2018版高中数学专题09解密含参函数的单调性特色训练新人教A版选修1_1

专题09解密含参函数的单调性一、选择题1．【湖北省重点高中联考协作体2017年秋季高三期中考】若函数212xfxkex在区间0,单调递增，则实数k的取值范围是（）A.1,eB.0,C.1,eD.0,【答案】C]∴max11gxge。∴1ke。选C。点睛：函数的单调性与导函数的关系（1）若在,ab内0(0)fx，则fx在,ab上单调递增（减）．（2）fx在,ab上单调递增（减）'0fx（0）在,ab上恒成立，且在,ab的任意子区间内都不恒等于0．（3）若函数fx在区间,ab内存在单调递增（减）区间，则0(0)fx在,ab上有解．2．【山东省桓台第二中学2018届高三9月月考】“2a”是“函数222fxxax在区间,2内单调递减”的（）A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】当2a时，'24fxx，令2402xx，当函数222fxxax在区间,2内单调递减时，只需'220fxxa在区间,2恒成立，故2a即可，所以选B3．【山东省桓台第二中学2018届高三9月月考】若函数lnfxkxx在区间2,单调递增，则k的取值范围是（）.A.,2B.1,2C.2,D.1,2【答案】B4．【河北省鸡泽县第一中学2017学年高一上学期第二次月考】若二次函数f（x）=x2+ax+4在区间（-∞，3）单调递减，则a的取值范围是（）A.（-6，+∞）B.[-6，+∞）C.（-∞，-6）D.（-∞，-6]【答案】D【解析】二次函数的单调区间和函数的对称轴有关系，此函数的对称轴是，函数在上是减函数，故要求故故结果为D.二、填空题5．【2017-2018学年高中数学（苏教版）选修1－1阶段质量检测】若函数f(x)＝2x2－lnx在其定义域的一个子区间(k－1，k＋1)内不是单调函数，则实数k的取值范围是________．【答案】31,2【解析】∵f′(x)＝4x－1x＝241xx，x0，∴当0x12时，f′(x)0，f(x)为减函数，当x12时，f′(x)0，f(x)为增函数，依题意得10121{1211kkkk∴1≤k32.答案：3[12，6．【2017-2018学年高中数学（苏教版）选修1－1阶段质量检测】已知函数f(x)＝－x3＋ax2－x＋18在(－∞，＋∞)上是单调函数，则实数a的取值范围是________．【答案】3,3【解析】由题意得f′(x)＝－3x2＋2ax－1≤0在(－∞，＋∞)上恒成立，因此Δ＝4a2－12≤0⇒－3≤a≤3，所以实数a的取值范围是3,3．答案：3,37．【2017-2018学年高中数学（苏教版）选修1－1阶段质量检测】若函数23kkhxxx在(1，＋∞)上是增函数，则实数k的取值范围是________．【答案】[－2，＋∞)8．【河南省天一大联考2018届高三上学期阶段性测试】若函数在上单调递增，则实数的取值范围为__________．【答案】【解析】在上恒成立，所以最大值令，则，当时点睛：函数单调性问题，往往转化为导函数符号是否变号或怎样变号问题，即转化为方程或不等式解的问题（有解，恒成立，无解等），而不等式有解或恒成立问题，又可通过适当的变量分离转化为对应函数最值问题.三、解答题9．【甘肃省会宁县第一中学2018届高三上学期第三次月考】设a为实数，函数e22,.xfxxaxR(1)求fx的单调区间与极值；(2)求证：当ln21a且0x时，2e21.xxax【答案】（1）见解析；（2）见解析试题解析：（1）解：由e22,xfxxaxR知，e2,xfxxR．令0fx，得ln2x.于是，当x变化时，fx和fx的变化情况如下表：,ln2ln2ln2,fx0+fx单调递减22ln22a单调递增故fx的单调递减区间是,ln2，单调递增区间是ln2,．fx在ln2x处取得极小值，极小值为ln222ln22fa．（２）证明：设2e21,xgxxaxxR，于是e22,xgxxaxR，由（1）知，对任意xR,都有0gx，所以gx在R内单调递增，于是，当ln21a时，对任意0,x，都有0gxg，而00g，从而对任意0,x，都有0gx，即2e210,xxax故2e21.xxax10．已知函数22mxfxxm，且0m．（Ⅰ）当1m时，求曲线yfx在点00，处的切线方程；（Ⅱ）求函数fx的单调区间；（Ⅲ）若函数fx有最值，写出m的取值范围．（只需写出结论）【答案】(1)0xy;(2)详见解析;(3)0m【解析】试题分析：（Ⅰ）求导，利用导数的几何意义进行求解；（Ⅱ）求导，利用分类讨论思想讨论导函数的符号变换，进而得到函数的单调区间；（Ⅲ）根据前一问直接给出答案即可.（Ⅱ）因为22mxfxxm，所以2222xmfxmxm.当0m时，定义域为,,,mmmm.且22220xmfxmxm故fx的单调递减区间为,,,,,mmmm……5分当0m时，定义域为R.当x变化时，fx，fx的变化情况如下表：x,mm,mmm,mfx—0+0—fx单调减极小值单调增极大值单调减故fx的单调递减区间为,m，,m，单调递增区间为,mm．综上所述，当0m时，fx的单调递减区间为,,,,,mmmm；当0m时，故fx的单调递减区间为,m，,m，单调递增区间为,mm．（Ⅲ）0m11．【河南省郑州市第一中学2018届高三上学期期中】已知函数ln111fxxkx.（1）求函数fx的单调区间；（2）若0fx恒成立，试确定实数k的取值范围；（3）证明：ln2ln3ln4345*1lnN,114nnnnnn.【答案】（1）见解析；（2）1k；（3）见解析.试题解析：（1）定义域为1,，1111kkxfxkxx若0k，101fxkx，fx在1,上单调递增若0k，11kkxkfxx，所以，当0fx时，111xk，当0fx时，11xk综上：若0k，fx在1,上单调递增；若0k，fx在11,1k上单调递增，在11,k上单调递减点睛：（1）导数综合题中对于含有字母参数的问题，一般用到分类讨论的方法，解题时要注意分类要不重不漏；（2）对于恒成立的问题，直接转化为求函数的最值即可；（3）对于导数中，数列不等式的证明，解题时常常用到前面的结论，需要根据题目的特点构造合适的不等式，然后转化成数列的问题解决，解题时往往用到数列的求和.12．【吉林省吉化一中、前郭五中等2017-2018学年高二上学期期中】已知函数22ln1fxxaxaxa.（1）证明：函数fx在区间1,上是减函数；（2）当1a时，证明：函数fx只有一个零点.【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析.【解析】试题分析：（1）只需证明f(x)的导函数0fx恒成立，且不恒等于0.注意定义域和参数a的范围。（2）当1a时，2lnfxxxx，其定义域是0,，通过求导分析函数的单调性及极值可知函数f(x)的图像与x轴相切于（1,0）点，其余点均在x轴下方，所以只有一个零点。试题解析：（1）显然函数22lnfxxaxax的定义域为0,.∴21'2fxaxax2221121axaxaxaxxx.∵1a，1x，∴210ax，10ax，∴'0fx，所以函数fx在1,上是减函数.【点睛】当0fx在某个区间D上恒成立时，f(x)在区间D上单调递增，当0fx在某个区间D上恒成立时，f(x)在区间D上单调递减。求函数零点问题，一般利用导数分析函数单调性与极值等图像特征，再根据零点存在性定理分析函数零点个数。13．已知函数1(0)fxnxaxa．（Ⅰ）当1a时，求曲线yfx在点1,1f处的切线方程；（Ⅱ）求函数fx的单调区间；（Ⅲ）如果0fx，在0,4上恒成立，求a的取值范围．【答案】（Ⅰ）1y（Ⅱ）当0a时，fx的单调递增区间为0,；当0a时，fx的单调递增区间为10,a，单调递减区间为1,a；（Ⅲ）1ae【解析】试题分析：（Ⅰ）求出函数的导数，分别计算f（1），f′（1）的值，求出切线方程即可；（Ⅱ）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；（Ⅲ）如果0fx在0,4上恒成立，即lnxax在0,4恒成立，根据函数的单调性求出a的范围即可②当0a时，0fx，得1xa，在区间10,a上，0fx，在区间1,a上，0fx，所以fx的单调递增区间为10,a，单调递减区间为1,a；（Ⅲ）如果0fx在0,4上恒成立，即lnxax在0,4恒成立，令lnxhxx，0,4x，21lnxhxx，令0hx，解得：0xe，令0hx，解得：4ex，故hx在0,e递增，在,4e递减，故1maxhxhee，故1ae．点睛：本题考查了利用导数研究曲线上某点处的切线方程，考查了利用导数研究函数的单调性，训练了利用分离变量法求参数的取值范围，构造函数并用导数求其最值是解答（Ⅲ）的关键.14．已知ln0axfxax，（1）写出fx的定义域.（2）求fx的单调区间.【答案】（1）0,（2）见解析【解析】试题分析：（1）根据定义域求法即得（2）求单调区间可通过解导函数大于零和小于零的不等式得到单调区间，但要注意分a大于零和小于零的情况②当0a时，在0,e上0fx；在,e上0fxfx的递增区间为,e；递减区间为0,e15．【山东省桓台第二中学2018届高三9月月考】设2ln21fxxxaxax，aR.（1）令'gxfx，求gx的单调区间；（2）已知fx在1x处取得极大值，求实数a的取值范围.【答案】（1）见解析；（2）12a.【解析】试题分析：（1）求函数的单调区间主要是先求出函数的导函数，根据导函数大于零和小于零分别解出所对应的增减区间，但要含参问题时则要注意讨论，由1122axgxaxx，根据a的不同取值尽享讨论即可得出单调区间（2）已知fx在1x处取得极大值，故10f.，然后根据第一问单调性的讨论验证函数是否在1处取得极大值即可得出正确a的取值范围（2）由（1）知，10f.①当a0时，fx单调递增.所以当0,1x时，'0fx，fx单调递减.当1,x时，0f