中考数学-二次函数综合试题及详细答案

中考数学二次函数综合试题及详细答案一、二次函数1．已知二次函数223yaxax的最大值为4，且该抛物线与y轴的交点为C，顶点为D.（1）求该二次函数的解析式及点C，D的坐标；（2）点(,0)Pt是x轴上的动点，①求PCPD的最大值及对应的点P的坐标；②设(0,2)Qt是y轴上的动点，若线段PQ与函数2||23yaxax的图像只有一个公共点，求t的取值范围.【答案】（1）2yx2x3，C点坐标为(0,3)，顶点D的坐标为(1,4)；（2）①最大值是2，P的坐标为(3,0)，②t的取值范围为3t或332t或72t.【解析】【分析】（1）先利用对称轴公式x=2a12a，计算对称轴，即顶点坐标为（1，4），再将两点代入列二元一次方程组求出解析式；（2）根据三角形的三边关系：可知P、C、D三点共线时|PC-PD|取得最大值，求出直线CD与x轴的交点坐标，就是此时点P的坐标；（3）先把函数中的绝对值化去，可知22x23,0,yx23,0.xxxx，此函数是两个二次函数的一部分，分三种情况进行计算：①当线段PQ过点（0，3），即点Q与点C重合时，两图象有一个公共点，当线段PQ过点（3，0），即点P与点（3，0）重合时，两函数有两个公共点，写出t的取值；②线段PQ与当函数y=a|x|2-2a|x|+c（x≥0）时有一个公共点时，求t的值；③当线段PQ过点（-3，0），即点P与点（-3，0）重合时，线段PQ与当函数y=a|x|2-2a|x|+c（x＜0）时也有一个公共点，则当t≤-3时，都满足条件；综合以上结论，得出t的取值．【详解】解：（1）∵2ax12a，∴2yaxax3的对称轴为x1.∵2yaxax3人最大值为4，∴抛物线过点1,4.得a2a34，解得a1.∴该二次函数的解析式为2yx2x3.C点坐标为0,3，顶点D的坐标为1,4.（2）①∵PCPDCD，∴当P,C,D三点在一条直线上时，PCPD取得最大值.连接DC并延长交y轴于点P，22PCPDCD1432.∴PCPD的最大值是2.易得直线CD的方程为yx3.把Pt,0代入，得t3.∴此时对应的点P的坐标为3,0.②2ya|x|2ax3的解析式可化为22x23,0,yx23,0.xxxx设线段PQ所在直线的方程为ykxb，将Pt,0，Q0,2t的坐标代入，可得线段PQ所在直线的方程为y2x2t.（1）当线段PQ过点3,0，即点P与点3,0重合时，线段PQ与函数22x23,0,yx23,0.xxxx的图像只有一个公共点，此时t3.∴当t3时，线段PQ与函数22x23,0,yx23,0.xxxx的图像只有一个公共点.（2）当线段PQ过点0,3，即点Q与点C重合时，线段PQ与函数22x23,0,yx23,0.xxxx的图像只有一个公共点，此时3t2.当线段PQ过点3,0，即点P与点3,0重合时，t3，此时线段PQ与函数22x23,0,yx23,0.xxxx的图像有两个公共点.所以当3t32时，线段PQ与函数22x23,0,yx23,0.xxxx的图像只有一个公共点.（3）将y2x2t带入2yx2x3x0，并整理，得2x4x2t30.Δ1642t3288t.令288t0，解得7t2.∴当7t2时，线段PQ与函数22x23,0,yx23,0.xxxx的图像只有一个公共点.综上所述，t的取值范围为t3或3t32或7t2.【点睛】本题考查了二次函数的综合应用，先利用待定系数法求解析式，同时把最大值与三角形的三边关系联系在一起；同时对于二次函数利用动点求取值问题，从特殊点入手，把函数分成几部分考虑，按自变量从大到小的顺序或从小到大的顺序求解．2．如图：在平面直角坐标系中，直线l：y=13x﹣43与x轴交于点A，经过点A的抛物线y=ax2﹣3x+c的对称轴是x=32．（1）求抛物线的解析式；（2）平移直线l经过原点O，得到直线m，点P是直线m上任意一点，PB⊥x轴于点B，PC⊥y轴于点C，若点E在线段OB上，点F在线段OC的延长线上，连接PE，PF，且PE=3PF．求证：PE⊥PF；（3）若（2）中的点P坐标为（6，2），点E是x轴上的点，点F是y轴上的点，当PE⊥PF时，抛物线上是否存在点Q，使四边形PEQF是矩形？如果存在，请求出点Q的坐标，如果不存在，请说明理由．【答案】（1）抛物线的解析式为y=x2﹣3x﹣4；（2）证明见解析；（3）点Q的坐标为（﹣2，6）或（2，﹣6）．【解析】【分析】（1）先求得点A的坐标，然后依据抛物线过点A，对称轴是x=32列出关于a、c的方程组求解即可；（2）设P（3a，a），则PC=3a，PB=a，然后再证明∠FPC=∠EPB，最后通过等量代换进行证明即可；（3）设E（a，0），然后用含a的式子表示BE的长，从而可得到CF的长，于是可得到点F的坐标，然后依据中点坐标公式可得到22xxxxQPFE，22yyyyQPFE，从而可求得点Q的坐标（用含a的式子表示），最后，将点Q的坐标代入抛物线的解析式求得a的值即可．【详解】（1）当y=0时，14033x，解得x=4，即A（4，0），抛物线过点A，对称轴是x=32，得161203322aca，解得14ac，抛物线的解析式为y=x2﹣3x﹣4；（2）∵平移直线l经过原点O，得到直线m，∴直线m的解析式为y=13x．∵点P是直线1上任意一点，∴设P（3a，a），则PC=3a，PB=a．又∵PE=3PF，∴PCPBPFPE．∴∠FPC=∠EPB．∵∠CPE+∠EPB=90°，∴∠FPC+∠CPE=90°，∴FP⊥PE．（3）如图所示，点E在点B的左侧时，设E（a，0），则BE=6﹣a．∵CF=3BE=18﹣3a，∴OF=20﹣3a．∴F（0，20﹣3a）．∵PEQF为矩形，∴22xxxxQPFE，22yyyyQPFE，∴Qx+6=0+a，Qy+2=20﹣3a+0，∴Qx=a﹣6，Qy=18﹣3a．将点Q的坐标代入抛物线的解析式得：18﹣3a=（a﹣6）2﹣3（a﹣6）﹣4，解得：a=4或a=8（舍去）．∴Q（﹣2，6）．如下图所示：当点E在点B的右侧时，设E（a，0），则BE=a﹣6．∵CF=3BE=3a﹣18，∴OF=3a﹣20．∴F（0，20﹣3a）．∵PEQF为矩形，∴22xxxxQPFE，22yyyyQPFE，∴Qx+6=0+a，Qy+2=20﹣3a+0，∴Qx=a﹣6，Qy=18﹣3a．将点Q的坐标代入抛物线的解析式得：18﹣3a=（a﹣6）2﹣3（a﹣6）﹣4，解得：a=8或a=4（舍去）．∴Q（2，﹣6）．综上所述，点Q的坐标为（﹣2，6）或（2，﹣6）．【点睛】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了矩形的性质、待定系数法求二次函数的解析式、中点坐标公式，用含a的式子表示点Q的坐标是解题的关键．3．如图，已知直线ykx6与抛物线2yaxbxc相交于A，B两点，且点A（1，－4）为抛物线的顶点，点B在x轴上。（1）求抛物线的解析式；（2）在（1）中抛物线的第二象限图象上是否存在一点P，使△POB与△POC全等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若点Q是y轴上一点，且△ABQ为直角三角形，求点Q的坐标。【答案】解：（1）2yx2x3；（2）存在，P（1-132，13-12）；（3）Q点坐标为（0，-72）或（0，32）或（0，－1）或（0，－3）.【解析】【分析】（1）已知点A坐标可确定直线AB的解析式，进一步能求出点B的坐标．点A是抛物线的顶点，那么可以将抛物线的解析式设为顶点式，再代入点B的坐标，依据待定系数法可解.（2）首先由抛物线的解析式求出点C的坐标，在△POB和△POC中，已知的条件是公共边OP，若OB与OC不相等，那么这两个三角形不能构成全等三角形；若OB等于OC，那么还要满足的条件为：∠POC=∠POB，各自去掉一个直角后容易发现，点P正好在第二象限的角平分线上，联立直线y=-x与抛物线的解析式，直接求交点坐标即可，同时还要注意点P在第二象限的限定条件.（3）分别以A、B、Q为直角顶点，分类进行讨论，找出相关的相似三角形，依据对应线段成比例进行求解即可.【详解】解：（1）把A（1，﹣4）代入y＝kx﹣6，得k＝2，∴y＝2x﹣6，令y＝0，解得：x＝3，∴B的坐标是（3，0）．∵A为顶点，∴设抛物线的解析为y＝a（x﹣1）2﹣4，把B（3，0）代入得：4a﹣4＝0，解得a＝1，∴y＝（x﹣1）2﹣4＝x2﹣2x﹣3．（2）存在．∵OB＝OC＝3，OP＝OP，∴当∠POB＝∠POC时，△POB≌△POC，此时PO平分第二象限，即PO的解析式为y＝﹣x．设P（m，﹣m），则﹣m＝m2﹣2m﹣3，解得m＝1-132（m＝1+132＞0，舍），∴P（1-132，13-12）．（3）①如图，当∠Q1AB＝90°时，△DAQ1∽△DOB，∴1DQADODDB，即56=135DQ，∴DQ1＝52，∴OQ1＝72，即Q1（0，-72）；②如图，当∠Q2BA＝90°时，△BOQ2∽△DOB，∴2OQOBODOB，即2363OQ，∴OQ2＝32，即Q2（0，32）；③如图，当∠AQ3B＝90°时，作AE⊥y轴于E，则△BOQ3∽△Q3EA，∴33OQOBQEAE，即33341OQOQ∴OQ32﹣4OQ3+3＝0，∴OQ3＝1或3，即Q3（0，﹣1），Q4（0，﹣3）．综上，Q点坐标为（0，-72）或（0，32）或（0，﹣1）或（0，﹣3）．4．新春佳节，电子鞭炮因其安全、无污染开始走俏．某商店经销一种电子鞭炮，已知这种电子鞭炮的成本价为每盒80元，市场调查发现，该种电子鞭炮每天的销售量y（盒）与销售单价x（元）有如下关系：y=﹣2x+320（80≤x≤160）．设这种电子鞭炮每天的销售利润为w元．（1）求w与x之间的函数关系式；（2）该种电子鞭炮销售单价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？（3）该商店销售这种电子鞭炮要想每天获得2400元的销售利润，又想卖得快．那么销售单价应定为多少元？【答案】（1）w=﹣2x2+480x﹣25600；（2）销售单价定为120元时，每天销售利润最大，最大销售利润3200元（3）销售单价应定为100元【解析】【分析】（1）用每件的利润80x乘以销售量即可得到每天的销售利润，即80802320wxyxx，然后化为一般式即可；（2）把（1）中的解析式进行配方得到顶点式221203200wx，然后根据二次函数的最值问题求解；（3）求2400w所对应的自变量的值，即解方程2212032002400x．然后检验即可.【详解】（1）80802320wxyxx，2248025600xx，w与x的函数关系式为：2248025600wxx；（2）2224802560021203200wxxx，2080160x，，∴当120x时，w有最大值．w最大值为3200．答：销售单价定为120元时，每天销售利润最大，最大销售利润3200元．（3）当2400w时，2212032002400x．解得：12100140xx，．∵想卖得快，2140x不符合题意，应舍去．答：销售单价应定为100元．5．如图1，抛物线C1：y=ax2﹣2ax+c（a＜0）与x轴交于A、B两点，