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知识点过关培优训练：相交弦定理（圆）一．选择题1．如图，⨀O的两条弦AB、CD相交于点E，AC和DB的延长线交于点P，下列结论中成立的是（ ）A．PC•CA＝PB•BDB．CE•AE＝BE•EDC．CE•CD＝BE•BAD．PB•PD＝PC•PA2．如图，在⊙O中，弦AC，BD交于点E，连结AB、CD，在图中的“蝴蝶”形中，若AE＝，AC＝5，BE＝3，则BD的长为（ ）A．B．C．5D．3．如图，⊙O的弦AB、CD相交于点P，若AP＝6，BP＝8，CP＝4，则CD长为（ ）A．16B．24C．12D．不能确定4．如图，正方形ABCD内接于⊙O，点P在劣弧AB上，连接DP，交AC于点Q．若QP＝QO，则的值为（ ）A．B．C．D．5．如图，矩形ABCD为⊙O的内接四边形，AB＝2，BC＝3，点E为BC上一点，且BE＝1，延长AE交⊙O于点F，则线段AF的长为（ ）A．B．5C．+1D．6．如图，⊙O的弦AB、CD相交于点P，若AP＝3，BP＝4，CP＝2，则CD长为（ ）A．6B．12C．8D．不能确定7．如图，⊙O的直径AB与弦CD交于点，AE＝6，BE＝2，CD＝2，则∠AED的度数是（ ）A．30°B．60°C．45°D．36°8．如图，点P为弦AB上的一点，连接OP，过点P作PC⊥OP，PC交⊙O于C，且⊙O的半径为3．若AP＝4，PB＝1，则OP的长是（ ）A．2B．2C．D．9．如图，AB为⊙O的直径，AB＝10cm，弦CD⊥AB，垂足为E，且AE：EB＝2：3，则AC＝（ ）A．3cmB．4cmC．cmD．cm10．如图，⊙O的直径AB＝8，弧AC＝弧BC，E为OB上一点，∠AEC＝60°，CE的延长线交⊙O于D，则CD的长为（ ）A．6B．4C．D．11．如图在一次游园活动中有个投篮游戏，活动开始时四个人A、B、C、D在距篮筐P都是5米处站好，篮球放在AC和BD的交点O处，已知取篮球时A要走6米，B要走3米，C要走2米，则D要走（ ）A．2米B．3米C．4米D．5米12．如图，已知AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，CD⊥AB于D，AD＝9，BD＝4，以C为圆心，CD为半径的圆与⊙O相交于P，Q两点，弦PQ交CD于E，则PE•EQ的值是（ ）A．24B．9C．6D．27二．填空题13．如图，在⊙O中，弦BC，DE交于点P，延长BD，EC交于点A，BC＝10，BP＝2CP，若＝，则DP的长为 ．14．如图，⊙O中两条弦AB、CD相交于点P，已知PA＝3，PB＝4，PC＝2，那么PD长为 ．15．如图，⊙O的弦AB、CD相交于点E，若AE：DE＝3：5，则AC：BD＝ ．16．如图，⊙O中弦AB，CD相交于点P，已知AP＝3，BP＝2，CP＝1，则DP＝ ．17．已知弦AB和弦CD相交于⊙O内一点P，AP＝8，BP＝3，PD＝PC，则CD＝ ．18．在⊙O中，弦AB，CD相交于点E，AE＝2cm，BE＝6cm，DE＝3cm，则CE＝ cm；学以致用：点P是直径为10的⊙Q中一点且PQ＝2，过点P作弦HK，则线段PH与线段PK的积等于 ．19．⊙O的直径AB垂直弦CD于P，且P是半径OB的中点，CD＝6cm，则直径AB的长是 cm．20．如图，⊙O的弦AB、CD相交于点E，若CE：BE＝2：3，则AE：DE＝ ．三．解答题21．如图，弦AB与CD相交于⊙O内一点P，PC＞PD．（1）试说明：△PAC∽△PDB；（2）设PA＝4，PB＝3，CD＝8，求PC、PD的长．22．如图，在⊙O中，弦AD，BC相交于点E，连接OE，已知AD＝BC，AD⊥CB．（1）求证：AB＝CD；（2）如果⊙O的直径为10，DE＝1，求AE的长．23．如图，已知圆O，弦AB、CD相交于点M．（1）求证：AM•MB＝CM•MD；（2）若M为CD中点，且圆O的半径为3，OM＝2，求AM•MB的值．24．已知G是△ABC的重心，过A、G的圆与BG切于G，CG的延长线交圆于D，求证：AG2＝GC•GD．25．如图，（1）已知：P为半径为5的⊙O内一点，过P点最短的弦长为8，则OP＝ （2）在（1）的条件下，若⊙O内有一异于P点的Q点，过Q点的最短弦长为6，且这两条弦平行，求PQ的长．（3）在（1）的条件下，过P点任作弦MN、AB，试比较PM•PN与PA•PB的大小关系，且写出比较过程．你能用一句话归纳你的发现吗？（4）在（1）的条件下，过P点的弦CD＝，求PC、PD的长．26．已知：如图所示，BC为圆O的直径，A、F是半圆上异于B、C的一点，D是BC上的一点，BF交AH于点E，A是弧BF的中点，AH⊥BC．（1）求证：AE＝BE；（2）如果BE•EF＝32，AD＝6，求DE、BD的长．27．如图1，在直角坐标系中，点A的坐标为（1，0），以OA为边在第四象限内作等边△AOB，点C为x轴的正半轴上一动点（OC＞1），连接BC，以BC为边在第四象限内作等边△CBD，直线DA交y轴于点E．（1）试问△OBC与△ABD全等吗？并证明你的结论；（2）随着点C位置的变化，点E的位置是否会发生变化？若没有变化，求出点E的坐标；若有变化，请说明理由；（3）如图2，以OC为直径作圆，与直线DE分别交于点F、G，设AC＝m，AF＝n，用含n的代数式表示m．参考答案一．选择题1．解：∵∠P＝∠P，∠A＝∠D，∴△PAB∽△PDC，∴＝，∴PB•PD＝PC•PA，故选：D．2．解：EC＝AC﹣AE＝，由相交弦定理得，AE•EC＝DE•BE，则DE＝＝，∴BD＝DE+BE＝，故选：B．3．解：∵AP•BP＝CP•DP，∴PD＝，∵AP＝6，BP＝8，CP＝4，∴PD＝12，∴CD＝PC+PD＝12+4＝16．故选：A．4．解：如图，设⊙O的半径为r，QO＝m，则QP＝m，QC＝r+m，QA＝r﹣m．在⊙O中，根据相交弦定理，得QA•QC＝QP•QD．即（r﹣m）（r+m）＝m•QD，所以QD＝．连接DO，由勾股定理，得QD2＝DO2+QO2，即，解得所以，故选：D．5．解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝90°，∴AE＝＝＝，∵BC＝3，BE＝1，∴CE＝2，由相交弦定理得：AE•EF＝BE•CE，∴EF＝＝，∴AF＝AE+EF＝；故选：A．6．解：∵AP•BP＝CP•DP，∴PD＝，∵AP＝3，BP＝4，CP＝2，∴PD＝6，∴CD＝PC+PD＝2+6＝8．故选：C．7．解：连接OD，过圆心O作OH⊥CD于点H．∴DH＝CH＝CD（垂径定理）；∵CD＝2，∴DH＝．又∵AE＝6，BE＝2，∴AB＝8，∴OA＝OD＝4（⊙O的半径）；∴OE＝2；∴在Rt△ODH中，OH＝＝＝（勾股定理）；在Rt△OEH中，sin∠OEH＝＝，∴∠OEH＝45°，即∠AED＝45°．故选：C．8．解：延长CP交圆于一点D，连接OC，∵PC⊥OP，∴PC＝PD，∴PC2＝PA•PB，∵AP＝4，PB＝1，∴PC2＝4×1，∴PC＝2，∴OP＝＝＝．故选：C．9．解：∵CD⊥AB，∴CE＝DE，∴CE2＝AE•BE，∵AB＝10cm，且AE：EB＝2：3，∴AE＝4cm，EB＝6cm，∴CE＝2cm，∴AC＝＝＝2cm．故选：D．10．【解答】解：连接OC、OD，过点O作OF⊥CD于点F．∵AB是⊙O的直径，C为弧AB的中点，∴∠AOC＝∠BOC＝90°（等弧所对的圆心角相等）；又∵O是圆心，OF⊥CD，∴CF＝DF＝CD，（垂径定理）；在Rt△OEC中，∵∠AEC＝60°，∴∠OCE＝30°（直角三角形的两个锐角互余）；∴在Rt△OCF中，CF＝OC•cos30°；又AB＝8，∴OC＝4；∴CF＝4×＝2∴CD＝2CF＝4．故选：D．11．解：根据题意得：A、B、C、D在以P为圆心，半径是5米的圆上．∴OA•OC＝OB•OD，即6×2＝3×OD．解得OD＝4．故选：C．12．解：延长DC交⊙C于M，延长CD交⊙O于N．∵CD2＝AD•DB，AD＝9，BD＝4，∴CD＝6．在⊙O、⊙C中，由相交弦定理可知，PE•EQ＝DE•EM＝CE•EN，设CE＝x，则DE＝6﹣x，EN＝6﹣x+6则（6﹣x）（x+6）＝x（6﹣x+6），解得x＝3．所以，CE＝3，DE＝6﹣3＝3，EM＝6+3＝9．所以PE•EQ＝3×9＝27．故选：D．二．填空题（共8小题）13．解：如图，作CH∥DE交AB于H．设DP＝2a．∵PD∥CH，∴＝＝＝，∴CH＝3a，∵BD：AD＝2：3，∴AH：AD＝2：3，∴CH∥DE，∴＝＝，∴DE＝a，∴PE＝a﹣2a＝a，∵BC＝10，BP：PC＝2：1，∴PB＝，PC＝，∵PB•PC＝PD•PE，∴5a2＝，∴a＝（负根已经舍弃），∴PD＝2a＝．故答案为．14．解：∵两条弦AB、CD相交于点P，∵PD•PC＝PA•PB，∴PD＝＝6．故答案为6．15．解：∵弦AB、CD相交于点E，∴∴∠C＝∠B，∠A＝∠D，∴△ACE∽△DBE，∴＝＝，故答案为：3：5．16．解：由相交弦定理得，AP•BP＝CP•DP，则DP＝＝6，故答案为：6．17．解：∵弦AB和弦CD相交于⊙O内一点P，∴PA•PB＝PC•PD，而AP＝8，BP＝3，PD＝PC，∴PC2＝8×3＝24，∴PC＝2，∴CD＝2PC＝4．故答案为4．18．解：∵AE•BE＝CE•DE，∴2×6＝3×CE，∴CE＝4；如图，过P点的直径为MN，∵PQ＝2，∴PM＝QM﹣PQ＝5﹣2＝3，PN＝QN+PQ＝5+2＝7，∵PH•PK＝PM•PN，∴PH•PK＝3×7＝21．故答案为4；21．19．解：∵AB为⊙O的直径，AB⊥CD，CD＝6cm，∴CP＝PD＝3cm，∵P是半径OB的中点，∴设PB＝x，则AP＝3x，由相交弦定理得，CP•PD＝AP•PB，即3×3＝3x•x，解得x＝cm，∴AP＝3cm，PB＝cm，∴直径AB的长是3+＝4cm．20．解：∵⊙O的弦AB、CD相交于点E，∴AE•BE＝CE•DE，∴AE：DE＝CE：BE＝2：3，故答案为：2：3．三．解答题（共7小题）21．（1）证明：由圆周角定理得，∠A＝∠D，∠C＝∠B，∴△PAC∽△PDB；（2）解：由相交弦定理得到，PA•PB＝PC•PD，即3×4＝PC×（8﹣PC），解得，PC＝2或6，则PD＝6或2，∴PC＝2或6，PD＝6或2．22．（1）证明：如图，∵AD＝BC，∴＝，∴﹣＝﹣，即＝，∴AB＝CD；（2）如图，过O作OF⊥AD于点F，作OG⊥BC于点G，连接OA、OC．则AF＝FD，BG＝CG．∵AD＝BC，∴AF＝CG．在Rt△AOF与Rt△COG中，，∴Rt△AOF≌Rt△COG（HL），∴OF＝OG，∴四边形OFEG是正方形，∴OF＝EF．设OF＝EF＝x，则AF＝FD＝x+1，在直角△OAF中．由勾股定理得到：x2+（x+1）2＝52，解得x＝5．则AF＝3+1＝4，即AE＝AF+3＝7．23．解：（1）∵∠A＝∠C，∠D＝∠B，∴△ADM∽△CBM∴，即AM•MB＝CM•MD．（2）连接OM、OC．∵M为CD中点，∴OM⊥CD在Rt△OMC中，∵OC＝3，OM＝2∴CD＝CM＝，由（1）知AM•MB＝CM•MD．∴AM•MB＝•＝5．24．证明：延长GP至F，使PF＝PG，连接AD，BF，CF，∵G是△ABC的重心，∴AG＝2GP，BP＝PC，∵PF＝PG，∴四边形GBFC是平行四边形，∴GF＝2GP，∴AG＝GF，∵BG∥CF，∴∠1＝∠2∵过A、G的圆与BG切于G，∴∠3＝∠D，又∠2＝∠3，∴∠1＝∠2＝∠3＝∠D，∴A、D、F、C四点共圆，∴GA•GF＝GC•GD，即GA2＝GC•GD．25．解：（1）连接OP，过点P作CD⊥OP于点P，连接OD．根据题意，得CD＝8，OD＝5．根据垂径定理，得PD＝4，根据勾股定理，得OP＝3；（2）根据平行线的性质和垂线的性质，知O、P、Q三点共线．根据（1）的求解方法，得OQ＝4，则PQ＝1或7；（3）连接AM、BN．∵∠A＝∠N，