重庆市西南师大附中2010届高三第四次月考理科数学2009.12

重庆市西南师大附中2010届高三第四次月考数学试题(理)2009年12月（满分：150分时间：120分钟）一、选择题（每小题5分，共50分）1．设A={(x,y)|x–y=6}，B={(x,y)|3x+2y=7}，满足CAB的集合C的个数为（）A．0B．1C．2D．42．已知a=（–2，1），b=（–1，2），而（λa+b）⊥（a–λb），则λ等于（）A．1或2B．2或21C．1或–1D．–1或23．直线260axy与直线2(1)(1)0xaya平行，则a等于（）A．－1或2B．2C．－1D．234．若110ab，则下列结论不正确的是（）A．22abB．2abbC．2baabD．||||||abab5．不等式3log(1)2xx的解集是（）A．{x|x1}B．{x|3x4或x4}C．{x|4x≤5}D．{x|2≤x≤5}6．当x、y满足约束条件0,,20xyxxyk（k为常数）时，能使3zxy的最大值为12的k的值为（）A．－9B．9C．－12D．127．直线l在x轴与y轴上的截距相等，且点P（3，4）到直线l的距离恰好为4，则满足条件的直线有（）A．1条B．4条C．2条D．3条8．已知当Rx时，函数()yfx满足1(2.5)(1.5)3fxfx，且4(1)3f，则(2010)f的值为（）A．20103B．20143C．671D．2689．三个实数x、y、z成等比数列，若x+y+z=1成立，则y取值范围是（）A．[31，+∞)(，–1]B．[–1，0)(0，31]C．[–31，0]D．[–31，0)(0，1]10．已知：如图：平面上两点P（0，1）、Q（3，6），在直线y=x上取两点M、N，使||2MNa（a0，a为常数）且使||||||PMMNNQ的值取最小，则N的坐标为（）A．（2a，2a）B．（a，a）C．（314a，314a）D．（3324a，3324a）二、填空题（每小题5分，共25分）11．不等式5(3)02xxx的解集为______________．12．已知函数2()3sin(2)2sin()()612fxxxxR，则函数()fx的最小正周期为________________．13．ABC的三内角A、B、C所对边的长分别为a、b、c，设向量(,)pacb，(,)qbaca,若//pq，则角C的大小为．14．设x，y，z满足约束条件组1010232xyzxyxz则t=5x+6y+4z的最大值为．15．过△ABO的重心G的直线与OA、OB两边分别交于P、Q两点，且此直线不与AB边平行，设OP=mOA，OQ=nOB，求11mn的值．三、解答题（共75分）16．(12分)在△ABC中，｜AB｜＝｜AC｜，∠A＝120°，A（0，2），BC所在直线方程为3x－y－1＝0，求边AB、AC所在直线方程．P(0,1)Q(3,6)MNy=xxy17．(12分)已知向量a与b的夹角为30°，且|a|＝3，|b|＝1，(1)求|a－2b|的值；(2)设向量p＝a＋2b，q＝a－2b，求向量p在q方向上的投影．18．(12分)已知mR，2(1,)axm，1(1,)bmx，(,)xcmxm．(1)当1m时，求使不等式1ac成立的x的取值范围；(2)当m﹥0时，求使不等式0ab成立的x的取值范围．19．(13分)已知函数xxf)(，axxg)(（a0）(1)求a的值，使点M（)(xf,)(xg）到直线01yx的最短距离为2；(2)若不等式1)()()(xfxagxf在x[1，4]恒成立，求a的取值范围．20．(13分)已知点A，B的坐标分别是（0，–1），（0，1），直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积为12．(1)求点M的轨迹C的方程；(2)过D（2，0）的直线l与轨迹C有两不同的交点时，求l的斜率的取值范围；(3)若过点D（2，0）的直线l与(1)中的轨迹C交于不同的两点E、F（E在D、F之间），试求ODE与ODF面积之比的取值范围（O为坐标原点）；21．(13分)已知曲线C：2()nfxxAA上的点、的横坐标分别为1和(123)nan，，，，且a1=5，数列{xn}满足xn+1=tf(xn–1)+1（t0且112tt,）．设区间[1,](1)nnnDaa，当nnxD时，曲线C上存在点(())nnnPxfx，使得xn的值与直线AAn的斜率之半相等．(1)证明：{1log(1)}tnx是等比数列；(2)当1nDÜnD对一切*nN恒成立时，求t的取值范围；(3)记数列{an}的前n项和为Sn，当14t时，试比较Sn与n+7的大小，并证明你的结论．西南师大附中高2010级第四次月考数学试题参考答案（理）编辑人：吕晓琴2009年12月一、选择题（每小题5分，共50分）1．C2．C3．C4．D5．C6．A7．B8．C9．B10．D二、填空题（每小题5分，共25分）11．{5}[3,)12．13．314．915．3三、解答题（共75分）16．解：由题意得∠B＝∠C＝30°，设AB边斜率的夹角公式得|313kk|＝33从而得k=33···············································································10分又AB斜率不存在时也适合题意∴AB边所在直线方程为y＝33x+2和x＝0.····································12分17、解：(1)∵|a－2b|=2)2(ba=baba4422=233443=1··6分(2)法一：由（1）可知21qab；2(2)13pab；2241pqab∴qp,cos=pqpq=1313从而在方向上的投影为cos,1ppq··········································12分（法二）：∵由（1）可知21qab；cos,ppq=pqppq=1pq18．解：(1)当1m时，2(1,1)ax，(1,)1xcx.2(1)11xxacx21xx.∵211acxx,∴2211,11.xxxx解得21x或01x.∴当1m时，使不等式1ac成立的x的取值范围是2101xxx或.·······························································6分(2)∵22(1)(1)()(1)0xmxmxmxxmabmxxx∴当01m时，(0,)(1,)xm当m＝1时，(0,1)(1,)x当m1时，(0,1)(,)xm.················································12分19．解：(1)由题意得M到直线01yx的距离2|1|axxd，令0xt则2|45)21(|2|1|22atattd∵0t∴1a时，215|()|12422taa即t=0时，221minad∴a=310a时，0mind，不合题意综上3a················································································6分（2）由2)()(01)()()(11)()()(xfxagxfxagxfxfxagxf即]4,1[22在xaax上恒成立也就是xaax22在[1，4]上恒成立令0tx，且2tx，]2,1[t由题意0222atat在]2,1[t上恒成立设222)(atatt，则要使上述条件成立，只需)12(20044)2(02)1(22aaaaa即满足条件的a的取值范围是]222,0(····································13分20．解：(1)设点M的坐标为(,)xy，∵12AMBMkk，∴1112yyxx．整理，得2212xy（0x），这就是动点M的轨迹方程．················4分(2)由题意知直线l的斜率存在，设l的方程为2ykx（12k）①将①代入1222yx，得0)28(8)12(2222kxkxk（*）由0，解得211112(,)(,)(,)222222k．·····························8分(3)由（*）式得设11,Exy，22,Fxy，则.1228,12822212221kkxxkkxx②令ODEODFSS，则||||DEDF，即DEDF，即1222xx，且01.由②得，12212121224(2)(2),2122)(2)2()4.21xxkxxxxxxk（即22222412,2122.21xkxk22222141,(1)8(1)2kk即．2102k且214k24110(1)22且2411(1)24．解得322322且1301，3221且13．∴△OBE与△OBF面积之比的取值范围是11[322,)(,1)33．········13分21．解：(1)∵由已知得∴2112,1.12nnnnnaaxxa即由211)1(1,1)1(nnnnxtxxtfx得∴),1(log21)1(log1ntntxx即].1)1([log21)1(log1ntntxx∴}1)1({logntx是首项为tlog2+1为首项，公比为2的等比数列.·····4分(2)由(1)得1)1(logntx=（tlog2+1）·2n-1，∴1211(2)nnxtt从而an=2xn－1=1+12)2(2ntt，由Dn+1ÜDn，得an+1an，即122(2)(2)nntt.∴02t1，即0t.21····································································9分(3)当41t时，12118()2nna∴])21()21()21(21[81242nnSn不难证明：当n≤3时，2n-1≤n+1；当n≥4时，2n-1n+1.∴当n≤3时，;7213])21()21(21[842nnnSn当n≥4时，])21()21()21()21()21(21[816542nnnS.7)21(72nnn综上所述，对任意的.7*,nSNnn都有····································13分