2013湖北省八市高三3月调考数学文科试题及答案

湖北省八市2013年高三年级三月调考数学（文科）试题本试卷共4页。全卷满分150分，考试时间120分钟。★祝考试顺利★注意事项：１.考生在答题前，请务必将自己的姓名、准考证号等信息填在答题卡上.２.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，答在试卷上无效.３.填空题和解答题用0.5毫米黑色墨水签字笔答在答题卡上每题对应的答题区域内．答在试题卷上无效.一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.若,abR，i是虚数单位，且(2)1abii，则ab的值为A．1B．2C．3D．42.已知命题:,20xpxR，那么命题p为A．,20xxRB．20xxR,C．,20xxR≤D．20xxR,≤3.已知直线1:lyx，若直线12ll，则直线2l的倾斜角为A.ππ()4kkZB.π2C.3ππ()4kkZD.3π44.平面向量a与b的夹角为60，(2,0)a，1b，则2abA．3B．23C．4D．125.不等式组(3)()004xyxyx≥≤≤表示的平面区域是A．矩形B．三角形C．直角梯形D．等腰梯形6.设aR，函数()xxfxeae的导函数是()fx，且()fx是奇函数，则a的值为A．1B．12C．1D．127.某中学高三年级从甲、乙两个班级各选出7名学生参加数学竞赛，他们取得的成绩（满分100分）的茎叶图如右图，其中甲班学生成绩的平均分是85，乙班学生成绩的中位数是83，则xy的值为A．7B．8C．9D．1688．《莱因德纸草书》（RhindPapyrus）是世界上最古老的数学著作之一，书中有这样的一道题目：把100个面包分给5个人，使每人所得成等差数列，且使较大的三份之和的17是较小的两份之和，则最小的1份为A．53B．116C．56D．1039.从221xymn（其中,2,5,4mn）所表示的圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线）方程中任取一个，则此方程是焦点在y轴上的双曲线方程的概率为（）A．12B．47C．23D．3410.已知函数21(0)()log(0)xxfxxx≤，,则函数[()]1yffx的零点个数是A．4B．3C．2D．1二、填空题(本大题共5小题，每小题7分，共35分，请将答案填在答题卡对应题号的位置上)11.已知集合{1,2,3,4,5,6}U，}6,4,2,1{M，则UMð▲．12.已知4cos5，且tan0，则sin▲．13.某高三年级有500名同学，将他们的身高（单位：cm）数据绘制成频率分布直方图（如图），若用分层抽样的方法选取30人参加一项活动，则从身高在[160,170)内的学生中选取的人数应为▲.第7题图乙甲yx61192611805679814.某地区恩格尔系数(%)y与年份x的统计数据如下表:年份x2004200520062007恩格尔系数y(%)4745.543.541从散点图可以看出y与x线性相关，且可得回归直线方程为ˆˆ4055.25ybx，据此模型可预测2013年该地区的恩格尔系数(%)为▲．15.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积的最大值为▲.16.已知实数[0,10]x，若执行如下左图所示的程序框图，则输出的x不小于47的概率为▲.17.右下表中数阵为“森德拉姆素数筛”，其特点是每行每列都成等差数列，记第i行第j列的数为),(*Njiaij，则：（Ⅰ）99a▲；（Ⅱ）表中数82共出现▲次．三、解答题(本大题共5小题，共65分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)18.（本小题满分12分）已知A、B、C为ABC的三个内角且向量Oyx0.0350.0200.0100.005190180170160150140第13题图第15题图61侧视图俯视图正视图否是n≤3n=n+1x=2x+1n=1输出x输入x结束开始第16题图∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙37312519137312621161162521171395191613107413119753765432第17题图3(1,cos)(3sincos,)2222CCCmn与共线。（Ⅰ）求角C的大小：（Ⅱ）设角CBA,,的对边分别是cba,,，且满足2cos2aCcb，试判断ABC的形状．19．（本小题满分12分）在等差数列{}na中，2723aa，3829aa．（Ⅰ）求数列{}na的通项公式；（Ⅱ）设数列{}nnab是首项为1，公比为c的等比数列，求{}nb的前n项和nS．20.（本小题满分13分）如图所示，四棱锥PABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，Q是棱PA上的动点．（Ⅰ）若Q是PA的中点，求证：PC//平面BDQ；（Ⅱ）若PBPD，求证：BDCQ；（III）在（Ⅱ）的条件下，若,3,60PAPCPBABC，求四棱锥PABCD的体积．21．（本大题满分14分）已知△ABC的两个顶点,AB的坐标分别是(0,1)，(0,1)，且,ACBC所在直线的斜率之积等于(0)mm．（Ⅰ）求顶点C的轨迹E的方程，并判断轨迹E为何种圆锥曲线；（Ⅱ）当12m时，过点(1,0)F的直线l交曲线E于,MN两点，设点N关于x轴的对称点为Q(,MQ不重合)．求证直线MQ与x轴的交点为定点，并求出该定点的坐标．QDCBAP第20题图22．（本小题满分14分）已知函数32,1()ln,1xxxfxaxx≥，其中0a（Ⅰ）求()fx在(,1)上的单调区间；（Ⅱ）求()fx在[1,]e（e为自然对数的底数）上的最大值；（III）对任意给定的正实数a，曲线()yfx上是否存在两点P、Q，使得POQ是以原点O为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在y轴上？2013年湖北省八市高三三月联考数学（文科）参考答案及评分标准一、选择题：（每小题5分，10小题共50分）1.D2.C3.D4.B5.D6.C7.B8.A9.B10.A二、填空题：（每小题5分，满35分）11.}5,3{12.5313.914.29.2515.2116.5.017.（Ⅰ）82,（Ⅱ）5三．解答题(本大题共5小题,共65分;解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)18．（Ⅰ）（Ⅰ）∵m与n共线∴)2cos2sin3(2cos23CCC31π1sin(1cos)sin()2262CCC…………………………3分得πsin()16C…………………………4分∴C=3……………………………6分（Ⅱ）方法1：由已知2acb（1）根据余弦定理可得：222cabab（2）……………………8分（1）、（2）联立解得：()0bba……………………………10分0,,C=3bbaABC又，为等边三角形，……………………………12分方法2：由正弦定理得：2sincossin2sin2sin()2sincossin2sincos2cossinACCBACACCACAC……………………8分∴21cosA，∴在△ABC中∠π3A.……………………………10分ABC为等边三角形……………………………12分方法3：由（Ⅰ）知C=π3，又由题设得：2acb，在ABC中根据射影定理得：2(coscos)2cosacaCcAacA……………………8分1cos,23AA……………………………10分又.C=π3，所以△ABC为等边三角形，……………………………12分19.（Ⅰ）设等差数列{}na的公差是d．依题意3827()26aaaad，从而3d．………………2分所以2712723aaad，解得11a．………………4分所以数列{}na的通项公式为23nan．………………6分（Ⅱ）由数列{}nnab是首项为1，公比为c的等比数列，得1nnncba，即123nncbn，所以123nncnb．………………8分所以21[147(32)](1)nnSnccc21(31)(1)2nnnccc．………………10分从而当1c时，2(31)322nnnnnSn；………………11分当1c时，(31)121nnnncSc．………………12分20．（Ⅰ）证明:连结AC，交BD于O．因为底面ABCD为菱形，所以O为AC的中点．因为Q是PA的中点，所以PCOQ//，因为OQ平面BDQ，PC平面BDQ，所以//PC平面BDQ．…………………4分（Ⅱ）证明：因为底面ABCD为菱形，所以BDAC，O为BD的中点．因为PDPB，所以BDPO．因为OBDPO，所以BD平面PAC．因为CQ平面PAC，所以CQBD．………………………………8分（Ⅲ）因为PCPA，所以△PAC为等腰三角形．因为O为AC的中点，所以ACPO．由（Ⅱ）知BDPO，且OBDAC，所以PO平面ABCD，即PO为四棱锥ABCDP的高．因为四边形是边长为2的菱形，且60ABC，所以3BO6PO．所以2263231ABCDPV．……………12分21．（Ⅰ）由题知：11yymxx化简得：221(0)mxyx……………………………2分当1m时轨迹E表示焦点在y轴上的椭圆，且除去(0,1),(0,1)两点；当1m时轨迹E表示以(0,0)为圆心半径是１的圆，且除去(0,1),(0,1)两点；当10m时轨迹E表示焦点在x轴上的椭圆，且除去(0,1),(0,1)两点；当0m时轨迹E表示焦点在y轴上的双曲线，且除去(0,1),(0,1)两点；……………………………6分（Ⅱ）设112222(,),(,),(,)MxyNxyQxy12(0)xx依题直线l的斜率存在且不为零，则可设l:1xty，OQPBACD代入221(0)2xyx整理得22(2)210tyty12222tyyt，12212yyt，………………………………9分又因为MQ、不重合，则1212,xxyyQMQ的方程为121112()yyyyxxxx令0y，得1211211211121212()()2112yxxtyyytyyxxtyyyyyyy故直线MQ过定点(2,0).……………………………13分解二：设112222(,),(,),(,)MxyNxyQxy12(0)xx依题直线l的斜率存在且不为零，可设l:(1)ykx代入221(0)2xyx整理得：2222(12)4220kxkxk2122412kxxk,21222212kxxk，……………………………9分QMQ的方程为121112()yyyyxxxx令0y，得121121121211121212()(1)()2()2(2)2yxxkxxxxxxxxxxyykxxxx直线MQ过定点(2,0)……………………………13分22.（Ⅰ）因为32,1,()ln,1.xxxfxaxx≥当1x时，()(32)fxxx，解()0fx得到203x；解()0fx得到0x或213x．所以()fx在(,1)上的单调减区间为(,0)，2(,1)3：单调增区间为2(0,)3………………4分（Ⅱ）①当11x≤≤时，由（Ⅰ）知在()fx(1,0)和2(,1)3上单调递减，在2(0,)3上单调递增，从而()fx在23x处取得极大值24()327f．又(1)2,(1)0ff，所以()fx在