高中数学人教B版学案：第2章-2.3.2-第2课时-等比数列前n项和的性质及应用-Word版含答案

高中数学课程第2课时等比数列前n项和的性质及应用学习目标：1.掌握等比数列前n项和的性质的应用．(重点)2.掌握等差数列与等比数列的综合应用．(重点)3.能用分组转化方法求数列的和．(重点、易错点)[自主预习·探新知]等比数列前n项和的性质性质一：若Sn表示数列{an}的前n项和，且Sn＝Aqn－A(Aq≠0，q≠±1)，则数列{an}是等比数列．性质二：若数列{an}是公比为q的等比数列，则①Sn＋m＝Sn＋qnSm.②在等比数列中，若项数为2n(n∈N＋)，则S偶S奇＝q.③Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等比数列．[基础自测]1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)等比数列{an}共2n项，其中奇数项的和为240，偶数项的和为120，则该等比数列的公比q＝2.()(2)已知等比数列{an}的前n项和Sn＝a·3n－1－1，则a＝1.()(3)若数列{an}为等比数列，则a1＋a2，a3＋a4，a5＋a6也成等比数列．()(4)若Sn为等比数列的前n项和，则S3，S6，S9成等比数列．()[解析](1)错误．因为由等比数列前n项和的性质S偶S奇＝q，得q＝120240＝12.(2)错误．因为由Sn＝a11－qn1－q＝－a11－qqn＋a11－q，知在Sn＝a·3n－1－1＝a3·3n－1中a3＝1，故a＝3.(3)正确．因为a3＋a4＝q2(a1＋a2)，a5＋a6＝q4(a1＋a2)，所以a1＋a2，a3＋a4，a5＋a6成等比数列．(4)错误．因为在等比数列中Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等比数列，故S3，S6－S3，S9－S6成等比数列．高中数学课程[答案](1)×(2)×(3)√(4)×2．已知等比数列{an}的公比q＝13，则a1＋a3＋a5＋a7a2＋a4＋a6＋a8＝________.3[∵q＝a2a1＝a4a3＝a6a5＝a8a7，∴a1＋…＋a7a2＋…＋a8＝1q＝3.]3．等比数列{an}的前5项和S5＝10，前10项和S10＝50，则它的前15项和S15＝________.210[法一：由等比数列前n项和的性质知S5，S10－S5，S15－S10成等比数列，故(S10－S5)2＝S5(S15－S10)，即(50－10)2＝10(S15－50)，解得S15＝210.法二：设数列{an}的首项为a1，公比为q，显然q≠1，则a11－q51－q＝10，①a11－q101－q＝50，②由①÷②得1＋q5＝5，所以q5＝4，代入①得a11－q＝－103，所以S15＝a11－q151－q＝－103×(1－43)＝210.][合作探究·攻重难]等比数列前n项和Sn的函数特征设f(n)＝2＋24＋27＋…＋23n＋1(n∈N＋)，则f(n)等于()A．27(8n－1)B．27(8n＋1－1)高中数学课程C．27(8n＋2－1)D．27(8n＋3－1)[解析]f(n)＝2＋24＋27＋…＋23n＋1＝21－8n＋11－8＝27(8n＋1－1)．[答案]B[规律方法]数列是一个特殊的函数，数列的通项公式和数列前n项和公式都是关于n的函数.所以利用函数的思想解题，是解决数列问题的基本方法.[跟踪训练]1．若{an}是等比数列，且前n项和为Sn＝3n－1＋t，则t＝________.－13[显然q≠1，此时应有Sn＝A(qn－1)，又Sn＝13·3n＋t，∴t＝－13.]等比数列前n项和性质的应用已知等比数列前n项，前2n项，前3n项的和分别为Sn，S2n，S3n，求证：S2n＋S22n＝Sn(S2n＋S3n)．[证明]法一：设此等比数列的公比为q，首项为a1，当q＝1时，Sn＝na1，S2n＝2na1，S3n＝3na1，∴S2n＋S22n＝n2a21＋4n2a21＝5n2a21，Sn(S2n＋S3n)＝na1(2na1＋3na1)＝5n2a21，∴S2n＋S22n＝Sn(S2n＋S3n)．当q≠1时，Sn＝a11－q(1－qn)，S2n＝a11－q(1－q2n)，S3n＝a11－q(1－q3n)，∴S2n＋S22n＝a11－q2·[(1－qn)2＋(1－q2n)2]＝a11－q2·(1－qn)2·(2＋2qn＋q2n)．高中数学课程又Sn(S2n＋S3n)＝a11－q2·(1－qn)2·(2＋2qn＋q2n)，∴S2n＋S22n＝Sn(S2n＋S3n)．法二：根据等比数列性质，有S2n＝Sn＋qnSn＝Sn(1＋qn)，S3n＝Sn＋qnSn＋q2nSn，∴S2n＋S22n＝S2n＋[Sn(1＋qn)]2＝S2n(2＋2qn＋q2n)，Sn(S2n＋S3n)＝S2n(2＋2qn＋q2n)．∴S2n＋S22n＝Sn(S2n＋S3n)．[规律方法]运用等比数列的前n项和公式要注意公比q＝1和q≠1两种情形，在解有关的方程(组)时，通常用约分或两式相除的方法进行消元.[跟踪训练]2．在等比数列{an}中，已知Sn＝48，S2n＝60，求S3n.[解]因为S2n≠2Sn，所以q≠1，由已知得a11－qn1－q＝48，①a11－q2n1－q＝60，②②÷①得1＋qn＝54，即qn＝14，③将③代入①得a11－q＝64，所以S3n＝a11－q3n1－q＝64×1－143＝63.等差、等比数列的性质应用对比[探究问题]1．已知{an}为等差数列，且a3＝－6，a6＝6，则an＝________；若将{an}改为等比数列，则an＝________.[提示]法一：若{an}为等差数列，则a1＋2d＝－6，a1＋5d＝6，解得a1＝－14，d＝4，所以an＝4n－18，高中数学课程若{an}为等比数列，则a1q2＝－6，a1q5＝6，解得a1＝－6，q＝－1，所以an＝－6·(－1)n－1＝6(－1)n.法二：若{an}为等差数列，由6＝－6＋3d得d＝4，所以an＝－6＋(n－3)×4，即an＝4n－18.若{an}为等比数列，由6＝(－6)·q3得q＝－1，所以an＝(－6)·(－1)n－3＝6·(－1)n.2．在1和16之间插入三个正数a，b，c使1，a，b，c,16成等比数列，则a＋b＋c＝________，a·b·c＝________，若将“等比数列”改为“等差数列”又应如何求解？[提示]若1，a，b，c,16成等比数列，则1，b,16成等比数列，所以b＝4；1，a，b与b，c,16也都成等比数列，所以a＝2，c＝8，故a＋b＋c＝14，abc＝b3＝64；若1，a，b，c,16成等差数列，用类似的方法求a＋b＋c及abc.3．若Sn为等差数列{an}的前n项和，已知S2＝1，S4＝3，则S6＝________，若将“等差数列”改为“等比数列”结果又是多少？[提示]若{an}为等差数列，则S2，S4－S2，S6－S4也为等差数列，即1,2，S6－3成等差数列，所以S6－3＋1＝4，则S6＝6；若{an}为等比数列，则1,2，S6－3成等比数列，所以S6－3＝4，则S6＝7.设等差数列{an}的前n项和为Sn，且S4＝4S2，a2n＝2an＋1.(1)求数列{an}的通项公式；(2)若数列{bn}满足b1a1＋b2a2＋…＋bnan＝1－12n，n∈N＋，求{bn}的前n项和Tn.[思路探究](1)解决{an}的通项公式关键是利用方程(组)的思想求a1，d.(2)解决本小题关键是认识到b1a1＋b2a2＋…＋bnan是数列bnan的前n项和．求解时先利用“Sn与an的关系”求出{bnan}的通项bnan，再求出bn，进一步求和．[解](1)设等差数列{an}的首项为a1，公差为d.由S4＝4S2，a2n＝2an＋1，得高中数学课程4a1＋6d＝8a1＋4d，a1＋2n－1d＝2a1＋2n－1d＋1，解得a1＝1，d＝2，因此an＝2n－1，n∈N＋.(2)由已知b1a1＋b2a2＋…＋bnan＝1－12n，n∈N＋，当n＝1时，b1a1＝12；当n≥2时，bnan＝1－12n－1－12n－1＝12n.所以bnan＝12n，n∈N＋.由(1)知an＝2n－1，n∈N＋，所以bn＝2n－12n，n∈N＋.所以Tn＝12＋322＋523＋…＋2n－12n，12Tn＝122＋323＋…＋2n－32n＋2n－12n＋1.两式相减，得12Tn＝12＋222＋223＋…＋22n－2n－12n＋1＝32－12n－1－2n－12n＋1，所以Tn＝3－2n＋32n.[规律方法]1.本题对于b1a1＋b2a2＋…＋bnan＝1－12n式的处理运用了和式的思想，这也是求数列通项公式的基本方法.2.求解数列综合问题的步骤(1)分析题设条件.(2)分清是an与an＋1的关系，还是an与Sn的关系.(3)转化为等差数列或等比数列，特别注意an＝Sn－Sn－1(n≥2，n为正整数)高中数学课程在an与Sn的关系中的应用.(4)整理求解.[跟踪训练]3．数列{an}的前n项和记为Sn，a1＝1，an＋1＝2Sn＋1(n≥1)．(1)求{an}的通项公式；(2)等差数列{bn}的各项为正，其前n项和为Tn，且T3＝15，又a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3成等比数列，求Tn.[解](1)由an＋1＝2Sn＋1，可得an＝2Sn－1＋1(n≥2)，两式相减，得an＋1－an＝2an，an＋1＝3an(n≥2)．又∵a2＝2S1＋1＝3，∴a2＝3a1.故{an}是首项为1，公比为3的等比数列，∴an＝3n－1.(2)设{bn}的公差为d，由T3＝15，得b1＋b2＋b3＝15，可得b2＝5，故可设b1＝5－d，b3＝5＋d.又a1＝1，a2＝3，a3＝9，由题意可得(5－d＋1)(5＋d＋9)＝(5＋3)2.解得d1＝2，d2＝－10.∵等差数列{bn}的各项为正，∴d0，∴d＝2.Tn＝3n＋nn－12×2＝n2＋2n.[当堂达标·固双基]1．等比数列1，a，a2，a3，…(a≠0)的前n项和Sn＝()A．1－an1－aB．1－an－11－a高中数学课程C．1－an1－a，a≠1n，a＝1D．1－an－11－a，a≠1n，a＝1C[当a＝1时，Sn＝n；当a≠1时，Sn＝1－an1－a.]2．数列{an}，{bn}满足anbn＝1，an＝n2＋3n＋2，则{bn}的前10项和为()A.14B.512C.34D.712B[依题意bn＝1an＝1n2＋3n＋2＝1n＋1n＋2＝1n＋1－1n＋2，所以{bn}的前10项和为S10＝12－13＋13－14＋14－15＋…＋111－112＝12－112＝512，故选B.]3．设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S8S4＝4，则S12S8＝________.134[法一：设公比为q(q≠0)，由题意知q≠－1，根据等比数列前n项和的性质，得S8S4＝1＋q4S4S4＝1＋q4＝4即q4＝3.于是S12S8＝1＋q4＋q81＋q4＝1＋3＋91＋3＝134.法二：因为{an}是等比数列，所以S4，S8－S4，S12－S8成等比数列，设S4＝m(m≠0)，则有S8＝4m，S8－S4＝3m则S12－S8＝9m，∴S12S8＝4m＋9m4m＝134.]4．在数列{an}中，an＋1＝can(c为非零常数)，且前n项和为Sn＝5n＋k，则实数k＝________.－1[法一：当n＝1时，a1＝S1＝5＋k，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(5n＋k)－(5n－1＋k)＝5n－5n－1＝4·5n－1.由题意知{an}为等比数列，∴a1＝5＋k＝4，∴k＝－1.法二：由题意，{an}是等比数列，a1＝5＋k，a2＝S2－S1＝20，a3＝S3－S2＝高中数学课程100，由a22＝a1a3得100(5＋k)＝202，解得k＝－1.]5．设等比数列