2017-2018年人教A版选修1-2《第二章学业质量标准检测试卷》含解析

第二章学业质量标准检测时间120分钟，满分150分。一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．命题“所有有理数是无限循环小数，整数是有理数，所以整数是无限循环小数”是假命题，推理错误的原因是导学号18674269(C)A．使用了归纳推理B．使用了类比推理C．使用了“三段论”，但大前提错误D．使用了“三段论”，但小前提错误[解析]大前提是错误的，故选C．2．已知ab0，下列不等式中成立的是导学号18674270(C)A．a2b2B．ab1C．a4－bD．1a1b[解析]令a＝－2，b＝－1，满足ab0，则a2b2，ab＝21，1a1b，故A、B、D都不成立，排除A、B、D，选C．3．用火柴棒摆“金鱼”，如图所示：按照上面的规律，第n个“金鱼”图形需要火柴棒的根数为导学号18674271(C)A．6n－2B．8n－2C．6n＋2D．8n＋2[解析]归纳“金鱼”图形的构成规律知，后面“金鱼”都比它前面的“金鱼”多了去掉尾巴后6根火柴组成的鱼头部分，故各“金鱼”图形所用火柴棒的根数构成一首项为8，公差是6的等差数列，通项公式为an＝6n＋2.4．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2·an(n≥2)，而a1＝1，通过计算a2、a3、a4，猜想an＝导学号18674272(B)A．2n＋12B．2nn＋1C．22n－1D．22n－1[解析]a2＝S2－S1＝22a2－1，∴a2＝13，a3＝S3－S2＝32·a3－22·a2＝9a3－4×13，∴a3＝16.a4＝S4－S3＝42·a4－32a3＝16a4－9×16，∴a4＝110.由此猜想an＝2nn＋1.5．分析法又称执果索因法，若用分析法证明“设abc，且a＋b＋c＝0，求证b2－ac3a”，索的因应是导学号18674273(C)A．a－b0B．a－c0C．(a－b)(a－c)0D．(a－b)(a－c)0[解析]b2－ac3a，即证b2－ac3a2.∵a＋b＋c＝0，∴b＝－(a＋c)．只需证(a＋c)2－ac3a2，即证2a2－c2－ac0，即证a2－c2＋a2－ac0，即证(a＋c)(a－c)＋a(a－c)0，即证(a－c)[(a＋c)＋a]0.又b＝－(a＋c)，即证(a－c)(a－b)0.故选C．6．已知圆x2＋y2＝r2(r0)的面积为S＝πr2，由此类比椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)的面积最有可能是导学号18674274(C)A．πa2B．πb2C．πabD．π(ab)2[解析]圆的方程可以看作是椭圆方程x2a2＋y2b2＝1(ab0)中，a＝b时的情形，∵S圆＝πr2，∴类比出椭圆的面积为S＝πab.7．(2017·全国Ⅱ文，9)甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则导学号18674275(D)A．乙可以知道四人的成绩B．丁可以知道四人的成绩C．乙、丁可以知道对方的成绩D．乙、丁可以知道自己的成绩[解析]由甲说：“我还是不知道我的成绩”可推知甲看到乙、丙的成绩为“1个优秀，1个良好”．乙看丙的成绩，结合甲的说法，丙为“优秀”时，乙为“良好”；丙为“良好”时，乙为“优秀”，可得乙可以知道自己的成绩．丁看甲的成绩，结合甲的说法，甲为“优秀”时，丁为“良好”；甲为“良好”时，丁为“优秀”，可得丁可以知道自己的成绩．故选D．8．已知f1(x)＝cosx，f2(x)＝f1′(x)，f3(x)＝f2′(x)，f4(x)＝f3′(x)，…，fn(x)＝fn－1′(x)，则f2016(x)等于导学号18674276(A)A．sinxB．－sinxC．cosxD．－cosx[解析]由已知，有f1(x)＝cosx，f2(x)＝－sinx，f3(x)＝－cosx，f4(x)＝sinx，f5(x)＝cosx，…，可以归纳出：f4n(x)＝sinx，f4n＋1(x)＝cosx，f4n＋2(x)＝－sinx，f4n＋3(x)＝－cosx(n∈N*)．所以f2016(x)＝f4(x)＝sinx.9．已知各项均不为零的数列{an}，定义向量cn＝(an，an＋1)，bn＝(n，n＋1)，n∈N*.下列命题中真命题是导学号18674277(A)A．若∀n∈N*总有cn∥bn成立，则数列{an}是等差数列B．若∀n∈N*总有cn∥bn成立，则数列{an}是等比数列C．若∀n∈N*总有cn⊥bn成立，则数列{an}是等差数列D．若∀n∈N*总有cn⊥bn成立，则数列{an}是等比数列[解析]∵对∀n∈N*总有cn∥bn，则存在实数λ≠0，使cn＝λbn，∴an＝λn，∴{an}是等差数列．10．下列函数f(x)中，满足“对任意x1、x2∈(0，＋∞)，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)”的是导学号18674278(A)A．f(x)＝1xB．f(x)＝(x－1)2C．f(x)＝exD．f(x)＝ln(x＋1)[解析]若满足题目中的条件，则f(x)在(0，＋∞)上为减函数，在A、B、C、D四选项中，由基本函数性质知，A是减函数，故选A．11．已知函数f(x)＝lg1－x1＋x，若f(a)＝b，则f(－a)等于导学号18674279(B)A．bB．－bC．1bD．－1b[解析]f(x)定义域为(－1,1)，f(－a)＝lg1＋a1－a＝lg(1－a1＋a)－1＝－lg1－a1＋a＝－f(a)＝－b.12．已知f(x)＝x3＋x，a、b、c∈R，且a＋b0，a＋c0，b＋c0，则f(a)＋f(b)＋f(c)的值导学号18674280(A)A．一定大于零B．一定等于零C．一定小于零D．正负都有可能[解析]f(x)＝x3＋x是奇函数，且在R上是增函数，由a＋b0得a－b，所以f(a)f(－b)，即f(a)＋f(b)0，同理f(a)＋f(c)0，f(b)＋f(c)0，所以f(a)＋f(b)＋f(c)0.二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，将正确答案填在题中横线上)13．“因为AC、BD是菱形ABCD的对角线，所以AC、BD互相垂直且平分．”以上推理的大前提是__菱形对角线互相垂直且平分__.导学号1867428114．设函数f(x)＝xx＋2(x0)，观察：导学号18674282f1(x)＝f(x)＝xx＋2，f2(x)＝f(f1(x))＝x3x＋4，f3(x)＝f(f2(x))＝x7x＋8，f4(x)＝f(f3(x))＝x15x＋16，…根据以上事实，由归纳推理可得：当n∈N*且n≥2时，fn(x)＝f(fn－1(x))＝x2n－1x＋2n.[解析]由已知可归纳如下：f1(x)＝x21－1x＋21，f2(x)＝x22－1x＋22，f3(x)＝x23－1x＋23，f4(x)＝x24－1x＋24，…，fn(x)＝x2n－1x＋2n.15．由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则：导学号18674283①“mn＝nm”类比得到“a·b＝b·a”；②“(m＋n)t＝mt＋nt”类比得到“(a＋b)·c＝a·c＋b·c”；③“t≠0，mt＝nt⇒m＝n”类比得到“c≠0，a·c＝b·c⇒a＝b”；④“|m·n|＝|m|·|n|”类比得到“|a·b|＝|a|·|b|”；⑤“(m·n)t＝m(n·t)”类比得到“(a·b)·c＝a·(b·c)”；⑥“acbc＝ab”类比得到“a·cb·c＝ab”．以上类比得到的结论正确的是__①②__.[解析]①②都正确；③⑥错误，因为向量不能相除；④可由数量积定义判断，所以错误；⑤向量中结合律不成立，所以错误．16．观察下列等式：导学号186742841＝113＝11＋2＝313＋23＝91＋2＋3＝613＋23＋33＝361＋2＋3＋4＝1013＋23＋33＋43＝1001＋2＋3＋4＋5＝1513＋23＋33＋43＋53＝225……可以推测：13＋23＋33＋…＋n3＝n2n＋124.(n∈N*，用含有n的代数式表示)[解析]由条件可知：13＝12,13＋23＝9＝32＝(1＋2)2,13＋23＋33＝36＝62＝(1＋2＋3)2，…，不难得出．13＋23＋33＋…＋n3＝(1＋2＋3＋…＋n)2＝[nn＋12]2＝n2n＋124.三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本题满分10分)已知a、b、c∈R＋，求证：a2＋b2＋c23≥a＋b＋c3.导学号18674285[解析]分析法：要证a2＋b2＋c23≥a＋b＋c3，只需证：a2＋b2＋c23≥(a＋b＋c3)2，只需证：3(a2＋b2＋c2)≥a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca，只需证：2(a2＋b2＋c2)≥2ab＋2bc＋2ca，只需证：(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2≥0，而这是显然成立的，所以a2＋b2＋c23≥a＋b＋c3成立．综合法：∵a、b、c∈R＋，∴(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2≥0，∴2(a2＋b2＋c2)≥2(ab＋bc＋ac)，∴3(a2＋b2＋c2)≥a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ac，∴3(a2＋b2＋c2)≥(a＋b＋c)2，∴a2＋b2＋c23≥a＋b＋c3.18．(本题满分12分)(1)类比“等差数列”给出“等和数列”的定义；导学号18674286(2)探索等和数列{an}的奇数项与偶数项各有什么特点，并加以说明．[解析](1)如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的和等于同一个常数，那么这个数列就叫做等和数列．(2)由(1)知an＋an＋1＝an＋1＋an＋2，∴an＋2＝an.∴等和数列的奇数项相等，偶数项也相等．19．(本题满分12分)某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数.导学号18674287(1)sin213°＋cos217°－sin13°cos17°.(2)sin215°＋cos215°－sin15°cos15°.(3)sin218°＋cos212°－sin18°cos12°.(4)sin2(－18°)＋cos248°－sin(－18)°cos48°.(5)sin2(－25°)＋cos255°－sin(－25)°cos55°.①试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；②根据①的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论．[解析]①选择(2)式计算如下sin215°＋cos215°－sin15°cos15°＝1－12sin230°＝34.②三角恒等式为sin2α＋cos2(30°－α)－sinαcos(30°－α)＝34.证明如下：sin2α＋cos2(30°－α)－sinαcos(30°－α)＝sin2α＋(cos30°cosα＋sin30°sinα)2－sinα(cos30°cosα＋sin30°sinα)＝sin2α＋34cos2α＋32sinαcosα＋14sin2α－32sinαcosα－12sin2α＝34sin2α＋34cos2α＝34.20．(本题满分12分)已知△ABC的三个内角A、B、C为等差数列，且a，b，c分别为角A、B、C的对边.导学号18674288求证：(a＋b)－1＋(b＋c)－1＝3(a＋b＋c)－1.[分析]利用分析法得出c2＋a2＝b2＋ac，再利用综合法证明其成立．[解析]要证(a＋b)－1＋(b＋c)－1＝3(a＋b＋c)－1，即证1a＋b＋1b＋c＝3a＋b＋c，只需证a＋b＋ca＋b＋a＋b＋cb＋c＝3.化简，得ca＋b＋ab＋c＝1，即c(b＋c)＋(a＋b)a＝(a＋b)(b＋c)，所以只需证c2＋a2＝b2＋ac.因为△ABC的三个内角A，B，C成等差数列，所以B＝60°，所以cosB＝a2＋c2－b2