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2020中考数学几何考点复习同样作为模型，但“三垂直”的定位和“手拉手”并不相同，“手拉手”本身可以作为问题，而“三垂直”更多地作为一种方法来运用，因而我们要了解的侧重点也会有所调整，依然三个问题：（1）三垂直模型的构成；（2）什么条件下考虑构造三垂直．（3）构造三垂直能带来什么；问题一：三垂直模型的构成△ABC是等腰直角三角形，一条直线过点C，分别过A、B向该直线作垂线，垂足分别为D、E，则△ADC≌△CEB．ABCDEABCDE证明：DEDACECBACCB→△ADC≌△CEB（AAS）【小结】尝试用文字来描述三垂直模型：一条直线经过等腰直角三角形的直角顶点，过另外两个顶点分别向该直线作垂线，即可得三垂直模型．（等腰、直角、作垂直）【思考】“等腰、直角、作垂直”在证明全等中所发挥的作用是什么？等腰——可得一组对应边相等；直角+作垂直——可得两组角对应相等．【弱化条件】（1）如果没有等腰？依然可以构造三垂直，只不过得到的是三垂直相似，而非三垂直全等．ABCDE如图，有△ADC∽△CEB．特别地，若点C为BD中点，则△ADC∽△CEB∽△ACB．ABCDE（2）如果没有直角？直角与作垂直是配套的，最终的结果是有三个直角，其价值不在于它们是特殊角，而是它们都是相等的，所以即便没有直角，换成三个相等的角亦可，即“一线三等角”模型举个关于一线三等角的例题：（2018·遵义）如图，在菱形ABCD中，120ABC，将菱形折叠，使点A恰好落在对角线BD上的点G处（不与B、D重合），折痕为EF，若2DG，6BG，则BE的长为．GFEDCBA【分析】等边翻折得到一线三等角．由题意可得：60FDGFGEGBE，易证△FGD∽△GEB，∴FGDGFDGEEBGB，GFEDCBA设FG=x，则AE=x，DF=8-x，设GE=y，则AE=y，BE=8-y，代入得：2886xxyy，解得：265y，∴2614855BE，故BE的长为145．看个例子就可以了，今儿不聊一线三等角的事．问题二：什么条件下考虑构造三垂直？根据问题一的分析已经很明显了，可以没有等腰，但需要有直角，当然如果是等腰直角那就再好不过了．那看到有直角就考虑构造三垂直？当然也不是，起码问题得和直角相关，并且这个直角是斜着的．引例1：（2018·临安区）如图直角梯形ABCD中，//ADBC，ABBC，2AD，3BC，将腰CD以D为中心逆时针旋转90至ED，连AE、CE，则ADE的面积是()ABCDEA．1B．2C．3D．不能确定【分析】求面积当然是先考虑考虑面积公式咯．已知AD=2，过点E作EN⊥AD交AD延长线于点N，求出EN即可求出面积．考虑△CDE是等腰直角三角形，过点C作CM⊥DN交DN于M点，MNABCDE易证△END≌△DMC，∴EN=DM=BC-AD=1，故12112ADES，故选A．引例2：（2019·河池）如图，在平面直角坐标系中，(2,0)A，(0,1)B，AC由AB绕点A顺时针旋转90而得，则AC所在直线的解析式是．xyOABC【分析】已知了A点坐标，求出点C坐标即可，旋转90°可构造三垂直全等．过点C作CD⊥x轴交x轴于点D，DxyOABC易证△BOA≌△ADC，∴AD=BO=1，DC=OA=2，∴C点坐标为（3,2），∴直线AC解析式为24yx．【小结】尤其是在坐标系中，构造三垂直可以帮助计算点坐标或直线解析式，并且触发条件除了直角之外，也可以是其他确定的角，比如45°角．引例3：如图，在平面直线坐标系中，直线AB解析式为12yx，点M（2，1）是直线AB上一点，将直线AB绕点M顺时针旋转45°得到直线CD，求CD解析式．MDCBAOyx45°【分析】构造三垂直相似（全等）在坐标系中存在45°角，可作垂直即可得到等腰直角三角形，构造三垂直全等确定图形．在直线AB上取一点O，过点O作OP⊥AB交CD于P点，分别过M、P向x轴作垂线，垂足为E、F点．FEP45°xyOABCDM易证△OEM≌△PFO，故PF=OE=2，OF=ME=1，故P点坐标为（-1，2），结合P、M坐标可解直线CD解析式：1533yx．构造等腰直角的方式也不止这一种，也可过点O作CD的垂线，45°xyOABCDM【小结】设计坐标系中构造三垂直，尽可能让直角顶点是已知点，会简便计算，如上题中的第一种作图优于第二种．除了45°之外，坐标系中出现其他的确定角，亦可构造三垂直．引例4：如图，在平面直线坐标系中，直线AB解析式为12yx，点M（2，1）是直线AB上一点，将直线AB绕点M顺时针旋转得到直线CD，且3tan2，求直线CD解析式．αMDCBAOyx【分析】在直线AB上再选取点O构造三垂直相似，如下图所示，易证△PFO∽△OEM，且相似比3tan2POPMOOM，即3322OFME，332PFOE，故P点坐标为3,32，结合P、M点坐标可解直线CD解析式：41577yx．【小结】当没有直角、没有45°的时候，构造出来的便是三垂直相似，而非全等了，对于计算线段来说，全等还是相似，又有什么区别呢？PEFxyOABCDM问题三：构造三垂直能带来什么？这其实本身不应该是一个问题，而是对前文的思考．三垂直是如何帮助我们解决问题的？构造三垂直全等，一方面可以得到相等线段，在几何图形中作等量代换．另外在坐标系中构造三垂直全等，可实现“化斜为直”，用水平或竖直线段刻画图中的点与线，会更方便计算．继续看看相关的练习题：1．（2017·扬州）如图，已知点A是反比例函数2yx的图像上的一个动点，连接OA，若将线段OA绕点O顺时针旋转90得到线段OB，则点B所在的反比例函数表达式为．xyOAB【分析】旋转90°可构造三垂直全等．分别过A、B作x轴的垂线，垂足分别记为M、N，MNxyOAB易证△AMO≌△ONB，∴AM=ON，MO=NB，∴AMMOONNB，∴点B所在的反比例函数表达式为2yx．2.（2019·宜昌）如图，平面直角坐标系中，点B在第一象限，点A在x轴的正半轴上，∠AOB=∠B=30°，OA=2，将△AOB绕点O逆时针旋转90，点B的对应点B的坐标是()xyB'A'OABA．1,23B．3,3C．3,23D．3,3【分析】旋转90°构造三垂直全等．由题意可求B点坐标为3,3，分别过点B、B作BM、BN垂直x轴，垂足分别为M、N，NMBAOA'B'yx易证△BMO≌ONB△，∴点B坐标为3,3，故选B．3.（2017·苏州园区模拟）如图，已知A（0，3）、B（4，0），点C在第一象限，且55AC，10BC，则直线OC的函数表达式为_______________．xyOABC【分析】发现△ABC是直角三角形是关键．易证△ABC是直角三角形，过点C作CH⊥x轴交x轴于H点，易证△AOB∽△BHC，可得BH=6，CH=8，故点C坐标为（10，8），∴直线OC函数表达式为45yx．4.（2019·十堰）如图，正方形ABCD和RtAEF，5AB，4AEAF，连接BF，DE．若AEF绕点A旋转，当ABF最大时，ADES．ABCDEF【分析】动态问题先分析何时ABF最大．F点轨迹是以点A为圆心，AF为半径的圆，当BF与圆相切时，∠ABF最大，分别过点E、F作直线DA的垂线，垂足分别记为M、N，ABCDEFNMMNFEDCBA易证△AME≌△FNA，∴312455EMAN，∴1125625ADES，故△ADE的面积为6．5.（2019·无锡）如图，在△ABC中，AB=AC=5，45BC，D为边AB上一动点（B点除外），以CD为一边作正方形CDEF，连接BE，则△BDE面积的最大值为_______．FABDCE【分析】求三角形的面积，可以首先考虑面积公式，以BD为底，需作高．分别过C、E作BA的垂线，垂足分别记为点M、N，NMECDBAF易证△DMC≌△END，由1tan2ABC得：CM=4，BM=8，设BD=x，则EN=DM=8-x，∴2118422BDESxxxx，当x=4时，BDES取到最大值8，故△BDE面积的最大值为8．6.（2019·沈阳）如图，正方形ABCD的对角线AC上有一点E，且CE=4AE，点F在DC的延长线上，连接EF，过点E作EG⊥EF，交CB的延长线于点G，连接FG并延长，交AC的延长线于点P，若AB=5，CF=2，则线段EP的长是__________．PGADBCFE【分析】有直角便可考虑构造三垂直．如下左图，过点E作EM⊥CD交CD于M点，过点G作GN⊥ME交ME延长线于点N，易证△FME≌△ENG，HEFCBDAGPNMEFCBDAGP连接GA，过点F作FH⊥AP交AP于H点，易证△GAE≌△EHF，∴△PHF∽△PAG，FHPHGAPA，解得：322PH，∴1322PE．7.（2016·河南）如图，在矩形ABCD中，3AB，5BC，点E为BC边上一个动点，连接AE，将线段AE绕点E顺时针旋转90，点A落在点P处，当点P在矩形ABCD外部时，连接PC、PD．若DPC为直角三角形，则BE的长．PABCDE【分析】并不确定直角时需分类讨论．情况一：当∠PDC=90°时，如下左图，易证△ABE是等腰直角三角形，∴BE=AB=3．MNPABCDEEDCBAP情况二：当∠DPC=90°时，如上右图，过点P作BC的垂线，垂足记为M，与AD延长线交于点N，则MN⊥AD，易证△ABE≌△CMP，△CMP∽△PND，设BE=x，则MP=x，PN=3-x，EM=AB=3，CM=x-2，∵CMMPPNND，代入得232xxxx，解得：17174x，27174x（舍），综上所述，BE的长为3或7+174．