工程数学总结

线线线性性性代代代数数数总总总结结结第第第一一一章章章行行行列列列式式式一一一.行行行列列列式式式的的的定定定义义义定定定义义义把n2个数aij(i=1,···,n;j=1,···,n)排成n行n列,按照下式D=a11a12...a1na21a22...a2n............an1an2...ann=∑(−1)[i1i2···in]a1i1a2i2···anin计算得到的一个数,称为n阶行列式,简记为D=det(aij)或D=|aij|,其中表示对所有n元排列求和.注注注：：：1◦此和式共有n!项；2◦每一项都是位于不同行不同列的n个元素的乘积；3◦每一项的正负由列下标排列的奇偶性决定。要要要点点点：：：1.如何写出上述和式中的所有项：即n元排列的所有可能组合；2.如何判断每一项的符号：计算一个排列的逆序数→判断一个排列的奇偶性→判断行列式中任一项的正负。二二二.行行行列列列式式式的的的性性性质质质性性性质质质1.行列式与它的转置行列式相等,即D=DT.性性性质质质2.互换行列式两行，行列式变号，记作ri↔rj.推论1.若行列式的任意两行相同,则行列式为0;推论2.若行列式的任意两行成比例,则行列式为0.性性性质质质3.行列式某一行所有元素都乘以同一数k，等于用k乘此行列式，记作ri×k.1性性性质质质4.若行列式中某一行是两组数的和,则这个行列式等于两个行列式之和,其中这两个行列式分别以这两数为该行,而其余各行与原行列对应各行相同.即a11a12...a1n............ai1+bi1ai2+bi2...ain+bin............an1an2...ann=a11...a1n......ai1...ain......an1...ann+a11...a1n......bi1...bin......an1...ann性性性质质质5.把行列式的第j行元素的k倍加到第i行的对应元素上,行列式的值不变.即a11a12...a1n............ai1ai2...ain............aj1aj2...ajn............an1an2...ann=a11a12...a1n............ai1+kaj1ai2+kaj2...ain+kajn............aj1aj2...ajn............an1an2...ann记作ri+krj.注注注:上述所有性质对列同样成立.相应的运算符号可记为ci↔cj;ci×k;ci+k×ci.要要要点点点：：：应用行列式的性质简化行列式的计算。三三三.行行行列列列式式式的的的计计计算算算（一）用定义计算行列式.（二）用性质计算行列式.1.直接利用行列式的性质可计算行列式的值为0.2注注注:这种问题常常可以利用行列式的下列性质:(i)若行列式中有一行(列)的元素全为0,则行列式为0.(ii)若行列式中有两行(列)相同,则行列式为0.(iii)若行列式中有两行(列)成比例,则行列式为0.2.利用性质消零化三角形.⋆以主对角线为轴的上/下三角形行列式：a11a12...a1;n−1a1n0a22...a2;n−1a2n......···......00···0ann=a110...00a21a22...00......···......an1an2···an;n−11ann=a11a22···ann⋆以副对角线为轴的上/下三角形行列式：a11a12...a1;n−1a1na21a22...a2;n−10......···......an10···00=00...0a1n00...a2;n−1a2n......···......an1an2···an;n−1ann=(−1)n(n1)2a1na2;n−1···an1♠几种特殊形式的行列式:(a)各行(列)元素之和均相等的行列式.方法：把各列(行)都加到第1列(行),并提出第1列(行)的公因子,则第1列(行)各元素全化成了1,然后再进一步进行化零运算.(b)箭形行列式.方法：若主对角线上元素全不为零，则将每一列的−ai1aii倍加至第一列，则行列式化为三角形行列式；若主对角线上某元素为零，如aii=0，则将行列式按第i行展开即可.3(c)分块对角行列式和分块上(下)三角行列式.⋆基本结论：D1D2...Dm=D1D2···Dm;D1ABD2C0D3=D1D2D3.(D1,D2,···,Dm是任意阶行列式).（三）行列式按行（列）展开法则.∑akiAkj=Dδij=D,当i=j时；0,当i̸=j时.注注注:利用这一法则,使高阶行列式的计算转化为低阶行列式的计算,因此也称其为降阶法.这是计算高阶行列式的一个基本方法.4第第第二二二章章章矩矩矩阵阵阵及及及其其其运运运算算算一一一.矩矩矩阵阵阵的的的概概概念念念定定定义义义由m×n个数排成m行n列矩行的表a11a12···a1na21a22···a2n············an1an2···ann称为一个m×n矩阵，记作A.其中aij称为第i行第j列元素。♠几种特殊形式的矩阵:(a)零矩阵：所有元素均为零。(b)对角矩阵：对角线上元素不全为零，对角线以外元素全部为零，记作A=diag(a11,a22,···,ann)。⋆单位矩阵：En=diag(1,1,···,1)⋆纯量矩阵：A=diag(c,c,···,c)(c)上/下三角矩阵(d)行/列矩阵：只有一行或只有一列的矩阵。二二二.矩矩矩阵阵阵的的的运运运算算算（一）矩阵的加法：C=A±B=(aij±bij)m×n.N运算规律:设A,B,C是同型矩阵，则(i)A+B=B+A;（加法交换律）(ii)(A+B)+C=A+(B+C);（加法结合律）(iii)A+O=O+A=A,其中O与A同型;（零矩阵的作用）(iv)A+(−A)=0.(负矩阵的作用)（二）矩阵的数乘：λA=(λaij)m×n.N运算规律:(v)1A=A,0A=0;5(vi)(λµ)A=λ(µA);(关于数乘因子满足结合律）(vii)(λ+µ)A=λA+µA;(关于数乘因子满足分配律）(viii)λ(A+B)=λA+λB.(关于矩阵满足分配律）（三）矩阵的乘法：设A=(aij)m×s,B=(bij)s×n，则C=AB=(cij)m×n，其中cij=ai1b1j+ai2b2j+···+aisbsj。注注注：：：1◦只有当\左矩阵的列数=右矩阵的行数时,两矩阵才能相乘且\乘积矩阵的行数=左矩阵的行数；乘积矩阵的列数=右矩阵的列数.2◦特殊地，行矩阵与的列矩阵的乘积是一个数,即:(ai1ai2···ais)b1jb2j...bsj=ai1b1j+ai2b2j+···+aisbsj.3◦一般情况下,AB̸=BA：(i)AB与BA其中之一没有意义;(ii)AB与BA都有意义，但不同型；(iii)AB与BA同型，但不相等。4◦消去律不成立。N运算规律:(i)EmAm×n=Am×nEn=Am×n;(单位矩阵的作用)(ii)OA=AO=O;(零矩阵作用）(iii)(AB)C=A(BC);(乘法结合律)(iv)λ(AB)=(λA)B=A(λB);(数因子的位置任意)(v)(A+B)C=AC+BC,A(B+C)=AB+AC.(分配率)（四）矩阵的幂与多项式：设A∈Mn，则Ak+1=AkA,k=1,2,···f(A)=anAn+an−1An−1+···+a1A+a0I.6N运算规律:(i)AkAl=Ak+l;(ii)(Ak)l=Akl.注注注：：：由于矩阵乘法不满足交换律,所以下列等式未必成立:(AB)k=AkBk,(A+B)2=A2+2AB+B2(其中A,B为n阶方阵，k为正整数)。（五）矩阵的转置：设A=(aij)m×n，则AT=(aji)n×m.N运算规律:(i)(AT)T=A;(ii)(A+B)T=AT+BT;(iii)(λA)T=λAT;(iv)(AB)T=BTAT,(A1A2···Am)T=ATmATm−1···AT2AT1.♠对称/反对称矩阵：设A∈Mn。若AT=A，则称A为对称矩阵;若AT=−A,则称A为反对称矩阵.要要要点点点：：：利用对称/反对称矩阵的定义证明给定某个形式的矩阵是对称或反对称的。（六）矩阵的行列式：由n阶矩阵A=(aij)n×n的元素所构成的行列式(各元素的位置不变)，称为方阵A的行列式，记为|A|或detA。N运算规律:(i)|AT|=|A|;(ii)|λA|=λn|A|;(iii)|AB|=|BA|=|A||B|.♠伴随矩阵：行列式|A|的各个元素的代数余子式Aij所构成的矩阵A∗=A11A21···An1A12A22···An2············A1nA2n···Ann7称为A的伴随矩阵.N性质:AA∗=A∗=|A|E.要要要点点点：：：利用这一性质证明矩阵、伴随矩阵与逆矩阵之间的关系。（七）矩阵的初等变换定定定义义义矩阵的初等行变换和初等列变换统称为矩阵的初等变换。其中初等行变换分别包含以下三种：(i)对称变换：互换矩阵第i行与第j行的位置，记作ri↔rj；(ii)数乘变换：用一个非零常数k乘矩阵的第i行，记作ri×k；(iii)倍加变换：将矩阵的第j行元素的k倍加到第i行上，记作ri+krj。把上述三种行变换换为列即三种初等列变换。定定定义义义单位矩阵E经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵，可分别记作E(i,j),E(i(k)),E(ij(k))。注注注：：：1◦单位矩阵E经初等行变换和初等列变换的对称变换和数乘变换所得的初等举证形式完全一样，即均是E(i,j),E(i(k))。但对于倍加变换，则不完全相同。具体地，初等矩阵E(ij(k))表示矩阵的第j行元素的k倍加到第i行上，或矩阵的第i列元素的k倍加到第j列。2◦初等矩阵都可逆且其逆矩阵也都是可逆矩阵，其逆阵为：E(i,j)−1=E(i,j);E(i(k))−1=E(i(1k));E(ij(k))−1=E(ij(−k))定定定义义义若矩阵A经过初等变换化为矩阵B,则称A与B等价。N初初初等等等变变变换换换的的的性性性质质质（1）任意一个矩阵经过初等行变换一定可以化为行阶梯形矩阵和行最简形矩阵，进一步通过初等列变换还可化为标准型。（2）设A是一个m×n矩阵,对A施行一次初等行变换，相当于在A的左边乘以相应的m阶矩阵；对A施行一次列初等变换，相当于在A的右边乘以相应的n阶初等矩阵。8（3）设A是一个m×n的矩阵，则存在m阶可逆矩阵P和n阶可逆矩阵Q，使PAQ=Er000，即等价于标准形。（4）可逆矩阵A可表示成有限个初等矩阵的乘积。（5）若A是一个可逆的n阶矩阵，则A等价于单位矩阵En。要要要点点点：：：矩阵的初等变换可用于求解矩阵的秩、求解线性方程组，是矩阵两大运算之一。三三三.矩矩矩阵阵阵的的的秩秩秩定定定义义义设在矩阵A中有一个不等于0的阶子式D，且所有r+1阶子式(如果存在的话)全等于0，则称D为A的最高阶非零子式，并称其阶数r为矩阵A的秩，记作R(A)=r。注注注：：：矩阵的秩唯一，但最高阶非零子式并不唯一。N矩矩矩阵阵阵秩秩秩的的