高三数学理科试卷(含答案)2010.3

怀柔区2009～2010学年度第二学期高三期中练习数学（理科）2010.3本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至8页，共150分．考试时间120分钟．考试结束，将本试卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷（选择题共40分）注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目等涂写在答题卡上．2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．不能答在试卷上．一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．设集合}21{xxP，}01{xxQ，则QPA．}11|{xxB．}21|{xxC．}21|{xxD．}1|{xx2．若向量a=（1，—1），b=（—1，1），c=（5，1），则c+a+b=A．aB．bC．cD．a+b3．抛物线24yx的准线方程是A．116xB．1xC．1yD．116y4．已知1a，复数),()2()1(2Rbaiaaz，则“1a”是“z为纯虚数”的A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件5．如图，是CCTV青年歌手大奖赛上某位选手得分的茎叶图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的方差为A．647B．9C．738D．7806．如图，水平放置的三棱柱的侧棱长和底面边长均为2，且侧棱AA1底面A1B1C1，主视图是边长为2的正方形，该三棱柱的左视图面积为A．4B．32C．22D．37．一只小蜜蜂在一个棱长为3的正方体内自由飞行，若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体6个表面的距离均大于1，称其为“安全飞行”，则蜜蜂“安全飞行”的概率为A．827B．271C．2627D．15278．如图，一个粒子在第一象限运动，在第一秒内，它从原点运动到(0,1)，然后接着按图所示在x轴，y轴平行方向来回运动（即(0,0)(0,1)(1,1)(1,0)(2,0)……），若每秒运动一个单位长度，那么第2010秒时，这个粒子所在的位置为A．（16,44）B．（15,44）．C．（14,44）D．（13,44）y第Ⅱ卷（非选择题共110分）注意事项：用黑色签字笔将答案写在答题卡上规定的区域内．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在题中横线上．9．函数sincosyxx的最小正周期为.10．经过极点，圆心在极轴上，且半径为1的圆的极坐标方程为_.11．如图，是计算111124620的值的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是.12．若函数2)(3cxxxf)(Rc，则/3()2f、/(1)f、/(0)f的大小关系是_.13．如图，圆O和圆O相交于A，B两点，AC是圆O的切线，AD是圆O的切线，若BC＝2，AB＝4，则BD_.14．已知函数0,20,)(2xxcbxxxf，若1)1(f，2)0(f，则函数xxfxg)()(的零点个数为____.三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（本小题共12分）已知函数)2sin()42cos(21)(xxxf．（Ⅰ）求函数)(xf的定义域；（Ⅱ）求)(xf在区间[,)42上的最大值与最小值．..'OCOBDA16．（本小题满分14分）如图，已知四棱锥S—ABCD的底面ABCD是矩形，M、N分别是CD、SC的中点，SA⊥底面ABCD，SA=AD=1，AB=2．（I）求证：MN⊥平面ABN；（II）求二面角A—BN—C的余弦值．17．（本小题满分13分）已知函数32331fxaxxa(Ra,且0)a，求)(xf及函数)(xf的极大值与极小值．18．（本小题满分13分）甲、乙两人同时参加奥运志愿者选拔赛的考试，已知在备选的10道题中，甲能答对其中的6道题，乙能答对其中的8道题．规定每次考试都从备选题中随机抽出3道题进行测试，至少答对2道题才能入选．（I）求甲答对试题数的分布列及数学期望；（II）求甲、乙两人至少有一人入选的概率．19．（本小题满分14分）已知椭圆C的中心在坐标原点，离心率32e，一个焦点的坐标为3,0．（I）求椭圆C方程；（II）设直线1:2lyxm与椭圆C交于A，B两点，线段AB的垂直平分线交x轴于点T．当m变化时，求TAB面积的最大值．20．（本小题满分14分）当nppp,,,21均为正数时，称npppn21为nppp,,,21的“均倒数”．已知数列na的各项均为正数，且其前n项的“均倒数”为121n．（Ⅰ）试求数列na的通项公式；（Ⅱ）设12nacnn，试判断并说明*1nnccnN的符号；（Ⅲ）已知(0)nanbtt，记数列nb的前n项和为nS，试求1nnSS的值；（Ⅳ）设函数124)(2naxxxfn，是否存在最大的实数，使当x时，对于一切正整数n，都有0)(xf恒成立？20070406怀柔区2009～2010学年度第二学期高三数学期中练习参考答案及评分标准(理科)2010.3一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9.10.2cos11.20n12./(0)f＞/(1)f＞/3()2f13.814.3三、解答题：本大题共6小题，共80分.15.（本小题共12分）解：（Ⅰ）由题意0)2sin(xZkkx,2Zkkx,2故所求定义域为{Zkkxx,2|}…………4分（Ⅱ）xxxxxxfcos2sin2cos1)2sin()42cos(21)(xxxxcoscossin2cos22xxsin2cos2)4sin(22x…………9分3,04244xx，…………10分∴当04x即4x时，min()0fx；当42x即4x时，max()22fx．……12分16．（本小题满分14分）解：（I）以A点为原点，AB为x轴，AD为y轴，AD为z轴的空间直角坐标系，如图所示.则依题意可知相关各点的坐标分别是：A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，1，0），D（0，1，0），S（0，0，1）(图略)).21,21,22(),0,1,22(NM……………………2分题号12345678答案BCDADBBC).21,21,22(),0,0,2(),21,21,0(ANABMN…………………………4分.,.0,0ANMNABMNANMNABMN∴MN⊥平面ABN.……………………………………………………………………7分（II）设平面NBC的法向量.,),,,(SCnBCncban则且又易知)1,1,2(),0,1,0(SCBC.2,0.02,0,0,0acbcbabSCnBCn即令a=1，则).2,0,1(n……………………………………………………11分显然，)21,21,0(MN就是平面ABN的法向量..33||||,cosMNnMNnMNn由图形知，二面角A—BN—C是钝角二面角…………………………………12分.33的余弦值是二面角CBNA……………………………………14分17．（本小题满分13分）解：由题设知)2(363)(,02axaxxaxxfa………………2分令2()00fxxxa得或……………………………4分当0a时，随x的变化，/fx与fx的变化如下：x,0020,a2a2,a)(xf+0-0+)(xf极大极小301fxfa极大，22431fxfaaa极小……………8分当0a时，随x的变化，'fx与fx的变化如下：x2,a2a2,0a00,)(xf-0+0-)(xf极小极大301fxfa极大，22431fxfaaa极小…………………12分综上，当0a时，31fxa极大，2431fxaa极小；当0a时，31fxa极大，2431fxaa极小.……………13分18．（本小题满分13分）解：（I）依题意，甲答对试题数的可能取值为0,1,2,3，…………………1分则,301)0(31034CCP12643103(1),10CCPC,21)2(3101426CCCP.61)3(31036CCP…………………………………………………5分的分布列为0123P3011032161……………………6分甲答对试题数的数学期望为.5961321210313010E………………………………7分（II）设甲、乙两人考试合格的事件分别为A、B，则2()(2)(3),3PAPP.15141205656)(310381228CCCCBP………………………………9分因为事件A、B相互独立，甲、乙两人考试均不合格的概率为.451]15141][321[)()()(BPAPBAP………………………11分甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为.45444511)(1BAPP答：甲、乙两人于少有一人考试合格的概率为.4544…………………13分另解：甲、乙两人至少有一个考试合格的概率为.454415143215143115123)()()(BAPBAPBAPP答：甲、乙两人于少有一人考试合格的概率为.454419．（本小题满分14分）解法一：（I）依题意，设椭圆C的方程为22221xyab)0(ba33,2ccea,2a………………3分,1222cab………………4分椭圆C的方程是2214xy………………5分（II）221412xyyxm由2222214()4,222020,840,22.7xxmxmxmmm得即令得分设1122,,,AxyBxy，AB中点为00,Mxy…………9分…………10分21212222121221212012002,2254524111,,2221,2xxmxxmABxxyyxxxxmxxxmyxmmMmm则,0,1012,1233,,044MTABTtmMTABkktmtmTm设解得………………11分||45)2(521||||21.||4541161||222mmMTABSmmmMTTAB.1)1(8522m………………13分22m，当21m，即1m时，TABS取得最大值为.85………………14分解法二：（I）同解法一（II）221412xyyxm由2222214()4,222020,840,22.7xxmxmxmmm得即令得分设1122,,,AxyBxy，AB中点为00,Mxy212122,22xxmxxm………………8分01200111,,2221,2xxxmyxmmMmm………………10分MTABMT的方程为322yxm令0y，得34xm，3,04Tm………………9分设AB交x轴与点R,则