湖北省武汉二中09-10学年高二上学期期中考试（数学（理））

武汉二中2009－2010学年度上学期高二年级期中考试数学试卷（理）命题人：范向阳考试时间：2009年11月5日上午10：00---12：00本试卷满分150分，考试时长120分钟。一、选择题(每小题5分，共50分)1.光线沿直线y=2x+1的方向射到直线y=x上被反射后光线所在的直线方程是()A.122xyB.122yxC.122xyD.12xy2.设函数()sincosfxaxbx图象的一条对称轴方程为4x,则直线0axbyc的倾斜角为()A.4B.34C.3D.233.若圆C：22210xyaxy和圆221xy关于直线1yx对称,动圆P与圆C相外切且直线1x相切,则动圆圆心P的轨迹方程是()A.26220yxyB.2220yxyC.26220yxyD.22220yxy4.椭圆222212xymn和双曲线222212xymn有公共焦点，则椭圆的离心率是()A.32B.153C.64D.3065.抛物线y=4x2的准线方程是()A.y+1=0B.x+1=0C.16y+1=0D.16x+1=06.设O为坐标原点，抛物线y2=4x与过焦点的直线交于A、B两点，则OAOB=()A.34B.34C.－3D.37.椭圆22143xy上有n个不同的点:12,,,nPPP,椭圆的右焦点为F,数列||nPF是公差不小于1100的等差数列,则n的最大值是()A.198B.199C.200D.2018.设F1,F2是双曲线221(0)4xyaaa的两焦点，点P在双曲线上，∠F1PF2＝90°，若Rt△F1PF2的面积为1，那么a的值是()A.1B.52C.2D.59.抛物线22xy上离点A(0,a)最近的点恰好是顶点，这个结论成立的充要条件是()A.a≤0B.12aC.a≤1D.a≤210.已知,xyR,且2335(log3)(log5)(log2)(log3)xyyx,则x与y应满足()A.0xyB.0xyC.0xyD.0xy二、填空题(每小5分，共25分)11.若直线10(0,0)axbyab过圆22220xyxy的圆心，则11ab的最小值为.12.与圆22(2)1xy相切,且在两坐标轴上截距相等的直线共有条.13.过直线:9lyx上一点P作一长轴最短的椭圆,使其焦点为1(3,0)F,2(3,0)F,则椭圆的方程为.14.设双曲线22221(0,0)xyabab的右焦点为(,0)Fc,方程20axbxc的两个实根分别为1x和2x,则点12(,)Pxx与圆222xy的位置关系为.15.设直线系:cos(2)sin1(02)Mxy，对于下列四个命题：A.M中所有直线均经过一个定点B．存在定点P不在M中的任一条直线上C．对于任意整数n(n≥3)，存在正n边形，其所有边均在M中的直线上D．M中的直线所能围成的正三角形面积都相等其中真命题的代号是（写出所有真命题的代号）三、解答题(本大题共6小题，共75分)16.（本题12分）已知△ABC中，A点坐标（1，3），AB、AC边上的中线所在直线方程分别为210xy和y－1＝0，求△ABC各边所在直线的方程。17.（本题12分）在平面直角坐标系xOy中，已知圆221:(3)(1)4Cxy和圆222:(4)(5)4Cxy。（1）若直线l过点A（4，0），且被圆C1截得的弦长为23，求直线l的方程；（2）设P为平面上的点，满足：存在过点P的无穷多对互相垂直的直线l1和l2，它们分别与圆C1和圆C2相交，且直线l1被圆C1截得的弦长与直线l2被圆C2截得的弦长相等，试求所有满足条件的点P的坐标。18.（本题12分）已知(3,3)A，O是原点，点P（x,y）的坐标满足30,320,0.xyxyy(1)求||OAOPOA的最大值.；(2)求||OAOPzOP的取值范围.19.（本题12分）设F1,F2分别是椭圆2214xy的左、右焦点.(1)若P是该椭圆上的一个动点,求12PFPF的最大值和最小值；(2)设过定点(0,2)M的直线l与椭圆交于不同的两点A、B,且∠AOB为锐角(其中O为坐标原点),求直线l的斜率k的取值范围.20.（本题13分）已知双曲线的两条渐近线方程为直线1:2xly和2:2xly,焦点在y轴上,实轴长为23,O为坐标原点.(1)求双曲线方程；(2)设12,PP分别是直线1l和2l上的点,点M在双曲线上,且122PMMP,求三角形P1OP2的面积.21.（本题14分）已知函数2()fxpxqx,其中0,1ppq,对于数列{}na,设它的前n项和为nS,且满足*()()nSfnnN.(1)求数列{}na的通项公式,并证明*11()nnaanN；(2)求证：点123123(1,),(2,),(3,),,(,)123nnSSSSMMMMnn在同一直线l1上；(3)若过点1122(1,),(2,)NaNa作直线2l,设2l与1l的夹角为,求tan的最大值.武汉二中2009－2010学年度上学期高二年级期中考试数学试卷（理）答案一、选择题题号12345678910答案ABCDCCDACA二、填空题11．412．413．2214536xy14．点P(x1,x2)在圆x2+y2＝2外15．B、C三、解答题16．解：设AB、AC的中线分别为CD、BE，其中D、E为中点。∵B在中线y－1＝0上，∴设B点的坐标为(xB,1)，∵D为AB的中点，A（1，3），∴D的坐标为1(,2)2Bx，∵D在中线CD:x－2y+1=0上，∴1221052BBxx∴B的坐标是（5，1）………………………………（5分）∵点C在直线x－2y+1=0上，∴设C点的坐标是（2t－1，t），∴AC的中点E的坐标为3(,)2tt，∵E点在直线y－1＝0上，∴312t，则t＝－1，点C坐标是（－3，－1）………………（10分）故可求得△ABC三边所在直线方程为:270,:410,:20ABxyBCxyACxy。………………（12分）17．解：（1）由于直线x=4与圆C1不相交，所以直线l的斜率存在。设直线l的方程为y=k(x－4)，圆C1的圆心到直线l的距离为d，因为直线l被圆C1截得的弦长为23，所以222(3)1d。由点到直线的距离公式得2|1(34)|1kdk，从而(247)0kk。即k=0或724k，所以直线l的方程为y=0或7x+24y－28＝0。…………………（5分）（2）设点P（a,b）满足条件，不防设直线l1的方程为(),0ybkxak，则直线l2的方程为1()ybxak。因为圆C1和圆C2的半径相等，且直线l1被圆C1截得的弦长与直线l2被圆C2截得的弦长相等，所以圆C1的圆心到直线l1的距离和圆C2的圆心到直线l2的距离相等，则221|5(4)||1(3)|111abkabkkk。………………………………（7分）整理得|13||54|kakbkabk，从而1354kakbkabk或1354kakbkabk，即(2)3(8)5,abkbaabkab或因为k的取值范围有无穷多个。所以20,80,3050,ababbaab或解得53,,22113.22aabb或这样点只可能是点151(,)22P或点2313(,)22P。经检验点P1和P2满足题目条件。………………………………………（12分）18．（1）作出可行域如图，则||cos||OAOPOPAOPOA，又∠AOP是OAOP与的夹角，∴目标函数||OAOPOA表示OPOA在上的投影，…………3分过P作OA的垂线PH，垂足为H，当P在可行域内移动到直线30xy和直线320xy的交点(1,3)B时，OPOA在上的投影为||OH最大，此时||||2OPOB，∠AOP＝∠AOB＝6，||OAOPOA的最大值为||cos2cos36OBAOB………………………6分（2）|OA|cosAOP||OAOPzOA23cosAOP，…………………………………9分因为5[,]66AOP，所以当6AOP时，max23cos36z；当56AOP时，min523cos36z。||OAOPzOA的取值范围为[－3，3]。……………………………………12分19．（1）易知122,1,3,(3,0),(3,0)abcFF，设P(x,y)，则222221211(3,)(3,)31(38)444xPFPFxyxyxyxx……4分而[2,2]x，故当x=0时，12PFPF有最小值－2.当2x时，12PFPF有最大值1……………………6分（2）显示直线x=0不满足题意，∴可设直线1122:2,(,),(,)lykxAxyBxy联立22214ykxxy消去y得221()4304kxkx12122243,1144kxxxxkk………………7分由△2221(4)4()34304kkk得3322kk或………………①8分又090AOB，则cos00AOBOAOB即12120xxyy，又212121212(2)(2)2()4yykxkxkxxkxx21212223101144kxxyykk即2422kk………………②11分由①②得k的范围是332222kk或………………12分20．（1）依题意可设双曲线方程为：2222(0)144xyxy即则2233∴双曲线方程为221312yx……………………5分（2）设111222(2,),(2,)PyyPyy和点M（x0,y0）122PMMP12012024323yyxyyy又∵M在双曲线上220034xy2212122124()()3343yyyy整理得12278yy………………9分又直线P1P2的方程为112121222yyxyyyyy令x=0得12122yyyyy12122112121227|||(22)|2||24POPyySyyyyyy………………13分21．（1）2()nSfnpnqn当n=1时，11aspq当n≥2时，221[(1)(1)]2nnnaSSpnqnpnqnpnpq由于n=1时，1apq适合上式，故数列{an}的通项公式为2napnpq………………3分又120nnaap∴{an}是首项为p+q，公差为2p的等差数列，111nnaaapq11nnaa………………4分（2）设,()ijMMij是M1，M2，…,Mn中任意两点，则(,),(,)jiijSSMiMjij111111()()22()()()()[(1)2][(1)2]2()2()2()ijjijiijMMijijSSjaaiaajijSiSijkijijijijijijaaijaaaaaipajpijijijij＝P…………………………8分,ijMM两点连线的斜率为定值P，又,ijMM是M1，M2，…，Mn中任意两点，∴点M1，M2，……，Mn在同一直线l1上………………9分（3）∵N1,N2两点连线的斜率为212221aakp，又直线l的斜率为k1