广东省中山五中2010届高三第四次月考理科数学

广东省中山五中2010届高三第四次月考数学试卷（理科）本试卷分第I卷（选择题）、第II卷（非选择题）两部分。共150分，考试时间120分钟。第Ⅰ卷（选择题共40分）注意事项：1、答第I卷前，考生务必将自己的姓名、统考考号、座位号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。2、每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题上。3、不可以使用计算器。4、考试结束，将答题卡交回，试卷不用上交。一、选择题（每小题5分，共40分。每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求）1设集合U={1，2，3，4},A={2，3},B={1},则)(BCAU等于(A){2}(B){3}(C)(D){2，3}2已知复数z满足2)1()1(izi，则z＝(A)－1+i(B)1+i(C)1－i(D)－1－i3下列不等式不一定成立的是(A)),(,222Rbaabba(B)),(,232Rbaaa(C))(,21Rxxx(D)),(,2222Rbababa4在三角形ABC中，“B=60°”是“A，B，C成等差数列”的(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件5已知数列}{na满足12,311nnaaa,那么数列}1{na(A)是等差数列(B)是等比数列(C)既是等差数列又是等比数列(D)不是等差数列也不是等比数列6．若实数yx,满足条件10042052yxyxyx,目标函数yxz2，则A．25maxzB．1maxzC．2maxzD．0minz7．底面是矩形的四棱柱''''DCBAABCD中，5,3,4'AAADAB，90BAD，60''DAABAA，则'ACA．95B．59C．85D．588．身穿红、黄两种颜色衣服的各有两人，身穿蓝颜色衣服的有一人，现将这五人排成一行，要求穿相同颜色衣服的人不能相邻，则不同的排法共有（）种。A．24B．28C．36D．48第II卷（非选择题共110分）二、填空题（每小题5分，共30分）9．若数据123,,,,nxxxx的平均数x=5，方差22，则数据12331,31,31,,31nxxxx的平均数为（2分），方差为（3分）。10．直线xy2与抛物线32xy所围成图形的面积为.11．若tan2，则2sincoscossincos=.12．已知函数)(xf满足，002)2()(xxxfxfx，则)5.7(f=.13．以下有四种说法：（1）若qp为真，qp为假，则p与q必为一真一假；（2）若数列}{na的前n项和为*2,1NnnnSn，则*,2Nnnan；（3）若0)(0'xf，则)(xf在0xx处取得极值；（4）由变量x和y的数据得到其回归直线方程:lybxa，则l一定经过点(,)Pxy.以上四种说法，其中正确说法的序号为．14．为迎接校庆，学校准备投入a元建造一个花圃（如图）．已知矩形ABCD的造价为40元/2m，其余的两个半圆及两个圆的造价为20元/2m．两圆的直径分别为矩形的长和宽，由于矩形ABCD要种名贵花卉，故建造时要求矩形ABCD的面积越大越好．那么，当矩形ABCD的面积达到最大时，ABADCADBOE三、解答题（共80分．解答题应写出推理、演算步骤）15.（本题满分12分）已知向量)sin,(cosa,)sin,(cosb,552||ba.（Ⅰ）求cos()的值;（Ⅱ）若02,02,且5sin13,求sin.16.（本题满分12分）已知数列{}na是首项为114a，公比14q的等比数列，设*)(log3241Nnabnn，数列nnnnbacc满足}{.（1）求数列}{nb的通项公式；（2）求数列}{nc的前n项和Sn.17．（本小题满分14分）已知10件产品中有3件是次品.（I）任意取出3件产品作检验，求其中至少有1件是次品的概率；（II）为了保证使3件次品全部检验出的概率超过0.6，最少应抽取几件产品作检验？18.（本题满分14分）如图，四面体ABCD中，O、E分别是BD、BC的中点，2,2.CACBCDBDABAD（I）求证：AO平面BCD；（II）求异面直线AB与CD所成角的余弦；（III）求点E到平面ACD的距离．19.（本题满分14分）已知4232)(23cxxxxf，)()(2xfeexgxx，（1）若f(x)在21x处取得极值，试求c的值和f(x)的单调增区间；（2）如右图所示，若函数)(xfy的图象在],[ba连续光滑，试猜想拉格朗日中值定理：即一定存在),,(bac使得)('cf？（用含有a,b,f(a),f(b)的表达式直接回答）（3）利用（2）证明：函数y=g(x)图象上任意两点的连线斜率不小于2e-4.20.（本题满分14分）已知函数21fxx,gxx.（1）若xR使fxbgx,求实数b的取值范围;（2）设21Fxfxmgxmm,且Fx在01,上单调递增,求实数m的取值范围.广东省中山五中2010届高三第四次月考数学试卷（理科）答案一．选择题（每小题5分，共40分）题号12345678答案BDDBACCD二、填空题（每小题5分，共30分）9．16（2分），18（3分）10．33211．51612．213．（1）（4）14．2三、解答题（共80分．解答题应写出推理、演算步骤）15.（本题满分12分）已知向量)sin,(cosa,)sin,(cosb,552||ba.（Ⅰ）求cos()的值;（Ⅱ）若02,02,且5sin13,求sin.解：（Ⅰ）(cos,sin)a,(cos,sin)b,coscossinsinab，.……………2分255ab,2225coscossinsin5,………3分即422cos5,………5分3cos5.……………6分（Ⅱ）0,0,022,……………7分3cos5,5sin134sin5，12cos13……………9分sinsinsincoscossin11分412353351351365.……………12分16.（本题满分12分）已知数列{}na是首项为114a，公比14q的等比数列，，设*)(log3241Nnabnn，数列nnnnbacc满足}{.（1）求数列}{nb的通项公式；（2）求数列}{nc的前n项和Sn.解（1）由题意知，*)()41(Nnann，……………2分又143log2nnba，故32(*)nbnnN……………4分（2）由（1）知，*)(23,)41(Nnnbannn*)(,)41()23(Nnncnn……………6分,)41()23()41)53()41(7)41(4411132nnnnnS……7分于是1432)41()23()41)53()41(7)41(4)41(141nnnnnS…………………………9分两式相减，得132)41()23(])41()41()41[(34143nnnnS.)41()23(211nn…………………………12分CADBOE2321()(*)334nnnSnN……………12分17．（本小题满分14分）已知10件产品中有3件是次品.（I）任意取出3件产品作检验，求其中至少有1件是次品的概率；（II）为了保证使3件次品全部检验出的概率超过0.6，最少应抽取几件产品作检验？解：（1）任意取出3件产品作检验，全部是正品的概率为33710/7/24CC…………3分故至少有一件是次品的概率为1-7/24=17/24……………………6分（2）设抽取n件产品作检验，则3件次品全部检验出的概率为333710.nnCCC………8分由37107!610!0.6,,(3)!(10)!10!(10)!nnCCnnnn即……………9分整理得：(1)(2)986nnn，……………………11分,10,nNn∴当n=9或n=10时上式成立.…………13分答：任意取出3件产品作检验，其中至少有1件是次品的概率为17/24，为了保证使3件次品全部检验出的概率超过0.6，最少应抽取9件产品作检验.………………14分18.（本题满分14分）如图，四面体ABCD中，O、E分别是BD、BC的中点，2,2.CACBCDBDABAD（I）求证：AO平面BCD；（II）求异面直线AB与CD所成角的余弦；（III）求点E到平面ACD的距离．解：方法一：（I）证明：连结OC,,.BODOABADAOBD………1分,,.BODOBCCDCOBD在AOC中，由已知可得1,3.AOCO而2,AC222,AOCOAC90,oAOC即.AOOC……………3分又,AOBDBDOCO，AO平面BCD……………5分（II）解：取AC的中点M，连结OM、ME、OE，由E为BC的中点知ME∥AB,OE∥DC直线OE与EM所成的锐角就是异面直线AB与CD所成的角。……………6分在OME中，121,1,222EMABOEDC……………7分OM是直角AOC斜边AC上的中线，11,2OMAC……………8分xCABODyzE11/212cos,4212/2OEM异面直线AB与CD所成角大小的余弦为2/4；……………9分（III）解：设点E到平面ACD的距离为.h,11....33EACDACDEACDCDEVVhSAOS……………11分在ACD中，2,2,CACDAD2212722().222ACDS……………12分而21331,2,242CDEAOS……………13分31.212.772CDEACDAOShS点E到平面ACD的距离为21.7……………14分方法二：（I）同方法一．……………5分（II）解：以O为原点，如图建立空间直角坐标系，则(1,0,0),(1,0,0),BD13(0,3,0),(0,0,1),(,,0),22CAE………………6分(1,0,1),(1,3,0).BACD…………7分.2cos,,4BACDBACDBACD………9分异面直线AB与CD所成角大小的余弦为2/4；……………10分（III）解：设平面ACD的法向量为(,,),nxyz则.(,,).(1,0,1)0,.(,,).(0,3,1)0,nADxyznACxyz……………11分0,30.xzyz令1,y得(3,1,3)n是平面ACD的一个法向量．……………12分又13(,,0),22EC点E到平面ACD的距离.321.77ECnhn……………14分19.（本题满分14分）已知4232)(23cxxxxf，)()(2xfeexgxx，（1）若f(x)在21x处取得极值，试求c的值和f(x)的单调增区间；（2）如右图所示，若函数)(xfy的图象在],[ba连续光滑，试猜想拉格朗日中值定理：即一定存在),,(bac使得)('cf？（用含有a,b,f(a),f(b)的表达式直接回答）（3）利用（2）