锐角三角函数讲义全

.......学习参考锐角三角函数第一课时:三角函数定义与特殊三角函数值知识点一：锐角三角函数的定义：一、锐角三角函数定义：在Rt△ABC中，∠C=900,∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，则∠A的正弦可表示为：sinA=，∠A的余弦可表示为cosA=∠A的正切：tanA=，它们弦称为∠A的锐角三角函数例1．如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°．①斜边)(sinA＝______，斜边)(sinB＝______；②斜边)(cosA＝______，斜边)(cosB＝______；③的邻边AA)(tan＝______，)(tan的对边BB＝.......学习参考______．例2.锐角三角函数求值：在Rt△ABC中，∠C＝90°，若a＝9，b＝12，则c＝______，sinA＝______，cosA＝______，tanA＝______，sinB＝______，cosB＝______，tanB＝______．例3．已知：如图，Rt△TNM中，∠TMN＝90°，MR⊥TN于R点，TN＝4，MN＝3．求：sin∠TMR、cos∠TMR、tan∠TMR．对应练习:1、在Rt△ABC中，a＝5，c＝13，求sinA，cosA，tanA．2、如图，△ABC中，AB=25，BC=7，CA=24．求sinA的值．25247CBA.......学习参考3、已知α是锐角，且cosα=34，求sinα、tanα的值．4、在RtABC△中，90C，5AC，4BC，则tanA．5、在△ABC中，∠C=90°，sinA=53，那么tanA的值等于（）.A．35B.45C.34D.436、在△ABC中，∠C＝90°，cosA＝34，c＝4，则a＝_______．7、如图，P是∠α的边OA上一点，且P点坐标为（2，3），则sinα=_______，cosα=_________，tanα=_______．yxP(2,3)OA知识点二：特殊角的三角函数值当时，正弦和正切值随着角度的增大而锐角30°45°60°sincostan.......学习参考余弦值随着角度的增大而例1．求下列各式的值．（1）.计算：60tan45sin230cos2．（2）计算：30cos245sin60tan2.例2．求适合下列条件的锐角．(1)21cos(2)33tan（3）已知为锐角，且3)30tan(0，求tan的值例3.三角函数的增减性.......学习参考1．已知∠A为锐角，且sinA21，那么∠A的取值范围是A.0°A30°B.30°A＜60°C.60°A90°D.30°A90°2.已知A为锐角，且030sincosA，则（）A.0°A60°B.30°A60°C.60°A90°D.30°A90°类型一特殊三角函数值与计算1、（1）计算：3－1+(2π－1)0－33tan30°－tan45°（2）计算：030tan2345sin60cos221．（3）计算：tan45sin301cos60；.......学习参考(4)222sin(5)33)16cos(6（）在ABC中，若0)22(sin21cos2BA，BA，都是锐角，求C类型二：利用网格构造直角三角形1、如图所示，△ABC的顶点是正方形网格的格点，则sinA的值为（）A．12B．55C．1010D．255.......学习参考CBA2、如图，△ABC的顶点都在方格纸的格点上，则sinA=_______.3、如图，A、B、C三点在正方形网络线的交点处，若将ABC绕着点A逆时针旋转得到''BAC，则'tanB的值为A.41B.31C.21D.1.......学习参考4、正方形网格中，AOB∠如图放置，则tanAOB∠的值是（）A．55B.255C.12D.2类型三：直角三角形求值1、已知Rt△ABC中，,12,43tan,90BCAC求AC、AB和cosB．2、如图，⊙O的半径OA＝16cm，OC⊥AB于C点，43sinAOC求AB及OC的长．ABO图2.......学习参考3、已知：⊙O中，OC⊥AB于C点，AB＝16cm，53sinAOC(1)求⊙O的半径OA的长及弦心距OC；(2)求cos∠AOC及tan∠AOC．4、已知A是锐角，178sinA，求Acos，Atan的值类型四.利用角度转化求值：1、已知：如图，Rt△ABC中，∠C＝90°．D是AC边上一点，DE⊥AB于E点．DE∶AE＝1∶2．求：sinB、cosB、tanB．.......学习参考2、如图，直径为10的⊙A经过点(05)C，和点(00)O，，与x轴的正半轴交于点D，B是y轴右侧圆弧上一点，则cos∠OBC的值为（）A．12B．32C．35D．45DCBAOyx第8题图3、如图，角的顶点为O，它的一边在x轴的正半轴上，另一边OA上有一点P（3，4），则sin．4、如图，菱形ABCD的边长为10cm，DE⊥AB，3sin5A，则这个菱形的面积=cm2．.......学习参考5、如图，O⊙是ABC△的外接圆，AD是O⊙的直径，若O⊙的半径为32，2AC，则sinB的值是（）A．23B．32C．34D．436、如图，沿AE折叠矩形纸片ABCD，使点D落在BC边的点F处．已知8AB，10BC，AB=8,则tanEFC∠的值为()Ａ．34Ｂ．43Ｃ．35Ｄ．45ADECBF第18题图.......学习参考7、如图，在等腰直角三角形ABC中，90C，6AC，D为AC上一点，若1tan5DBA，则AD的长为()A．2B．2C．1D．228、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，∠A的平分线AD=3316求∠B的度数及边BC、AB的长.DABC类型五.化斜三角形为直角三角形1、如图，在△ABC中，∠A=30°，∠B=45°，AC=23，求AB的长．.......学习参考2、已知：如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝10，AC＝5．求：sin∠ABC的值．3、如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，点D在BC边上，且△ABD是等边三角形．若AB=2，求△ABC的周长．（结果保留根号）4、已知：如图，△ABC中，AB＝9，BC＝6，△ABC的面积等于9，求sinB．5、ABC中，∠A=60°，AB=6cm，AC=4cm，则△ABC的面积是.......学习参考A.23cm2.43cm2C.63cm2D.12cm2第二课时：解直角三角形知识点三：解直角三角形1．在解直角三角形的过程中，一般要用的主要关系如下：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝b，BC＝a，AB＝c，①三边之间的等量关系：________________________________．②两锐角之间的关系：__________________________________．③边与角之间的关系：BAcossin______；BAsincos_______；BAtan1tan_____；BAtantan1______．④直角三角形中成比例的线段．在Rt△ABC中，∠C＝90°，CD⊥AB于D．CD2＝_________；AC2＝_________；BC2＝_________；AC·BC＝_________．类型一例1．在Rt△ABC中，∠C＝90°．(1)已知：a＝35，235c，求∠A、∠B，b；.......学习参考(2)已知：32a，2b，求∠A、∠B，c；(3)已知：32sinA，6c，求a、b；(4)已知：,9,23tanbB求a、c；(5)已知：∠A＝60°，△ABC的面积,312S求a、b、c及∠B．例2．已知：如图，△ABC中，∠A＝30°，∠B＝60°，AC.......学习参考＝10cm．求AB及BC的长．例3．已知：如图，Rt△ABC中，∠D＝90°，∠B＝45°，∠ACD＝60°．BC＝10cm．求AD的长．例4．已知：如图，△ABC中，∠A＝30°，∠B＝135°，AC＝10cm．求AB及BC的长．知识点四：三角函数应用.......学习参考类型一：三角函数在几何中的应用1．已知：如图，在菱形ABCD中，DE⊥AB于E，BE＝16cm，1312sinA求此菱形的周长．2．已知：如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，3BCAC，作∠DAC＝30°，AD交CB于D点，求：(1)∠BAD；(2)sin∠BAD、cos∠BAD和tan∠BAD．3.已知：如图△ABC中，D为BC中点，且∠BAD＝90°，31tanB，求：sin∠CAD、cos∠CAD、tan∠CAD．4.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，53sinB，点D在BC边.......学习参考上，DC=AC=6，求tan∠BAD的值．DCBA5.如图，△ABC中，∠A=30°，3tan2B，43AC．求AB的长.ACB第三课时，解直角三角形应用类型二：解直角三角形的实际应用一、仰角与俯角：.......学习参考仰角：视线在水平线上方的角；俯角：视线在水平线下方的角。仰角铅垂线水平线视线视线俯角1．如图，从热气球C处测得地面A、B两点的俯角分别是30°、45°，如果此时热气球C处的高度CD为100米，点A、D、B在同一直线上，则AB两点的距离是（）A．200米B．200米C．220米D．100（）米2．已知：如图，在两面墙之间有一个底端在A点的梯子，当它靠在一侧墙上时，梯子的顶端在B点；当它靠在另一侧墙上时，梯子的顶端在D点．已知∠BAC＝60°，∠DAE＝45°．点D到地面的垂直距离m23DE，求点B到地面的垂直距离BC．.......学习参考3.如图，一风力发电装置竖立在小山顶上，小山的高BD=30m．从水平面上一点C测得风力发电装置的顶端A的仰角∠DCA=60°，测得山顶B的仰角∠DCB=30°，求风力发电装置的高AB的长．4.如图，小聪用一块有一个锐角为30的直角三角板测量树高，已知小聪和树都与地面垂直，且相距33米，小聪身高AB为1.7米，求这棵树的高度.5．已知：如图，河旁有一座小山，从山顶A处测得河对岸点C的俯角为30°，测得岸边点D的俯角为45°，又知河宽CD为50m．现需从山顶A到河对岸点C拉一条笔直的缆绳AC，求山的高度及缆绳AC的长(答案可带根号)．ABCDE.......学习参考6．如图，为测量某物体AB的高度，在D点测得A点的仰角为30°，朝物体AB方向前进20米，到达点C，再次测得点A的仰角为60°，则物体AB的高度为（）A．10米B．10米C．20米D．米7．超速行驶是引发交通事故的主要原因之一．上周末，小明和三位同学尝试用自己所学的知识检测车速．如图，观测点设在A处，离益阳大道的距离（AC）为30米．这时，一辆小轿车由西向东匀速行驶，测得此车从B处行驶到C处所用的时间为8秒，∠BAC=75°．（1）求B、C两点的距离；（2）请判断此车是否超过了益阳大道60千米/小时的限制速度？（计算时距离精确到1米，参考数据：sin75°≈0.9659，cos75°≈0.2588，tan75°≈3.732，3≈1.732，60千米/小时≈16.7米/秒）.......学习参考二、坡度与坡角(2)坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做坡度(坡比)。用字母i表示，即hil。坡度一般写成1:m的形式，如1:5i等。把坡面与水平面的夹角记作(叫做坡角)，那么tanhil。例．如图，某水库堤坝横断面迎水坡AB的坡比是1：3，堤坝高BC=50m，则应水坡面AB的长度是（）A．100mB．1003mC．150mD．503m三、方位角从某点的指北方向按顺时针转到目标方向的水平角，叫做方位角。如图3，OA、OB、OC、OD的方向角分别是：45°、135°、225°。4、指北或指南方向线与目标方向线所成的小