(完整版)一元二次方程归纳总结

一元二次方程归纳总结1、一元二次方程的一般式：20(0)axbxca，a为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项。2、一元二次方程的解法（1）直接开平方法（也可以使用因式分解法）①2(0)xaa解为：xa②2()(0)xabb解为：xab③2()(0)axbcc解为：axbc④22()()()axbcxdac解为：()axbcxd（2）因式分解法：提公因式分，平方公式，平方差，十字相乘法（3）公式法：一元二次方程20(0)axbxca，用配方法将其变形为：2224()24bbacxaa①当240bac时，右端是正数．因此，方程有两个不相等的实根：21,242bbacxa②当240bac时，右端是零．因此，方程有两个相等的实根：1,22bxa③当240bac时，右端是负数．因此，方程没有实根。注意：虽然所有的一元二次都可以用公式法来求解，但它往往并非最简单的，一定要注意方法的选用。备注：公式法解方程的步骤：①把方程化成一般形式：一元二次方程的一般式：20(0)axbxca，并确定出a、b、c②求出24bac，并判断方程解的情况。③代公式：21,242bbacxa（要注意符号）3、一元二次方程的根与系数的关系法1：一元二次方程20(0)axbxca的两个根为：221244,22bbacbbacxxaa所以：22124422bbacbbacbxxaaa，22222122244()(4)422(2)4bbacbbacbbacaccxxaaaaa定理：如果一元二次方程20(0)axbxca定的两个根为12,xx，那么：1212,bcxxxxaa法2：如果一元二次方程20(0)axbxca定的两个根为12,xx；那么2120()()0axbxcaxxxx两边同时除于a，展开后可得：2212120()0bcxxxxxxxxaa12bxxa；12cxxa法3：如果一元二次方程20(0)axbxca定的两个根为12,xx；那么21122200axbxcaxbxc①②得：12bxxa（余下略）常用变形：222121212()2xxxxxx，12121211xxxxxx，22121212()()4xxxxxx，2121212||()4xxxxxx，2212121212()xxxxxxxx，22111212121222212()4xxxxxxxxxxxxxx等练习：【练习1】若12,xx是方程2220070xx的两个根，试求下列各式的值：(1)2212xx；(2)1211xx；(3)12(5)(5)xx；(4)12||xx．【练习2】已知关于x的方程221(1)104xkxk，根据下列条件，分别求出k的值．(1)方程两实根的积为5；(2)方程的两实根12,xx满足12||xx．【练习3】已知12,xx是一元二次方程24410kxkxk的两个实数根．(1)是否存在实数k，使12123(2)(2)2xxxx成立？若存在，求出k的值；若不存在，请您说明理由．(2)求使12212xxxx的值为整数的实数k的整数值．4、应用题（1）平均增长率的问题：(1)naxb其中：a为基数，x为增长率，n表示连续增长的次数，①②b表示增长后的数量。（2）面积问题：注意平移思想的使用5、换元法例：222()5()60xxxx解：令2yxx则原方程可化为：2560yy解得：12y23y①当22xx时，求得：121,2xx②当23xx时，求得：3,41132x（原方程共有4个解）练习：221211xxxx一元二次方程的解法⑴方法：①直接开方法；②因式分解法；③配方法；④公式法⑵关键点：降次类型一、直接开方法：mxmmx,02※※对于max2，22nbxmax等形式均适用直接开方法典型例题：例1、解方程：;08212x216252x=0;;09132x例2、解关于x的方程：02bax例3、若2221619xx，则x的值为。针对练习：下列方程无解的是（）A.12322xxB.022xC.xx132D.092x类型二、因式分解法:021xxxx21,xxxx或※方程特点：左边可以分解为两个一次因式的积，右边为“0”，※方程形式：如22nbxmax，cxaxbxax，0222aaxx典型例题：例1、3532xxx的根为（）A25xB3xC3,2521xxD52x例2、若044342yxyx，则4x+y的值为。例3、方程062xx的解为（）A.2321，xxB.2321，xxC.3321，xxD.2221，xx例4、解方程：04321322xx例5、已知023222yxyx,则yxyx的值为。类型三、配方法002acbxax222442aacbabx※在解方程中，多不用配方法；但常利用配方思想求解代数式的值或极值之类的问题。典型例题：例1、试用配方法说明322xx的值恒大于0。例2、已知x、y为实数，求代数式74222yxyx的最小值。例3、已知，x、yyxyx0136422为实数，求yx的值。例4、分解因式：31242xx类型四、公式法⑴条件：04,02acba且⑵公式：aacbbx242,04,02acba且典型例题：例1、选择适当方法解下列方程：⑴.6132x⑵.863xx⑶0142xx⑷01432xx⑸5211313xxxx说明：解一元二次方程时，首选方法是因式分解法和直接开方法、其次选用求根公式法；一般不选择配方法。说明：①对于二次三项式cbxax2的因式分解，如果在有理数范围内不能分解，一般情况要用求根公式，这种方法首先令cbxax2=0，求出两根，再写成cbxax2=))((21xxxxa.②分解结果是否把二次项系数乘进括号内，取决于能否把括号内的分母化去.类型五、“降次思想”的应用⑴求代数式的值；⑵解二元二次方程组。典型例题：例1、已知0232xx，求代数式11123xxx的值。例2、如果012xx，那么代数式7223xx的值。例3、已知a是一元二次方程0132xx的一根，求1152223aaaa的值。例4、用两种不同的方法解方程组)2(.065)1(,6222yxyxyx考点四、根的判别式acb42根的判别式的作用：①定根的个数；②求待定系数的值；③应用于其它。典型例题：例1、若关于x的方程0122xkx有两个不相等的实数根，则k的取值范围是。例2、关于x的方程0212mmxxm有实数根，则m的取值范围是()A.10且mmB.0mC.1mD.1m例3、已知关于x的方程0222kxkx(1)求证：无论k取何值时，方程总有实数根；(2)若等腰ABC的一边长为1，另两边长恰好是方程的两个根，求ABC的周长。例4、已知二次三项式2)6(92mxmx是一个完全平方式，试求m的值.例5、m为何值时，方程组.3,6222ymxyx有两个不同的实数解？有两个相同的实数解？考点五、应用解答题⑴“碰面”问题；⑵“复利率”问题；⑶“几何”问题；⑷“最值”型问题；⑸“图表”类问题典型例题：1、五羊足球队的庆祝晚宴，出席者两两碰杯一次，共碰杯990次，问晚宴共有多少人出席？2、北京申奥成功，促进了一批产业的迅速发展，某通讯公司开发了一种新型通讯产品投放市场，根据计划，第一年投入资金600万元，第二年比第一年减少31，第三年比第二年减少21，该产品第一年收入资金约400万元，公司计划三年内不仅要将投入的总资金全部收回，还要盈利31，要实现这一目标，该产品收入的年平均增长率约为多少？（结果精确到0.1，61.313）3、某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品，据市场分析，若按每千克50元销售，一个月能售出500千克，销售单价每涨1元，月销售量就减少10千克，针对此回答：（1）当销售价定为每千克55元时，计算月销售量和月销售利润。（2）商店想在月销售成本不超过10000元的情况下，使得月销售利润达到8000元，销售单价应定为多少？4、将一条长20cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长作成一个正方形。（1）要使这两个正方形的面积之和等于17cm2，那么这两段铁丝的长度分别为多少？（2）两个正方形的面积之和可能等于12cm2吗？若能，求出两段铁丝的长度；若不能，请说明理由。（3）两个正方形的面积之和最小为多少？考点七、根与系数的关系⑴前提：对于02cbxax而言，当满足①0a、②0时，才能用韦达定理。⑵主要内容：acxxabxx2121,⑶应用：整体代入求值。典型例题：例1、已知一个直角三角形的两直角边长恰是方程07822xx的两根，则这个直角三角形的斜边是（）A.3B.3C.6D.6例2、解方程组：.2,10)2(;24,10)1(22yxyxxyyx例3、已知关于x的方程011222xkxk有两个不相等的实数根21,xx，（1）求k的取值范围；（2）是否存在实数k，使方程的两实数根互为相反数？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由。例4、小明和小红一起做作业，在解一道一元二次方程（二次项系数为1）时，小明因看错常数项，而得到解为8和2，小红因看错了一次项系数，而得到解为-9和-1。你知道原来的方程是什么吗？其正确解应该是多少？例5、已知ba，0122aa，0122bb，求ba例6、已知,是方程012xx的两个根，那么34.一元二次方程的应用题1、学校举行拔河友谊赛，采用单循环赛形式（即每两个队要比赛一场），计算下来共要比赛10场，问共有多少个队报名参赛？2、为了美化环境，某市加大对绿化的投资．2007年用于绿化投资20万元，2009年用于绿化投资25万元，求这两年绿化投资的年平均增长率．设这两年绿化投资的年平均增长率为x，根据题意所列方程为（）A、22025xB、20(1)25xC、220(1)25xD、220(1)20(1)25xx3、2008年爆发的世界金融危机，是自上世纪三十年代以来世界最严重的一场金融危机。受金融危机的影响，某商品原价为200元，连续两次降价%a后售价为148元，下面所列方程正确的是A．2200(1%)148aB．2200(1%)148aC．200(12%)148aBCAD16米D．2200(1%)148a4、某企业2006年盈利1500万元，2008年克服全球金融危机的不利影响，仍实现盈利2160万元．从2006年到2008年，如果该企业每年盈利的年增长率相同，求：（1）该企业2007年盈利多少万元？（2）若该企业盈利的年增长率继续保持不变，预计2009年盈利多少万元？5、中国内地部分养鸡场突发禽流感疫情，某养鸡场中、一只带病毒的小鸡经过两天的传染后、鸡场共有169只小鸡遭感染患病，在每一天的传染中平均一只鸡传染了几只小鸡？6、在长为10cm，宽为8cm的矩形的四个角上截去四个全等的小正方形，使得留下的图形（图中