150分)一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(广东高考)若直线l1和l2是异面直线，l1在平面α内，l2在平面β内，l是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是()A．l与l1，l2都不相交B．l与l1，l2都相交C．l至多与l1，l2中的一条相交D．l至少与l1，l2中的一条相交解析：选D由直线l1和l2是异面直线可知l1与l2不平行，故l1，l2中至少有一条与l相交．2．已知PA⊥矩形ABCD，则下列结论中不正确的是()A．PB⊥BCB．PD⊥CDC．PD⊥BDD．PA⊥BD解析：选C如图所示，由于PA⊥平面ABCD，且底面ABCD为矩形，所以PA⊥BD(即D正确)，BC⊥PA，BC⊥BA，而PA∩AB＝A，所以BC⊥平面PAB，所以BC⊥PB(即A正确)．同理PD⊥CD(即B正确)，PD与BD不垂直，所以C不正确．3.如图，在直三棱柱ABC­A1B1C1中，D为A1B1的中点，AB＝BC＝BB1＝2，AC＝25，则异面直线BD与AC所成的角为()A．30°B．45°C．60°D．90°解析：选C如图，取B1C1的中点E，连接BE，DE，则AC∥A1C1∥DE，则∠BDE即为异面直线BD与AC所成的角．由条件可知BD＝DE＝EB＝5，所以∠BDE＝60°，故选C.4.如图所示，ABCD­A1B1C1D1是长方体，O是B1D1的中点，直线A1C交平面AB1D1于点M，则下列结论正确的是()A．A，M，O三点共线B．A，M，O，A1不共面C．A，M，C，O不共面D．B，B1，O，M共面解析：选A连接A1C1，AC，则A1C1∥AC，所以A，C，C1，A1四点共面，所以A1C⊂面ACC1A1.因为M∈A1C，所以M∈面ACC1A1，又M∈面AB1D1，所以M在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上，同理O在面ACC1A1与面AB1D1的交线上，所以A，M，O三点共线，故选A.5．已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β.直线l满足l⊥m，l⊥n，l⊄α，l⊄β，则()A．α∥β且l∥αB．α⊥β且l⊥βC．α与β相交，且交线垂直于lD．α与β相交，且交线平行于l解析：选D由于m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β，则平面α与平面β必相交，但未必垂直，且交线垂直于直线m，n，又直线l满足l⊥m，l⊥n，则交线平行于l，故选D.6．已知直线l⊥平面α，直线m⊂平面β，有以下四个命题：①α∥β⇒l⊥m；②α⊥β⇒l∥m；③l∥m⇒α⊥β；④l⊥m⇒α∥β.其中正确的两个命题是()A．①②B．③④C．②④D．①③解析：选D若α∥β，l⊥α，则l⊥β，又m⊂β，所以l⊥m，故①正确；若α⊥β，l⊥α，m⊂β，则l与m可能异面，所以②不正确；若l∥m，l⊥α，则m⊥α，又m⊂β，则α⊥β，所以③正确；若l⊥α，l⊥m，m⊂β，则α与β可能相交，故④不正确．综上可知，选D.7.如图所示，P为矩形ABCD所在平面外一点，矩形对角线交点为O，M为PB的中点，给出五个结论：①OM∥PD；②OM∥平面PCD；③OM∥平面PDA；④OM∥平面PBA；⑤OM∥平面PBC.其中正确的个数是()A．1B．2C．3D．4解析：选C显然OM∥PD，又PD⊂平面PCD，PD⊂平面PDA.∴OM∥平面PCD，OM∥平面PDA.∴①②③正确．8．把正方形ABCD沿对角线AC折起，当以A，B，C，D四点为顶点的三棱锥体积最大时，直线BD和平面ABC所成的角的大小为()A．90°B．60°C．45°D．30°解析：选C当三棱锥D­ABC体积最大时，平面DAC⊥平面ABC，取AC的中点O，则△DBO是等腰直角三角形，即∠DBO＝45°.二、填空题(本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．请把正确答案填在题中的横线上)9．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别为棱AA1，CC1的中点，则在空间中与三条直线A1D1，EF，CD都相交的直线有________条．解析：如图，在A1D1上任取一点P，过点P与直线EF作一个平面α，因为CD与平面α不平行，所以它们相交，设α∩CD＝Q，连接PQ，则PQ与EF必然相交．由点P的任意性，知有无数条直线与A1D1，EF，CD都相交．答案：无数10．已知a，b表示直线，α，β，γ表示平面．①若α∩β＝a，b⊂α，a⊥b，则α⊥β；②若a⊂α，a垂直于β内任意一条直线，则α⊥β；③若α⊥β，α∩β＝a，α∩γ＝b，则a⊥b；④若a⊥α，b⊥β，a∥b，则α∥β.上述命题中，正确命题的序号是________．解析：对①可举反例，如图，需b⊥β才能推出α⊥β；对③可举反例说明，当γ不与α，β的交线垂直时，即可知a，b不垂直；根据面面、线面垂直的定义与判定知②④正确．答案：②④11.如图所示，直线a∥平面α，点A在α另一侧，点B，C，D∈a，线段AB，AC，AD分别交α于点E，F，G.若BD＝4，CF＝4，AF＝5，则EG＝________.解析：A∉a，则点A与直线a确定一个平面，即平面ABD.因为a∥α，且α∩平面ABD＝EG，所以a∥EG，即BD∥EG，所以AFAC＝AEAB.又EGBD＝AEAB，所以AFAC＝EGBD.于是EG＝AF·BDAC＝5×45＋4＝209.答案：20912.如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，侧面对角线AB1，BC1上分别有一点E，F，且B1E＝C1F，则直线EF与平面ABCD的位置关系是________，EF与BB1的位置关系是________．解析：过点E作EG∥AB，交BB1于点G，连接GF，则B1EB1A＝B1GB1B.∵B1E＝C1F，B1A＝C1B，∴C1FC1B＝B1GB1B，∴FG∥B1C1∥BC.又EG∩FG＝G，AB∩BC＝B，∴平面EFG∥平面ABCD.又EF⊂平面EFG，∴EF∥平面ABCD.又B1B⊥AB，B1B⊥BC，AB∩BC＝B，∴B1B⊥平面ABCD，∴B1B⊥平面EFG.又∵EF⊂平面EFG，∴B1B⊥EF.答案：平行垂直13.如图，四面体P­ABC中，PA＝PB＝13，平面PAB⊥平面ABC，∠ABC＝90°，AC＝8，BC＝6，则PC＝________，PC与平面ABC所成角的余弦值为________．解析：取AB的中点E，连接PE.∵PA＝PB，∴PE⊥AB.又平面PAB⊥平面ABC，∴PE⊥平面ABC.连接CE，∴PE⊥CE，∠PCE为直线PC与平面ABC所成的角．∠ABC＝90°，AC＝8，BC＝6，∴AB＝27，PE＝PA2－AE2＝6，CE＝BE2＋BC2＝43，PC＝PE2＋CE2＝7，cos∠PCE＝437.答案：743714.在四棱锥P­ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD∥BC，BC＝2AD＝4，AB＝CD＝10，则BD与平面PAC的位置关系是________；若二面角A­PC­D的大小为60°，则AP的值为________．解析：设O为AC与BD的交点，作DE⊥BC于点E.由四边形ABCD是等腰梯形易证得∠DBC＝∠BCA，由已知条件易得CE＝BC－AD2＝1，则DE＝DC2－CE2＝3，所以BE＝DE，从而得∠DBC＝∠BDE＝∠BCA＝45°，所以∠BOC＝90°，即AC⊥BD.由PA⊥平面ABCD得PA⊥BD，又PA∩AC＝A，所以BD⊥平面PAC.作OH⊥PC于点H，连接DH.又DO⊥平面PAC，故DO⊥PC.又DO∩OH＝O，所以PC⊥平面DOH，从而得PC⊥DH.故∠DHO是二面角A­PC­D的平面角，所以∠DHO＝60°.易知DO＝2，AC＝32，因为在Rt△DOH中，tan∠OHD＝tan60°＝ODOH，所以OH＝63.在Rt△COD中，OC＝CD2－OD2＝22.在Rt△PAC中，PAPC＝OHOC.设PA＝x，可得xx2＋322＝36，解得x＝32211，即AP＝32211.答案：垂直3221115．如图1所示的等边△ABC的边长为2a，CD是AB边上的高，E，F分别是AC，BC边的中点．现将△ABC沿CD折叠，使平面ADC⊥平面BDC，如图2所示，则直线AB与平面DEF的位置关系是________，四面体A­DBC的外接球体积与四棱锥D­ABFE的体积之比为________．解析：∵E，F分别为AC，BC的中点，∴AB∥EF，∵AB⊄平面DEF，EF⊂平面DEF，∴AB∥平面DEF.以DA，DB，DC为棱补成一个长方体，则四面体A­DBC的外接球即为长方体的外接球．设球的半径为R，则a2＋a2＋3a2＝(2R)2，∴R2＝54a2，于是球的体积V1＝43πR3＝556πa3.又VA­BDC＝13S△BDC·AD＝36a3，VE­DFC＝13S△DFC·12AD＝324a3，∴V1VD­ABFE＝V1VA­BDC－VE­DFC＝2015π9.答案：平行2015π9三、简答题(本大题共5小题，共74分，解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)16．(本小题满分14分)在空间四边形ABCD中，E，H分别是AB，AD的中点，F，G分别是BC，CD上的点，且CFCB＝CGCD＝23.求证：(1)E，F，G，H四点共面；(2)三条直线EF，GH，AC交于一点．证明：(1)在△ABD中，E，H分别是AB和AD的中点，∴EH綊12BD.在△CBD中，CFCB＝CGCD＝23，∴FG綊23BD.∴EH∥FG.∴E，F，G，H四点共面．(2)由(1)可知，EH∥FG，且EH≠FG，所以它们的延长线必相交于一点，设为点P.∵AC是平面ABC和平面ADC的交线，EF⊂平面ABC，GH⊂平面ADC，平面ABC∩平面ADC＝P，∴由公理3知P∈AC.∴三条直线EF，GH，AC交于一点．17.(本小题满分15分)如图，三角形PDC所在的平面与长方形ABCD所在的平面垂直，PD＝PC.(1)证明：BC∥平面PDA；(2)证明：BC⊥PD.证明：(1)∵在长方形ABCD中，BC∥AD，BC⊄平面PDA，AD⊂平面PDA，∴BC∥平面PDA.(2)取CD的中点H，连接PH.∵PD＝PC，∴PH⊥CD.又平面PDC⊥平面ABCD，平面PDC∩平面ABCD＝CD，PH⊂平面PDC，∴PH⊥平面ABCD.又BC⊂平面ABCD，∴PH⊥BC.∵在长方形ABCD中，BC⊥CD，PH∩CD＝H，∴BC⊥平面PDC.又PD⊂平面PDC，∴BC⊥PD.18.(本小题满分15分)如图，平行六面体ABCD­A1B1C1D1的底面是菱形，∠C1CB＝∠C1CD＝∠BCD＝60°.(1)求证：C1C⊥BD.(2)当CDCC1的值为多少时，可使A1C⊥平面C1BD?解：(1)证明：连接A1C1，AC，设AC和BD交于点O，连接C1O.∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，BC＝CD.又∵∠BCC1＝∠DCC1，C1C是公共边，∴△C1BC≌△C1DC，∴C1B＝C1D.∵DO＝OB，∴C1O⊥BD.又∵AC∩C1O＝O，∴BD⊥平面ACC1A1.又∵C1C⊂平面ACC1A1，∴C1C⊥BD.(2)由(1)知BD⊥平面AC1.∵A1C⊂平面ACC1A1，∴BD⊥A1C.当CDCC1＝1时，平行六面体的六个面是全等的菱形．同理可证BC1⊥A1C.又∵BD∩BC1＝B，∴A1C⊥平面C1BD.19.(本小题满分15分)如图所示，在长方体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝2，BB1＝BC＝1，E为D1C1的中点，连接ED，EC，EB和DB.(1)求证：平面EDB⊥平面EBC；(2)求二面角E­DB­C的正切值．解：(1)证明：在长方体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝2，BB1＝BC＝1，E为D1C1的中点．所以△DD1E为等腰直角三角形，∠D1ED＝45°.同理∠C1EC＝45°.所以∠DEC＝90°，即DE⊥EC.在长方体ABCD­A1B1C1D1中，BC⊥平面D1DCC1，又DE⊂平